中考数学复习 第3单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象和性质(一)课件

2．抛物线上点的纵坐标比较大小的基本(jīběn)方法有以下三种： (1)把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)计算出相应点的纵坐标，然后比较大小；
(3)图象法，利用图象的直观性．
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探究3 求二次函数(hánshù)的解析式
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探究2 二次函数的图象(tú xiànɡ)与性质
命题角度：
1．已知二次函数表达式，画出图象，求抛物线的开口方向、对称轴、顶 点坐标、与坐标轴的交点坐标、增减性等； 2．在同一(tóngyī)坐标系中识别一次函数、反比例函数与二次函数的图象 ；
3．结合图象及性质，比较函数值的大小．
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＝－3，x2＝1，∴函数图象与 x 轴的交点坐标为(－3，0)，
(1，0)，故设二次函数解析式为 y＝a(x＋3)(x－1)，将
2 (0，－2)代入解析式得 a(0＋3)(0－1)＝－2，解得 a＝3，
2
24
则该二次函数解析式为 y＝3(x＋3)(x－1)＝3x2＋3x－
2.
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[解析]因为二次项系数为－1，小于0，所以在对称轴的左 侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小，因为a>2>1，所以y1>y2.故填“>”． 4．已知抛物线y＝－12x2－x＋4. (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
解
：(1)∵y＝－
1 2
x2－x＋4＝－
1 2
(x2＋2x＋1)＋
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3．[九下 P18 习题 1.2 第 3(2)题改编] 二次函数 y＝2(x－ 3)2＋5 的顶点坐标是__(3_，__5_)__．
4．[九下 P17 例 6 改编] 已知二次函数 y＝－12x2＋2x－1， 当 x＝___2_____时，则函数值 y 的最大值是___1_____．
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考点(kǎo diǎn)3 用待定系数法求二次函数的表达式
1．用待定系数法求二次函数的表达式的一般步骤： (1)设二次函数的表达式； (2)根据(gēnjù)已知条件，得到关于待定系数的方程(组)； (3)解方程(组)，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．
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a－b＋c＝－5， a＝2，
依题意得c＝－4，
解得b＝3，
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
∴这个二次函数的解析式为 y＝2x2＋3x－4.
(2)已知抛物线的顶点(dǐngdiǎn)坐标为(2，－3)，与y轴交于点(0，－1) ，求这条抛物线的解析式．
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解(2)设抛物线解析式为 y＝a(x－2)2－3，
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考点(kǎo diǎn)2 二次函数的图象与性质
1．二次函数 y＝ax2(a≠0)，y＝ax2＋k(a≠0)，y＝a(x －h)2(a≠0)及 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质：
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函数
y＝ax2
y＝ax2 ＋k y＝
a(x－h)2 y＝a(x－
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考点(kǎo diǎn)1 二次函数的概念
1．二次函数的基本特征：(1)只含有一个自变量；(2)自变量 的最高次数为____2____；(3)是整式表达式． 2．一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，且 a≠0)．
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(3)x取何值时，抛物线在x轴上方？
解(3)当 y＝0 时，即－12(x＋1)2＋92＝0，解得 x1＝2，x2 ＝－4，而抛物线开口向下，∴当－4＜x＜2 时，抛物线 在 x 轴上方．
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【方法模型】 1．求抛物线的对称轴、顶点坐标有两种方法： (1)配方法；(2)公式法：顶点坐标为
延伸
直线x_＝__－__2_ba__
延伸
_____－__2b_a_，__4_a_c4_－a__b_2_______
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增减性
在对称轴的左侧，即当 x<－2ba 在对称轴的左侧，即当 x<－2ba时，
时，y 随 x 的增大而___减__小___； y 随 x 的增大而增__大_(_z_ē_n_ɡ_d；à在) 对称
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2．已知：点A(3，0)、B(－2，5)、C(0，－3)． (1)求经过(jīngguò)点A、B、C的抛物线的表达式；
解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
把 A(3，0)、B(－2，5)、C(0，－3)
9a＋3b＋c＝0， a＝1，
代入得4a－2b＋c＝5，解得b＝－2，
h)2＋k
a的值
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
开 口
顶点
对称 轴
最值
上 下
(0，0)
直线
当x＝0时，y小＝0 当x＝0时，y大＝0
上 下
(0，k)
x＝0
当x＝0时，y小＝k 当x＝0时，y大＝k
上
当x＝h时，y小＝0
下 (h，0) 直线 当x＝h时，y大＝0
上
x＝h 当x＝h时，y小＝k
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探究(tànjiū)1 二次函数的定义
命题角度： 1．识别二次函数；
2．根据(gēnjù)二次函数的定义求系数或指数中未知字母的值．
例 1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( C )
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
1 C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋x
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2．二次函数表达式的常见形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．已知抛物线上三点的 坐标或三对 x，y 的值，通常选择一般式． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．已知抛物线的顶点 坐标或对称轴，通常选择顶点式． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．已知抛物线与 x 轴交点的横坐标 x1，x2，通常选用交点式．
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|针对训练| 1．根据下列(xiàliè)条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)抛物线过点(0，2)、(1，1)、(3，5)；
解：(1)设抛物线解析式为 y＝ax2＋bx＋c，根据题意得
c＝2，
a＝1，
a＋b＋c＝1， 解得b＝－2，
9a＋3b＋c＝5， c＝2，
第三单元(dānyuán) 函数及其图 象
第14课时 二次函数的图象和性质(一)
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1.[九下 P19 习题 1.2 第 6 题] 二次函数 y＝2x2－8x＋6 的图象 大致是( A )
图 14－1 1
2.[九下 P18 习题 1.2 第 2(1)题改编] 二次函数 y＝－4x2＋3 图象的对称轴是___y轴_____．
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|针对训练| 已知函数y＝(m＋1)xm2＋1＋3x，当m＝____1____时，它 是二次函数．
【方法模型】 根据(gēnjù)二次函数的定义求字母的值时，除了满足 “自变量的次数是2”这个条件外，还要注意二次项系数不能为0.
