2023-2024学年黑龙江哈尔滨市高一下学期第一次验收考试数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年黑龙江哈尔滨市高一下册第一次验收考试数学试题
一、单选题1．复数
34i
2i
-+在复平面内对应的点在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】D
【分析】根据复数的运算法则，化简得到
34i 211
i 2i 55
-=-+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得
()()()()34i 2i 34i 211
i 2i 2i 2i 55
---==-++-，则复数
34i 2i
-+在复平面内对应的点的坐标为211
(,)55-位于第四象限.
故选：D.
2．在
ABC 中，设2AD DB = ，CA a =
，CB b = ，则CD = （）
A ．1223
a b
+
B ．1233a b
+
C ．2133
a b
+r
r D ．1233
a b
-
【正确答案】B
【分析】把CA CB
,作为基底，然后根据已知条件结平面向量基本定理可求得结果.
【详解】
因为2AD DB = ，
所以
23
CD CA AD CA AB =+=+ 2()
3
CA CB CA =+- 2133CB CA =+
1233
a b =+ ，故选：B
3．已知角α
终边过点ππsin ,cos 66P ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭22tan αα-=（
）
A
B
．C
．
3
D
．3
-
【正确答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出tan α，即可得解.【详解】因为角α终边过点ππsin ,cos 66P ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
所以πcos
62tan π1sin 62
α=
=
22tan αα-=-故选：A.
4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，记ABC 的面积为S ，已知2a =
，b =
)2
22S b c a =
+-，则c 的值为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2或4
【正确答案】D
【分析】
已知)2
22S b c a =
+-，由余弦定理和面积公式化简可得π6A =，再由余弦定理求c 的值.【详解】在ABC 中，由余弦定理有2222cos b c a bc A +-=，ABC 的面积1
sin 2
S bc A =，
由)22212S b c a =
+-
可得11sin 2cos 22
bc A bc A ⨯=
，解得tan 3A =，由()0,πA ∈，则π
6
A =，
由余弦定理有2222cos b c a bc A +-=，则21246c c +-=，即2680c c -+=，解得2c =或4c =.故选：D
5．将函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2cos 3y x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图
象，则ω的最小值为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【正确答案】B
【分析】根据图象平移得平移后的表达式，结合诱导公式即可求解.
【详解】将函数()π2sin 03y x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数
()ππ2sin 63f x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,故ππsin 63πcos 3x x ωωω⎛
⎫=+ ⎪⎭⎝
⎛⎫++ ⎝⎭⎪，
所以
ππ
=2π,Z 62
k k ω+∈,解得=312,Z k k ω+∈由于0,ω>故当0k =时，ω的最小值为3，故选：B
6．一条河两岸平行，河的宽度为1560m ，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度1v 的大小为113km/h v = ，水流速度2v
的大小为25km/h v = ，若船的航程最短，则行驶完全程需要
的时间()min t 为（）
A ．7.2t =
B ．7.8
t =C ．120
t =D ．130
t =【正确答案】B
【分析】分析可知，船的实际速度12v v v =+ 与水流速度2v
垂直，作出图形，求出v r 的值，即可求得
船所需的时间.
【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度12v v v =+ 与水流速度2v
垂直，作1OA v = ，2OB v = ，以
OA 、OB
为邻边作平行四边形OACB ，如下图所示：
由题意可知，OC OB ^，且113BC OA v === ，25OB v ==
，
由勾股定理可得12v OC ==
，
因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间()1.56
0.13h 12
t ==，则()0.13607.8min t =⨯=.故选：B.
7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2tan tan c b B b A -=，且2
3
cos cos cos 24
A C A C --=，则ABC 的形状为（）
A ．等腰或直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
【正确答案】B
【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得60A = ，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得60B = ，即可判断三角形形状.
【详解】由()2tan tan c b B b A -=得()2cos sin cos sin c b B A b A B -=,由正弦定理得()2sin sin cos sin sin i c s s n o C B B A B A B -=,
由于sin 0B ≠,所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B
C =+=+=，sin 0C ≠ 所以1
cos 2
A =,由于A 为三角形的内角，所以60A = ,又2
3
cos
cos cos 24
A C A C --=得()()111
cos 2cos cos cos cos sin sin cos 222
A C A C A C A C A C --=
⇒-=-⇒+=-,进而可得1cos 602
B B -=-Þ=
,进而60C = ，故三角形为等边三角形，
故选：B
8．函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>≤ ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（
）
A ．2ω=
B ．π
6
ϕ=-
C ．()f x 单调递增区间为()
πππ,πZ 63k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦D ．()f x 对称中心为()
Z ππ,012k k ⎛
⎫+ ⎪⎝
∈⎭【正确答案】D
【分析】先依据题设中提供的图形信息，求出函数的解析表达式，再用整体代入法求解函数单调区间和对称中心即可.
