2025届广东省普宁市勤建学校高三第三次测评数学试卷含解析

2025届广东省普宁市勤建学校高三第三次测评数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ）
A ．[﹣3，2）
B ．（﹣3，2）
C ．（﹣1，0]
D ．（﹣1，0）
2．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f b f a f c <<
D ．()()()f c f a f b << 3．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩
，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33 B ．32 C ．63 D ．62
5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ．83
B ．163
C ．43
D ．8
6．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A ．甲走桃花峪登山线路
B ．乙走红门盘道徒步线路
C ．丙走桃花峪登山线路
D ．甲走天烛峰登山线路
7．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）
A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立
8．如图是计算11111++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤
9．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是
A ．2()(2)3
-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33
-∞-+∞，， 10．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22
11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )
A ．22
B ．32
C ．102
D ．12
12．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB
⋅的最小值为（ ）
A ．223-
B ．1-
C ．0
D ．5232
- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值__________．
14．如图，在平面四边形中，，则_________
15．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
①因为,3sin x sinx π⎛⎫+≠ ⎪⎝
⎭所以3π不是函数y sinx ＝的周期； ②对于定义在R 上的函数,f x （
）若()22,f f ≠﹣（）则函数()f x 不是偶函数； ③“M N ＞”是“22log M log N ＞”成立的充分必要条件；
④若实数a 满足24,a ≤则2a ≤．
16．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）对于正整数n ，如果()*k k N ∈个整数12k a a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，
且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，
，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，
，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，
，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.
(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，
，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
18．（12分）若函数()f x 在0x 处有极值，且()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的“F 点”.
（1）设函数()2
2ln f x kx x =-（k ∈R ）. ①当1k =时，求函数()f x 的极值；
②若函数()f x 存在“F 点”，求k 的值；
（2）已知函数()32
g ax c x bx x =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，且()()121g x g x -≥，求a 的取值范围.
19．（12分）设函数()52f x x a x =-+--.
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.
20．（12分）已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.
21．（12分）在ABC ∆中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，记ABC ∆的面积为S ，且2S AB AC =⋅． （1）求角A 的大小；
（2）若7c =，cos 45
B =，求a 的值．
22．（10分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.(结论不要求证明)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.
【详解】
因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，
又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2、C
【解析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系.
【详解】
解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又1
2
124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12
log 21c ==- 设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈；
若1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+； ()f x 在[]1,2上是减函数；
12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；
12()()f x f x ∴<；
()f x ∴在[]0,1上是增函数；
所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=
∴()()()f b f a f c <<
故选：C
【点睛】
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.
3、C
【解析】
结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -.
【详解】
由题意可得2(2)39f -==，则
[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.
故选:C.
【点睛】
本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
4、D
【解析】
将AO、EC用AB、AC表示，再代入9
AB AC AO EC
⋅=⋅中计算即可. 【详解】
由0
OA OB OC
++=，知O为ABC
∆的重心，
所以
211
()
323
AO AB AC
=⨯+=()
AB AC
+，又2
AE EB
=，
所以
2
3
EC AC AE AC AB
=-=-，93()
AO EC AB AC
⋅=+⋅
2
()
3
AC AB
-
22
23
AB AC AB AC AB AC
=⋅-+=⋅，所以22
23
AB AC
=，
||36
22
||
AB
AC
λ===.
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 5、A
【解析】
由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．
【详解】
由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，
直观图如图所示，
18
222
33 V=⨯⨯⨯=．
故选：A．
【点睛】
本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．6、D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
7、D
【解析】
取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需11422ab a
+-<
，由此可得到答案.
【详解】
取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项； 由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且11142ab x a --=，21142ab x a
+-=，
因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <；
当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤；
所以要使n a M <，只需要120a x <<，故11422ab a
+-<
，化简得24b a <-且0b >. 故选：D ．
【点睛】
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
8、B
【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】 因为该程序图是计算
11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，
即判断框内的不等式应为6k ≥或5k >
所以选C
【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
9、D
【解析】
先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.
【详解】
因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称；
因此，由(0)0f =得(4)0f =；
又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；
所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23
x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23
x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()3
3-∞-+∞，，. 【点睛】
本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
10、A
【解析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++ 2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-
（舍），故选A. 考点：等差数列及其性质. 11、C
【解析】
化简得到1322z i =-
+，1322z i =--，再计算复数模得到答案. 【详解】 (1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+=
===-+++-， 故1322z i =--，10z =. 故选：C .