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在对称轴的右侧，即当 x>－2ba 轴的右侧，即当 x>－2ba时，y 随 x
时，y 随 x 的增大而增_大__(_z_ē_n_ɡ_d，à) 的增大而___减__小___，简记左增右
简记为左减右增
减
最值
b
b
抛物线有最低点，当 x＝4a－c－2ab时2 ， 抛物线有最高点，当 x＝4－ac2－a时b2，
B. 与 x 轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线 x＝1
D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
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3．[2017·衡阳]已知函数 y＝－(x－1)2 图象上两点 A(2，y1)， B(a，y2)，其中 a>2，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1___>_____y2(填 “<”“>”或“＝”)．
c＝－3，
c＝－3，
所以抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3.
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所以抛物线解析式为 y＝x2－2x＋2；
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(2)抛物线过点(－1，0)、(3，0)，其最大值为3；
解(2)∵抛物线过点(－1，0)、(3，0)，∴抛物线的对称轴 为直线 x＝1， ∴抛物线的顶点坐标为(1，3)，设抛物线解析式为 y＝a(x ＋1)(x－3)，
1 2
＋4
＝－
1 2
(x＋
1)2＋92，∴它的顶点坐标为(－1，92)，对称轴为直线x＝－1；
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(2)x取何值时，y随x增大(zēnɡ dà)而减小？
解(2)∵抛物线对称轴是直线x＝－1，开口(kāi kǒu)向下，∴当x＞ －1时，y随x增大而减小；
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(3)当x取何值时，y随x的增大(zēnɡ dà)而增大(zēnɡ dà)？当x取何值 时，y随x的增大(zēnɡ dà)而减小？ 解(3)当x＜1时，y随x的增大(zēnɡ dà)而增大(zēnɡ dà)，当x≥1时，y随 x的增大(zēnɡ dà)而减小．
1 将(0，－1)代入，得－1＝a(0－2)2－3，解得 a＝2，
1
1
所以抛物线解析式为 y＝2(x－2)2－3＝2x2－2x－1.
(3)抛物线与x轴交于点(1，0)和(3，0)，且图象经过(jīngguò)点(0，3)，
求抛物线的解析式．
(3)设抛物线解析式为 y＝a(x－1)(x－3)， 将(0，3)代入，得 3＝a(0－1)(0－3)，解得 a＝1， 所以抛物线解析式为 y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
命题角度： 1．用待定系数法求二次函数的解析(jiě xī)式 ；
2．二次函数的三种表达形式的转换．
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例3 (1)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)
，求这个(zhè ge)二次函数的解析式．
解：(1)设这个二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
(4)若点P1(1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)都在该二次函 数的图象上，试比较y1，y2，y3的大小关系．
解(4)y1＞y2＞y3.
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|针对训练| 1.【2017·长沙】抛物线 y＝2(x－3)2＋4 的顶点坐标是 (A )
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4) 2．【2016·益阳】关于抛物线 y＝x2－2x＋1，下列说法错误 的是( D ) A．开口向上
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例2 已知二次函数y＝－12x2＋x＋4. (1)画出该二次函数的图象；
解：(1)如图所示：
(2)确定抛物线的开口(kāi kǒu)方向、顶点坐标和对称轴；
解(2)∵y＝－12x2＋x＋4＝－12(x－1)2＋92， 9
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1，2)， 对称轴为直线x＝1.
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y 有最小值，y 最小值＝____4a____ y 有最大值，y 最大值＝____4_a___
二次项系数
a的大小决定抛物线的开口大小，a越大，抛物线的开口越小；a
a 的特性
越小，抛物线的开口越大
常数项 c 的意义
c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即当 x＝0 时，y＝c
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3 把(1，3)代入得 a·2·(－2)＝3，解得 a＝－4， ∴抛物线解析式为 y＝－43(x＋1)(x－3)＝－34x2＋23x＋94；
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(3)二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1＝－3， x2＝1，且与 y 轴交点为(0，－2)．
解(3)∵二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x1
下 (h，k)
当x＝h时，y大＝k
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2．二次函数(hánshù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质：
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
a>0
a<0
图象
图象的 开口方向
图象的 对称轴 图象的 顶点坐标
抛物线开口向上，并向上无限 抛物线开口向下，并向下无限