【详解】由题设中提供的函数图像可以看出：2π7π7π1224
1,,,12677
A T T ωω==
<<⇒<<
又()sin()f x x ωϕ=+，将0x =代入可得1sin ,2
ϕ=-，由于π
||2ϕ<，所以π6ϕ=-，
将7π12=x 代入可得7ππ
π2π,Z,126
k k ω⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭则242,Z,
7k k ω=+∈由于
1224
77
ω<<，所以2ω=，所以π
()sin(2)6
f x x =-；故AB 正确；
解不等式πππ2π22π,Z,263k x k k -
+≤-≤+∈得：ππ
ππ,Z,63
k x k k -+≤≤+∈即()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦，故C 正确；
令πsin(206x -=可得π2π,Z,6x k k -=∈，即ππ
,Z,212
k x k =
+∈所以()f x 的对称中心为ππ
(,0)(Z)212
k k +∈；故D 错误；故选：D.二、多选题
9．已知向量)
a α=
，()2sin ,1b α=
，则下列结论正确的是（
）
A ．若a b
，则π6
α=或
π3B ．若a b ⊥
，则tan 3
α=-
C ．a b -
的最小值为1
D ．a b -
的最大值为4
【正确答案】BD
【分析】根据向量坐标表示向量数量积、平行、垂直、向量模长来进行求解即可.
【详解】选项A ：)
a α=
，()2sin ,1b α= ，a b ，解得：π2πZ 6
k k α∈=+，或
π
2πZ 3
k k α∈=
+，A 错误；
选项B ：a b ⊥ ，)
a α=
，()2sin ,1b α=
，则：2cos 0,αα+=则tan 3
α=-，B 正
确；
选项C ：)
a α=
，()2sin ,1b α=
，
a b -=== 当
πsin 16α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，a b - 取得最小值0，C 选项错误；
选项D ：由C 得；a b -= πsin 16α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，a b - 取得最大值4，选项D 正确；故选：BD.
10．下列各式正确的是（
）
A ．()()1tan 61tan 392+︒+︒=
B ．4sin15sin 751︒︒=
C ．
2sin 701
2
1cos 10︒-=-︒
D ．8cos20cos40cos801
︒︒︒=【正确答案】ABD
【分析】根据正切的和角公式即可判断A,根据正弦的二倍角公式即可求解BD,根据鱼线的二倍角公式即可判断C.
【详解】对于A,()()()1tan 61tan 39tan 6tan 391tan 6tan 39+︒+︒=︒+︒
++︒︒()()tan 6391tan 6tan 391tan 6tan 392 =+-︒︒++︒︒=，故A 正确，
对于B,14sin15sin 754sin15cos152sin 30212
︒︒=︒︒==⨯=，故B 正确，
对于C,()222222
21cos 10sin 701cos 2012cos 101121cos 101cos 101cos 101cos 10--︒︒-︒-︒--====--︒-︒-︒-︒
，故C 错误，对于D,8sin 20cos 20cos 40cos804sin 40cos 40cos808cos 20cos 40cos80sin 20sin 20︒︒︒︒︒︒︒
︒︒︒=
=
︒︒
2sin 80cos80sin160sin 201sin 20sin 20sin 20︒︒︒︒
=
===︒︒︒
，故D 正确，
故选：ABD
11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BD 平分∠ABC 并交AC 边于点D ，若7
cos 25
ABC =-
∠，2BD =，则下列说法正确的是（）
A ．ABC 的面积有最小值163
B ．()1a c a -=
C ．a c +有最小值
203
D ．4a c +有最小值15
【正确答案】ACD
【分析】根据等面积法求得()53,a c ac +=然后根据基本不等式逐个判断每个选项.