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12、C 【解析】
先画出函数图像和圆，可知MA MB =，若设2AMB θ∠=，则1tan MA MB θ==，所以2221||cos 22sin 3sin MA MB MA θθθ⋅==+
-，而要求MA MB ⋅的最小值，只要sin θ取得最大值，若设圆2220x y y +-=的圆心为C ，则1sin MC
θ=，所以只要MC 取得最小值，若设(,ln )M x x ，则222||(ln 1)MC x x =+-，然后构造函数22()(ln 1)g x x x =+-，利用导数求其最小值即可.
【详解】
记圆2220x y y +-=的圆心为C ，设AMC θ∠=，则11,sin tan MA MB MC θθ===，设222(,ln ),||(ln 1)M x x MC x x =+-，记22()(ln 1)g x x x =+-，则
212()22(ln 1)(ln 1)g x x x x x x x =+⋅=+-'-，令2()ln 1h x x x =+-，
因为2()ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x <=<'；当1x >时，()(1)0,()0h x h g x >=>'，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==，即
22,0sin 2MC
θ
<，所以22
2
1||cos 22sin 30sin MA MB MA θθθ⋅==+-≥（当2sin 2
θ=时等号成立）. 故选：C
【点睛】
此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3 【解析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2， 如图所示，1,2,,//,AD BC SB x AD BC SB ===⊥平面,ABCD AD AB ⊥，
所以底面积为1
(12)232
S =
⨯+⨯=， 几何体的高为x ，所以其体积为1
3333
V x x =⨯⨯=⇒=．
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见
轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 14、
【解析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可．
【详解】 由题意得
，
∴．
【点睛】
突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表
示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷． 15、①②④ 【解析】
对①,根据周期的定义判定即可. 对②,根据偶函数满足的性质判定即可. 对③,举出反例判定即可.
对④,求解不等式2
4,a ≤再判定即可. 【详解】 解：因为当3
x π
＝
时, ,3sin x sinx π⎛⎫
+
≠ ⎪⎝
⎭
所以由周期函数的定义知23
π
不是函数y sinx ＝的周期, 故①正确；
对于定义在R 上的函数()f x ,
若()()22f f -=,由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数, 故②正确；
当1,0M N ==时不满足22,log M log N ＞
则“M N ＞”不是“22,log M log N ＞”成立的充分不必要条件, 故③错误； 若实数a 满足2
4,a ≤
则22,a ≤≤﹣
所以2a ≤成立, 故④正确．
∴正确命题的序号是①②④．
故答案为：①②④． 【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题. 16、
13
【解析】
利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可. 【详解】
解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖, 甲、乙两人同时各抽取1张奖券,
则两人同时抽取两张共有：22
326C A = 种排法
排除特等奖外两人选两张共有：22
222C A =种排法.
故两人都未抽得特等奖的概率是：2163
P == 故答案为：13
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2
n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明
见解析，2n =，4n = 【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2
n k =
，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案. 【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.
(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2
n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为1
2
n k -=；
综上所述：n 为偶数，k 最大为2
n k =，n 为奇数时，k 最大为1
2n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.
当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；
当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故
n n f g <.
综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =. 【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）①极小值为1，无极大值.②实数k 的值为1.（2）[)2,0- 【解析】
（1）①将1k =代入()f x 可得()2
2ln f x x x =-，求导讨论函数单调性，即得极值；②设0x 是函数()f x 的一个“F
点”（00x >），即是()f x '的零点，那么由导数()()221kx f x x
-'=
可知0k >，且()00f x '=，可得0x =
据()00f x x =可得002ln 10x x +-=，设()2ln 1x x x ϕ=+-，由()x ϕ的单调性可得0x ，即得k .（2）方法一：先求()g x 的导数，()g x 存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，可以由()0g x '=和韦达定理表示出1x ，2x 的关系，再由
()()1212g x g x x x -=-，可得,,a b c 的关系式，根据已知解()()12121g x x x g x -=≥-即得.方法二：由函数()g x 存在不相等的两个“F 点”1x 和2x ，可知1x ，2x 是关于x 的方程组232
320
ax bx c ax bx cx x ⎧++=⎨++=⎩
的两个相异实数根，由32ax bx cx x ++=得0x =，分两种情况：0x =是函数()g x 一个“F 点”，0x =不是函数()g x 一个“F 点”，进行讨
论即得. 【详解】
解：（1）①当1k =时，()2
2ln f x x x =- （k ∈R ），
则有()()()
211x x f x x
-+'=（0x >），令()0f x '=得1x =，
列表如下：
故函数()f x 在1x =处取得极小值，极小值为1，无极大值. ②设0x 是函数()f x 的一个“F 点”（00x >）.
()()221kx f x x
-'=
（0x >），0x ∴是函数()f x '的零点.
