高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(二)学案 新人教A版必修5

3.2 一元二次不等式及其解法（二）
[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
知识点一分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
知识点二简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；
(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
思考 (x －1)(x －2)(x －3)2
(x －4)＞0的解集为______________． 答案 {x |1＜x ＜2或x ＞4} 解析 利用数轴穿根法
知识点三 一元二次不等式恒成立问题
对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2
＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨
⎪
⎧a ＞0，Δ＜0Ｗ.
ax
2
＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪⎧a ＜0，
Δ＜0Ｗ.
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min ．
题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：
(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1
x －2≤2. 解 (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3
＞0，
此不等式等价于(x ＋4)(x －3)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}． (2)方法一 移项得
x ＋1
x －2
－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5
x －2
≥0，
同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －5）≥0，
x －2≠0，
∴x ＜2或x ≥5.
∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 方法二 原不等式可化为
x －5
x －2
≥0，
此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，
x －2＞0①
或⎩⎪⎨
⎪⎧x －5≤0，
x －2＜0，
②
解①得x ≥5，解②得x ＜2，
∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．
反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型
f （x ）
g （x ）＞0(<0)或f （x ）
g （x ）
≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号的方向变化．
跟踪训练1 不等式x 2－2x －2
x 2＋x ＋1
<2的解集为( )
A ．{x |x ≠－2}
B ．R
C ．∅
D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A
解析 ∵x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋34
＞0，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2
＋4x ＋4>0⇔(x
＋2)2
>0，
∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}． 题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x 4
－2x 3
－3x 2
＜0； (2)1＋x －x 3
－x 4
＞0；
(3)(6x 2
－17x ＋12)(2x 2
－5x ＋2)＞0. 解 (1)原不等式可化为x 2
(x －3)(x ＋1)＜0， 当x ≠0时，x 2
＞0，
由(x －3)(x ＋1)＜0，得－1＜x ＜3； 当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解． ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}． (2)原不等式可化为(x ＋1)(x －1)(x 2
＋x ＋1)＜0， 而对于任意x ∈R ，恒有x 2
＋x ＋1＞0，
∴原不等式等价于(x ＋1)(x －1)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．
(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，
进一步化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12(x －2)＞0， 如图所示，得原不等式的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜12或43＜x ＜3
2或x ＞2.
反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法．
跟踪训练2 若不等式x 2
＋px ＋q ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，则不等式x 2＋px ＋q x 2－5x －6
＞0的解集
是( ) A ．(1，2)
B ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
C ．(－1，1)∪(2，6)
D ．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞) 答案 D
解析 由题意知x 2
＋px ＋q ＝(x －1)(x －2)，则待解不等式等价于(x －1)(x －2)(x 2
－5x －6)＞0⇒(x －1)(x －2)(x －6)(x ＋1)＞0⇒x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6. 题型三 不等式恒成立问题
例3 对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋(5－2a )的值恒大于0，则a 的取值范围为________． 答案 (－2，2)
解析 由题意知，f (x )开口向上，故要使f (x )＞0恒成立， 只需Δ＜0即可， 即(a －4)2
－4(5－2a )＜0， 解得－2＜a ＜2.
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，
从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．
跟踪训练3 对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )
A ．1＜x ＜3
B ．x ＜1或x ＞3
C ．1＜x ＜2
D ．x ＜1或x ＞2 答案 B
解析 f (x )＞0，∴x 2
＋(a －4)x ＋4－2a ＞0， 即(x －2)a ＋(x 2
＋4－4x )＞0， 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2
－4x ＋4) 由题意知，⎩⎪⎨
⎪⎧g （1）＞0，
g （－1）＞0，
即
⎩
⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2
－4x ＋4＝x 2
－3x ＋2＞0，
－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2
－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.
题型四 一元二次不等式在生活中的应用
例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；
(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低后的征税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨，收购总金额为200a (1＋2x %)．
依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝1
50a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，1
50a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，
化简得x 2
＋40x －84≤0，
∴－42≤x ≤2. 又∵0＜x ＜10， ∴0＜x ≤2.
∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．
反思与感悟 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键． 跟踪训练4 在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2
，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2
. 问超速行驶谁应负主要责任？
解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2
>12，
S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.
分别求解，得
x <－40或x >30. x <－50或x >40.
由于x >0，从而得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2
x
≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ＜2} D ．{x |0≤x ≤1} 答案 B
解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．
2．若集合A ＝{x |ax 2
－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}
答案 D
解析 a ＝0时符合题意．a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2
－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上，得{a |0≤a ≤4}，故选D.
3．不等式（x ＋1）（x ＋2）2
（x ＋3）
x ＋4＞0的解集为______________________．
答案 {x |－4＜x ＜－3或x ＞－1} 解析 原式可转化为
(x ＋1)(x ＋2)2
(x ＋3)(x ＋4)＞0，
根据数轴穿根法，解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1.
4．设x 2
－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈(1，3)恒成立，求a 的取值范围．
解 原不等式x 2
－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2
＋2x ＋8对任意x ∈(1，3)恒成立， 设f (x )＝－x 2
＋2x ＋8，易知f (x )在 [1，3]上的最小值为f (3)＝5. ∴a ∈(－∞，5]．
5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解 设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为
x ∈[15，20)．
1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，一定要考虑分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .
3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未
知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．。