【详解】
7cos 25
ABC =-
∠，,24s n 25i ABC =
∠,s 25
n 4i ABC ∠==111sin 2sin
2sin 22222ABC ABC ABC S
ac ABC c a ∠∠=∠=⨯+⨯ ，3,
5
a c ac +=()53,a c ac +=
因为a c +≥
10,3
≥
当且仅当10
3a c ==时，等号成立，
1
11002416sin ,229253
ABC S ac ABC =
谐创=选项A 正确；
由()53,a c ac +=得()52
1,33
a c ac c a c a -=-=+≠所以选项B 错误；
因为2
,2a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以()2
533,2a c a c ac +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭
解得：20,3a c +≥故a c +最小值为203，当且仅当10
3
a c ==
时等号成立，选项C 正确；因为()53,a c ac +=所以5,35c a c =
-52555520
334453533334c c a c c c c c ⎛⎫-+
⎪⎛⎫⎝⎭+=+-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪
⎝⎭
+
=25
52525
415533393c c ⎛⎫+-+≥= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，当且仅当5
2
c =时，等号成立，所以4a c +有最小值15，故选项D 正确；故选：ACD.
12．已知点O 在ABC 所在的平面内，则下列命题正确的是（
）
A ．若OA O
B OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅uu r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r 且1AB AC ⋅=
，则1
AO AB ⋅= B ．若AO AB AO AC OB OA OC OA ⋅⋅=--
且CO CA CO CB OA OC OB OC ⋅⋅=-- ，则sin 2sin 0AOC ABC ∠+∠=C ．若2sin sin AB B B C AO C AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭
，其中0λ>，则动点O 的轨迹经过ABC 的重心
D ．若cos c 1122os AO AB AC AB A B C C λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中0λ>，则动点O 的轨迹经过ABC 的垂心
【正确答案】ABC
【分析】根据向量的加减法法则计算。

结合三角形的重心、外心、垂心等定义解析并判断.【详解】选项
A:
OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uu r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r ,0,OA OB OA OC OA CB ⋅-⋅=⋅=uu r uu u
r uu r uuu r uu r uu r 所以,OA BC ⊥同理
,OC AB ⊥,OB AC ⊥所以O 是ABC 的垂心，
()
01,AB AC AB OC OA AB OA AB AO ⋅=⋅-=-⋅=⋅=
故选项A 正确；选项
B:
因为AO AB AO AC OB OA OC OA ⋅⋅=-- 所以,AO AB AO AC
AB AC ⋅⋅=
即cos cos ,AO OAB AO OAC ∠=∠ 所以AO 是
BAC ∠的角平分线，同理CO CA CO CB OA OC OB OC ⋅⋅=--
可得，CO 是BCA ∠的角平分线,()()sin 2sin 2πsin 2π-sin 22BAC BCA AOC BAC BCA BAC BCA ∠∠⎛
⎫∠=--=∠-∠=-∠+∠ ⎪⎝⎭
()()sin sin π-sin ABC BAC BCA BAC BCA ∠=∠-∠=∠+∠,所以sin 2sin 0AOC ABC ∠+∠=，选项B 正
确；选项C:
作AE BC ⊥于E ，由于sin sin AB B AC C AE
==
s 222sin in AB BC AB BC AB BC AO AB A E
B C C AE A AE AE λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
设BC 的中点为D ，
()()
,22AB BC BC AB AB BD AD AE AE
AE AE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
即,AO AD AE
λ=
所以AO 与AD 共线，则动点O 的轨迹经过ABC 的重心,选项C 正确；选项D:
cos c 1122os AO AB AC AB A B C C λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
cos co 2s 1AB AC A B C
AB C AB AC λλ=+++
设BC 的中点为E ，2,
AB AC AE += ,||cos ||cos AO AB AC AE AB B AC C λλ
=++ ||||,||cos ||cos AO BC AB BC AC BC AE BC BC BC AE BC AE BC AB B AC C
λλλ
λ⋅=⋅+⋅+⋅=-+⋅=⋅ 所以0,AO BC AE BC ⋅-⋅= ()0,0,AO AE BC EO BC -⋅=⋅=
所以EO BC ⊥，则动点O 在中垂线上，即
动点O 的轨迹经过ABC 的外心.故选项D 错误.故选：ABC 三、填空题
13．在ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒，ABC 面积3
2
S =
，则BAC ∠=______．
【正确答案】
3
π/60︒【分析】
利用三角形的面积公式求出BC ，
然后利用余弦定理求出BC =，然后求出π3
BAC ∠=即可.
