2021年江苏省南通市白蒲高级中学高三数学理测试题含解析

2021年江苏省南通市白蒲高级中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若
，，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
【知识点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．B1 B4
【答案解析】B 解析：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．
∵对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．故选：B．
【思路点拨】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
2. 已知函数是定义域上的单调函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．
参考答案：B
3. 在等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{}的前20项和为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知列式求出等差数列的首项和公差，得到等差数列的通项公式，再由裂项相消法求得
{}的前
20项和．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11．
又a3=5，得d=，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
==．
故选：B．
4. 若变量满足约束条件，则的最大值是（）
A、12
B、26
C、28
D、33
参考答案：
C
如图可行域为图中阴影部分，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，故选C.
5. 已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）
A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0
C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0
参考答案：
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．
解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但
a2013=1＞0，故错误；
对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误；
对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误；
对于选项C，因为a3=a1?q2＞0，所以 a1＞0．当公比q＞0时，任意a n＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，
故选C．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．
6. 小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
考点：几何概型
7. 一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）
(A) (B) (C) (D)7
参考答案：
A
8. .已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
9. 等式成立是成等差数列的（）
A．充分不必要条件 B. 充要条件C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
10. 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为
，则圆C的标准方程为（）
A．（x+1）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x+3）2+y2=4
参考答案：
B
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．【分析】设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，求得圆心到直线l：y=x﹣1的距离d的值，再根据半径
r=|a﹣1|=，解得 a的值，可得圆心
坐标和半径，从而求得圆C的标准方程．
【解答】解：设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，则圆心到直线l：y=x﹣1的距离为
d==．
由于半径r=|a﹣1|=，解得 a=3，或 a=﹣1（舍去），
故圆C的圆心为（3，0），半径为3﹣1=2，故圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2=4，
故选B．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于任意，满足恒成立的所有实数a构成集合A, 使不等式
是的解集为空集的所有实数a构成集合B,则____________
参考答案：
12. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若，，
，，则球O的表面积为______
参考答案：
36π
【分析】
直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积。

【详解】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：
,所以球
的直径
为6，球
的表面积为。

【点睛】本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积。

13. 已知
可以表示为一个奇函数与一个偶函数
之和，若不等式
对于
恒成立，则实数
的取值范围是____________
参考答案：
略
14. 平面上三点A 、B 、C 满足
，
，则
+
.
参考答案： --25
15. 的展开式中的常数项是 ．
参考答案：
－11
16. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，则过平面区域M 的所有点
中能使
取得最大值的点的坐标是 .
参考答案： （1，9） 略
17. 已知锐角△ABC 的面积为
，BC=4，CA=3，则角C 的大小为 ______
参考答案：
60°
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知在一个极坐标系中，点的极坐标为
.
(1)求出以
为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形.
(2)在直角坐标系中，以圆所在极坐标系的极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，点是圆
上任意一点，
，
是线段
的中点，当点
在圆
上运动时，求点
的轨迹的普
通方程.
参考答案：
(1)如图，设圆上任意一点，则或.
由余弦定理得：，∴圆的极坐标方程，
作图如下：
(2)在直角坐标系中，点
的坐标为，可设圆上任意一点
，又令
，由
，
是线段
的中点，
∴
的参数方程为
(为参数)
∴点的轨迹的普通方程为.
19. （本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：．
参考答案：
（Ⅰ）当，时，，
所以．所以，
， ...............2分
所以曲线在点处的切线方程为，
即
．
...............4分
（Ⅱ）证法一：当，时，．
要证明，只需证明
以下给出三种思路证明.
思路1：设，则．
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且
因为，所以，即
当时，；当时，．
所以当时，取得最小值．
故．
综上可知，当时，
． (12)
思路2：先证明．设，则．
因为当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
所以要证明，
只需证明，即证明．
下面证明．
设，则．
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．
所以．
所以（当且仅当时取等号）．
由于取等号的条件不同，所以．
综上可知，当时，．
思路3：先证明．
因为曲线与曲线的图像关于直线对称，设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线的距离分别为，，
则．
其中，．
①设，则．
因为，所以．
所以在上单调递增，则．
所以．
②设，则．
因为当时，；当时，，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以．所以．
所以．
综上可知，当时，．
20. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF∥CE且AF=2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．
（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点G，满足BF⊥平面AEG？并说明理由．参考答案：
【考点】LS：直线与平面平行的判定；MT：二面角的平面角及求法．
【分析】（Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；
（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点D，连接GD，CD，
又GB=GF，所以AF=2GD．
因为AF∥CE且AF=2CE，所以GD平行且等于CE，四边形GDCE是平行四边形，
所以CD∥EG因为EG?平面ABC，CD?平面ABC
所以EG∥平面ABC．
（Ⅱ）解：因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC
因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），=（0，2，0）是平面ABF的一个法向量．
设平面BEF的法向量=（x，y，z），则
令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以=（﹣2，1，﹣2），所以cos＜，＞==，
由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为﹣．
（Ⅲ）解：因为=（﹣2，0，2）?（2，2，1）=﹣20≠0，所以BF与AE不垂直，
所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．
【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算，建立空间直角坐标系，利用向量法是解决本题的关键．
21. 设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；
（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；
②求函数上的最大值．
（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）①先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．②研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的都
成立，转化为alnx≥m+x对所有的恒成立问题，再令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，问题又转化为m≤h（a）min最后利用研究函数h（x）的单调性即得．
【解答】解：（1）①
∵函数f（x）在x=1处与直线相切∴，解得
②
当时，令f'（x）＞0得；
令f'（x）＜0，得1＜x≤e
∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴
（2）当b=0时，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，
则alnx≥m+x，即m≤alnx﹣x对所有的都成立．
令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min
∵x∈（1，e2]，
∴lnx＞0，∴上单调递增
∴h（a）min=h（0）=﹣x，
∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立，
∵1＜x≤e2，
∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，
∴m≤（﹣x）min=﹣e2．（13分）
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．22. （14分）已知数列{a n}（n∈N*）的各项满足a1=1﹣3k，a n=4n﹣1﹣3a n﹣1（n≥2，k∈R），
（Ⅰ）判断数列{a n﹣}是否成等比数列；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{a n}为递增数列，求k的取值范围．
参考答案：
（I）∵a n=4n﹣1﹣3a n﹣1（n≥2，k∈R），∴=﹣3（n≥1，k∈R）．而a1=1﹣3k，∴=．
当k=时，=0，则数列{a n﹣}不成等比数列；
当k≠时，≠0，则数列{a n﹣}成等比数列．
（II）由（I）可知：当k≠时，≠0，a n﹣=．
当k=时，上式也符合．
∴数列{a n}的通项公式为．
（III）a n+1﹣a n=﹣
=．
∵数列{a n}为递增数列，∴＞0恒成立，
①当n为奇数时，有，即恒成立．由，可得k＞0．
②当n为偶数时，有．即恒成立．由，可得k＜．
综上可得：k的取值范围是．。