0k ∴>，由()00f x '=，得2
1kx =，0x = 由()00f x x =，得2
0002ln kx x x -=，即002ln 10x x +-=.
设()2ln 1x x x ϕ=+-，则()2
10x x
ϕ'=+
>，
所以函数()2ln 1x x x ϕ=+-在()0,∞+上单调增，注意到()10ϕ=， 所以方程002ln 10x x +-=存在唯一实根1
，所以01x ==，得1k =， 根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点， 所以1是函数()f x 的“F 点”. 综上，得实数k 的值为1.
（2）由()3
2
g ax c x bx x =++（a ，b ，c ∈R ，0a ≠），
可得()2
32g x ax bx c '=++（0a ≠）.
又函数()g x 存在不相等的两个“F 点”1x 和2x ，
∴1x ，2x 是关于x 的方程2320ax bx c ++=（0a ≠）的两个相异实数根.
∴212124120233b ac b x x a c x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=-⎨⎪
⎪=⎪⎩
又()3
2
11111g x ax bx cx x =++=，()3
2
22222g x ax bx cx x =++=，
()()1212g x g x x x ∴-=-，即()()3232
1112
2212ax bx cx ax bx cx x x ++-++=-， 从而()()
()2
2
1211221212x x a x x x x b x x c x x ⎡⎤-+++++=-⎣⎦
12x x ≠，()()2
1212121a x x x x b x x c ⎡⎤∴+-+++=⎣⎦
，
即2221333b c b a b c a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.()2239ac b a ∴-=.
()()121g x g x -≥， ()()1212g x g x x x ∴-=-
=
=
1==≥， 解得20a -≤<.所以，实数a 的取值范围为[)2,0-.
（2）（解法2）因为()3
2
g ax c x bx x =++（ a ，b ，c ∈R ，0a ≠）
所以()2
32g x ax bx c '=++（0a ≠）.
又因为函数()g x 存在不相等的两个“F 点”1x 和2x ，
所以1x ，2x 是关于x 的方程组232
320ax bx c ax bx cx x
⎧++=⎨++=⎩的两个相异实数根. 由32ax bx cx x ++=得0x =，210ax bx c ++-=. （2.1）当0x =是函数()g x 一个“F 点”时，0c
且23b x a
=-
. 所以2
221033b b a b a a ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即2
92a b =-. 又()()12122013b
g x g x x x a
-=-=-
-≥， 所以2249b a ≥，所以()2
929a a ≤-.又0a ≠，所以20a -≤<. （2.2）当0x =不是函数()g x 一个“F 点”时，
则1x ，2x 是关于x 的方程22320
10
ax bx c ax bx c ⎧++=⎨++-=⎩的两个相异实数根.
又0a ≠，所以2313
b
b c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得032b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2
12ax =-
，得1,2x =. 所以()(
)12121g x g x x x -=-=，得20a -≤<. 综合（2.1）（2.2），实数a 的取值范围为[)2,0-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数极值，以及由函数的极值求参数值等，是一道关于函数导数的综合性题目，考查学生的分析和数学运算能力，有一定难度.
19、 (1)[2,3]-；(2) ][()
,62,-∞-⋃+∞. 【解析】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为
|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．
详解：（1）当1a =时，
()24,1,
2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][()
,62,-∞-⋃+∞．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 20、（1）2
16y x =；（2）4. 【解析】
（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；
（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫
⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.
联立28
2p x y px ⎧=⎪
⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或82p x p y ⎧=
⎪
⎪⎨⎪
=-
⎪⎩
，所以
822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为2
16y x =；
（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x x my n
⎧=⎨=+⎩有2
16160y my n --=，
设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()2
12
212
256
y y x x
n ==.
所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.
又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21、（1）4
π
；（2）5a = 【解析】
（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得sin cos bc A bc A =，结合范围(0,)A π∈，可求tan 1A =，进而可求A 的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求3
sin 5
B =，利用两角和的正弦函数公式可求sin
C 的值，由正弦定理可求得a 的值． 【详解】
解：（1）由2S AB AC =，得sin cos bc A bc A =， 因为(0,)A π∈， 所以tan 1A =， 可得：4
A π
=
．
（2）ABC ∆中，cos 45
B =， 所以3sin 5
B =
.
所以：sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
， 由正弦定理sin sin a c
A C
=
=，解得5a =， 【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 22、 (Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()3
4
E X = ；(Ⅲ)4 【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p =
= ，故1190%2m
⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，解得答案. 【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：
2
50520
⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.
()25285014C p X C ===，()11
532815128C C p X C ===，()23283
328
C p X C ===
. 故分布列为：
()0121428284
E X =⨯
+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，故4m ≥. 故m 的最小值为4. 【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。