【详解】ABC 中，2AB =，ABC 的面积为3
2
，
所以
1sin 2AB BC ABC ⋅⋅∠=
，得：BC =
根据余弦定理得：2cos ,2
ABC ∠=
解得：1,AC =222,BC AC AB +=所以此三角形为直角三角形，
故
π
3
或°6014．设复数1z 、2z 满足11z =，22z =，121i z z +=+，则12z z -=______．
【正确答案】【分析】设111i z a b =+，()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ，根据复数的模长公式以及复数相等可得出
2221112
22
2221212
1
4
11z a b z a b a a b b ⎧=+=⎪⎪=+=⎨
+=⎪⎪+=⎩，通过计算可得出222212121222z z z z z z -=+-+，即可得解.【详解】设111i z a b =+，()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ，
则()()2221112222221212121
4i 1i z a b z a b z z a a b b ⎧=+=⎪⎪=+=⎨⎪+=+++=+⎪⎩，即2221112
222221212
1411z a b z a b a a b b ⎧=+=⎪⎪=+=⎨+=⎪⎪+=⎩，所以，()()121212i z z a a b b -=-+-，
()()2
2
2
2222
1212121122112222z z a a b b a a a a b b b b -=-+-=-++-+()()()()
2
2
22221212121222a a a a b b b b =+-+++-+()()()()2222222221122121212122222a b a b a a b b z z z z ⎡⎤=+++-+++=+-+⎣⎦
()()22214118=+-+=，
因此，12z z -=.
故答案为.15．已知ABC
P 是ABC 的外接圆上一点，则()
PA PB PC ⋅+
的最大值
是______．【正确答案】2
【分析】建立平面直角坐标系，设点A ,B ,C ,P 的坐标，求出,,PA PB PC
的坐标，利用数量积的坐标
表示和辅助角公式求得()
PA PB PC ⋅+
为关于α的三角函数，结合正弦函数的性质即可求解．
【详解】以ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，
因为等边ABC
21sin BC
r r A
=⇒=，
设11(1,0),((,(cos ,sin )22A B C P αα--，
则1
(1cos ,sin ),(cos sin )2
PA PB
αααα=--=--，1(cos ,sin )2PC αα=---，所以(12cos ,2sin )PC PB
αα+=---，
()
(1cos ,sin )(12cos ,2sin )1cos PA PB PC
ααααα⋅+=--⋅---=-，
因为1cos 1α-≤≤，所以01cosα2
£-£所以()
PA PB PC ⋅+
的最大值为2．
故2
16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()3cos 2cos 21cos 2A C B -=-，则sin cos sin sin sin C C
A B C
+的最小值为______．
【分析】利用和差公式和二倍角公式得到tan 2tan C A =，确定tan 0A >，原式化简为
111tan tan tan 2tan 7
36tan A A
B A
C +++=，再利用均值不等式计算得到最值.【详解】()3cos 2cos 21cos 2A C B -=-，即()()()()()()()2
3cos cos 2sin
A C A C A C A C
B ++--++-=，
即()()()2
3sin sin sin
A C A C A C -+-=+，()0,πA C +∈，()sin 0A C +≠，
故()()3sin sin A C A C --=+，整理得到cos sin 2sin cos A C A C =，即tan 2tan C A =，且tan 0A >，()()2tan tan 3tan tan tan πtan 1tan tan 12tan A C A
B A
C A C A C A
+=--=-+=-
=---，
sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin sin sin si 111
tan ta t n n an B A C
C C A B A B C A B C A B C +=+=++
+222tan 1114tan 72tan 73tan tan 2tan 6tan 36tan A A A A A A A A -+=++==+
≥，
当且仅当2tan 736tan A A =，即tan 2A =时等号成立.
关键点睛：本题考查了三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，确定tan 2tan C A =，转化为均值不等式是解题的关键.四、解答题
17．已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，3π,2π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=(1)求sin 2α的值；(2)若1
cos 2
β=
，求()cos αβ-的值．【正确答案】(1)45
【分析】（1）运用正弦倍角公式求解即可；（2）运用两角和差余弦公式来解决；
【详解】（1）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，sin α=所以cos ,5α=
4sin 22,555α=⨯⨯=故sin 2α的值为45；
（2）由（1）知sin α，cos α
因为3π,2π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 2β=
，所以sin ,
2
β=(
)1cos cos cos sin sin 525210αβαβαβ⎛-=+=
+⨯-= ⎝⎭
所以()cos αβ-
的值为
10；18．已知向量a ，b
满足2a = ，4b = ，且
()()
2320a b a b +⋅-=- ．(1)若()()
2a kb ka b -⊥+
，求实数k 的值；
(2)求a
与3a b + 的夹角的余弦值．
【正确答案】
(1)1
【分析】（1）根据题意求得4a b ⋅=-
，结合()()
20a kb ka b -⋅+= ，得到2220k k --=，即可求解；
（2）由4a b ⋅=-
，分别求得(3)8a a b ⋅+=
和3a b += .
【详解】（1）解：由2a = ，4b =
，且
()(
)
2320a b a b +⋅-=- ，可得()()
2223253854820a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=- ，可得4a b ⋅=-
，
又由(
)()2a kb ka b -⊥+ ，可得()(
)
222
22(2)0a kb ka b ka k a b kb -⋅+=+-⋅-= ，
即28(2)(4)160k k k +-⨯--=，即2220k k --=
，解得1x =
1x =，所以实数k
的值为1（2）解：由4a b ⋅=-
，可得22(3)33248a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯-= ，
且3a b +=== 设向量a
与3a b + 的夹角为θ
，可得(3)co 7s 3a a b a a b
θ⋅+==⋅+ .
19．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知24cos cos tan S
c A ac C A
=+．(1)求角A ；
(2)若2a =，BC
ABC 的周长．
【正确答案】(1)π3
(2)6
【分析】（1）利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得cos A ，结合范围()0,πA ∈，可得A 的值；
（2）令BC 的中点为D ，连接AD ，设ADB α∠=，在ABD △与ACD 中利用余弦定理求出22b c +，再由余弦定理求出bc ，即可求出b c +，从而得解.【详解】（1）因为
24cos cos tan S
c A ac C A
=+，所以21
4sin 2cos cos sin cos bc A
c A ac C A
A
⨯=+，即2cos cos cos b A c A a C =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A C A A C A C B =+=+=，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2
A =
，又()0,πA ∈，所以π3
A =．
（2）令BC 的中点为D ，连接AD ，设ADB α∠=，在ABD △与ACD
中，由余弦定理可得
2
2121cos c α=+
-⨯
，
2
22121cos(π)b α=+
-⨯⨯-，
228b c ∴+=，
又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得224b c bc +-=，所以4bc =，所以()2
22216b c b c bc +=++=，所以4b c +=，
ABC ∴ 的周长为6
．
20．已知函数()()cos π2f x a x =+，0a >，将()f x 图象向左平移2
3a
个单位长度后得到()g x 图象．(1)若点1,26⎛⎫
⎪⎝⎭
为()g x 图象的一个对称中心，求a 的最小值：
(2)若2a =，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间．【正确答案】(1)5(2)17,,Z
12
12k k k ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦+【分析】（1）根据平移可得()22πcos π233g x f x a x a ⎛⎫⎛
⎫
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
=+
，进而根据对称中心即可求解，
（2）利用和差角公式以及辅助角公式化简()π2π6g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，由整体法即可求解.
【详解】（1）由题意可知()22πcos π233g x f x a x a ⎛⎫⎛
⎫
+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
=+
，由于1,26⎛⎫
⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心，所以
112π12ππcos π22ππ,Z 663
632g a a k k ⎛⎫⎛⎫
=+=⇒∈ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
++=+,解得16,Z a k k -∈=+，由于0a >，所以取1k =，则a 的最小值为5.
（2）2a =时，()()()2π2πcos 2π2cos 2π2cos 2πcos 2π33h x f x g x x x x x ⎛
⎫⎛
⎫=-=+-+-=-
+ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭13π
cos 2πcos 2π2πcos 2π2π2π
226x x x x x x ⎡⎤⎛
⎫=--=+=
-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦
-，
令π
2π2π2ππ,Z 6
k x k k ≤-
≤∈+,解得17,Z 1212k x k k +≤≤∈+，
故单调递减区间为17,,Z
12
12k k k ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦+21．甲乙两名同学周末去游乐场游玩，甲同学去坐摩天轮，乙同学因为恐高只能在休息区P 处等待．如图，已知摩天轮的半径为40米，按逆时针方向旋转且每20分钟转一圈．摩天轮开始转动后甲从最低点M 经过50秒恰好转到A 处，此时乙在P 处看甲的仰角为15°，又过了200秒转到B 处，此时乙在P 处看甲的仰角为60°，摩天轮与底座的基点H 及休息区P 在同一个竖直的平面内．
(1)求休息区P 与摩天轮底座的基点H 之间的距离；(2)求摩天轮的最高点到地面的距离．【正确答案】(1)102206+(2)10620240
++【分析】（1）根据运动的秒数以及周期可得15,75AOH BOH ∠=∠= ，进而根据三角函数的定义即可列出等量关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，（2）借助第一问的结论，即可加上直径求解.
【详解】（1）如图：过点,B A 分别作,OH PH 的垂线，垂足分别为,,,C D F Q ,
由每20分钟转一圈，最低点M 经过50秒恰好转到A 处，最低点M 经过250秒恰好转到B 处,故可知50250
36015,3607512001200
AOH BOH ∠⨯=∠⨯= =
=,设MH h =，则在直角三角形AOM 中，40cos15,40sin15OM AM == ，所以404040cos15,
AQ MH h OM h =+-=+-
=又Rt AQP △中，(
)
15,75,tan 754040cos15tan 75APH QAP PQ AQ h ∠=∠=∴=+-
=，
因此(
)
4040cos15tan 7540sin15,
PH PQ HQ h =+=+-+
同理可得(
)
4040cos 75tan 3040sin 75,
PH PF HF h =+=+-+
考虑到()tan 45tan 3062
tan 7523,sin15cos 75sin 45301tan 45tan 304
+-=+
==-=
-
=，()62
sin 75cos15sin 45304
===
++，将其代入(
)(
)
4040cos 75tan 3040sin 754040cos15tan 7540sin 15,
h h +-++-+
=解得10620240h =+-，所以102206
PH =+（2）由（1）知10620240h =，故摩天轮最高点到地面的距离为
2804040
h r +=+=
22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足cos sin 0a C C b c --=．
(1)求角A ；
(2)若a =ABC 面积的最大值；
(3)求
2
bc ab ac
a --的取值范围．
【正确答案】(1)
π3
(3)13,112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.（3）根据2π
3
C B =
-和正弦定理边角互化将原式转化为2
2ππ1sin 22sin 3663bc ab ac B B a --⎛⎫⎛
⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后令π6x B =+，则ππ22,62B x -=-将原式化为：2241
sin 2sin 33
bc ab ac x x a --=--，最后结合二次函数性质求解值域.
【详解】（1）由cos sin 0a C C b c --=，根据正弦定理得：sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，
又π()B A C =-+，代入上式得：
sin cos sin sin 0A C A C C --=，
又sin 0C >，
ππ1cos 22sin 1sin 662A A A A ⎛⎫⎛
⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
又ππ5π(,666A -∈-，所以πππ663
A A -=⇒=；
（2）由余弦定理得：
2221cos ,
22
b c a A bc +-==代入a =223,
b c bc +=+根据基本不等式222,b c bc +≥得：3,bc ≤当且仅当b c =时，等号成立，
ABC 的面积为：1sin ;
244
bc A =≤
故ABC 面积的最大值为4
.（3）根据正弦定理得：
22sin sin sin sin sin sin 4sin sin sin sin 322bc ab ac B C A B A C B C B C a A ⎛⎫----==-- ⎪ ⎪⎝⎭
,
令2π3C B =
-，得：242πsin sin sin 3232bc ab ac B B B a ⎡⎤⎛⎫--⎛⎫
=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
2
413cos cos 324B B B B B ⎫=
+--⎪⎪⎝⎭
，11
2cos 2cos
33B B B B =
---+，2ππ1sin 22sin 3663B B ⎛⎫⎛
⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，令π6x B =+，则ππ22,62B x -=-将原式化为：2241
sin 2sin 33bc ab ac x x a --=--，
2ππ5π10,,,,sin ,1,3662B x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤
∈∈∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦
根据二次函数的图像性质得到，
当3sin 4x =时，原式取得最小值，2
2
4331132,344312
bc ab ac a --⎛⎫=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭当sin 1x =时，原式取得最大值，
()2
2411211,33
bc ab ac a --=⨯-⨯-=-故2bc ab ac a --的取值范围为13,112⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
.。