丰镇市一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

丰镇市一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）
2．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
10
A．π4B．π6C．π8D．π
3．若a=ln2，b=5，c=xdx，则a，b，c的大小关系（）
A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a
4．三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
5．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）A．36种B．18种C．27种D．24种
6
．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且
，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥
体积的最大值是（）
A． B． C． D．
7．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）
A．35B．C．D．53
8．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）
A．（﹣5，﹣10）B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）
9．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．众数 B．平均数C．中位数D．标准差
10．设x∈R，则|x﹣2|＜3是0＜x＜5的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分且不必要条件
11．在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1
D ．x=﹣
12．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，
设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b <<
13．在△ABC 中，AB 边上的中线CO=2，若动点P 满足=（sin 2θ）
+（cos 2θ）
（θ∈R ），则（
+
）
•
的最小值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．﹣2
D ．0
14．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
15．已知a ，b 是实数，则“a 2b ＞ab 2”是“＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
16．已知f （x ）=
，则f （f （0））= ．
17．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹
为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；
④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;
⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号） 18．给出下列命题：
①把函数y=sin （x ﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cos α＞cos β；
③x=﹣
是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣
）相同；
⑤y=2sin （2x ﹣
）在是增函数；
则正确命题的序号 ．
19．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且
，则____．
三、解答题
20．已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．
21．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x+3）2
+（y ﹣1）2
=4和圆C 2：（x ﹣4）2
+（y ﹣5）2
=4 （1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为2，求直线l 的方程
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．
22．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
23．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”．判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”？并证明你的结论．
24．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且
．
（1）求A；
（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．
25．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；
（2）求||||PB PA ⋅的最值.
丰镇市一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：令f（x）=x2﹣mx+3，
若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，
则f（1）=1﹣m+3＜0，
解得：m∈（4，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．
2．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
3．【答案】C
【解析】解：∵a=ln2＜lne即，
b=5=，
c=xdx=，
∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
4．【答案】A
【解析】解：∵a=0.52=0.25，
b=log20.5＜log21=0，
c=20.5＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
5．【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
6．【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积
【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA。

作于M，则。

令AM=t，则
所以即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A
7．【答案】D
【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53，
故选：D．
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，
故选B．
9．【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵|x﹣2|＜3⇔﹣1＜x＜5
∵{x|﹣1＜x＜5}⊇{x|0＜x＜5}
∴|x﹣2|＜3是0＜x＜5的必要不充分条件
故选B
【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简各个命题，然后再利用充要条件的定义进行判断．11．【答案】C
【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，
焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C ．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
12．【答案】C 【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不
可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，
则其图象关于点(,)m n 对称． 13．【答案】 C
【解析】解：∵ =（sin 2θ）+（cos 2θ）（θ∈R ），
且sin 2θ+cos 2
θ=1，
∴=（1﹣cos 2θ）+（cos 2θ）=
+cos 2θ•（
﹣
），
即﹣
=cos 2θ•（
﹣
），
可得
=cos 2θ•
，
又∵cos 2
θ∈[0，1]，∴P 在线段OC 上，
由于AB 边上的中线CO=2，
因此（+）•=2•，设|
|=t ，t ∈[0，2]，
可得（+
）•
=﹣2t （2﹣t ）=2t 2﹣4t=2（t ﹣1）2﹣2，
∴当t=1时，（
+
）•
的最小值等于﹣2．
故选C ．
【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
14．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
15．【答案】C
【解析】解：由a2b＞ab2得ab（a﹣b）＞0，
若a﹣b＞0，即a＞b，则ab＞0，则＜成立，
若a﹣b＜0，即a＜b，则ab＜0，则a＜0，b＞0，则＜成立，
若＜则，即ab（a﹣b）＞0，即a2b＞ab2成立，
即“a2b＞ab2”是“＜”的充要条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
二、填空题
16．【答案】﹣2．
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（0）=02+1=1，
f（f（0））=f（1）=﹣2×1=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
17．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），
∴•=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；
③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；
④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为
2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．
故答案为：①④⑤．
18．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin（2x﹣），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．
对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函
数y=cos（2x+π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），
故函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
19．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
三、解答题
20．【答案】
【解析】解：若p为真，则0＜a＜1；
若q为真，则△=4a2﹣1≤0，得，
又a＞0，a≠1，∴．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假．
①当p为真，q为假时，由；
②当p为假，q为真时，无解．
综上，a的取值范围是．
【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的．
21．【答案】
【解析】
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d==1（2分）
d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0
则直线l 2方程为：y ﹣b=﹣（x ﹣a ）（6分）
∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等， ∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等
即
=
（8分）
整理得|1+3k+ak ﹣b|=|5k+4﹣a ﹣bk|
∴1+3k+ak ﹣b=±（5k+4﹣a ﹣bk ）即（a+b ﹣2）k=b ﹣a+3或（a ﹣b+8）k=a+b ﹣5 因k 的取值有无穷多个，所以
或
（10分）
解得或
这样的点只可能是点P 1（，﹣）或点P 2（﹣，
）（12分）
22．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【
解
析
】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩解得1,
5,
k b =⎧⎨=⎩
∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-． （2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-．
考点：待定系数法． 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，
则有g′（x）=2ax+b+=＞0；
从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；
又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，
事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，
k==a（x1+x2）+b=2ax0+b；
又f′（x0）=2ax0+b，
故k=f′（x0）；
故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；
对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，
不妨设0＜x1＜x2，则k==2ax0+b+；
而g′（x0）=2ax0+b+；
故=，化简可得，
=；
设t=，则0＜t＜1，lnt=；
设s（t）=lnt﹣；则s′（t）=＞0；
则s（t）=lnt﹣是（0，1）上的增函数，
故s（t）＜s（1）=0；
则lnt≠；
故g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”．
【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且cosBcosC ﹣sinBsinC=cos （B+C ）=，
∴B+C=，
则A=；
（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣
，
∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b 2+c 2+bc=（b+c ）2
﹣bc ，即12=16﹣bc ，
解得：bc=4，
则S
△ABC =
bcsinA=
×4×
=
．
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
25．【答案】（1）
12
22
=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. 【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x （α为参数），消去参数α
得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x
得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分） 设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1
[sin 11sin 2cos 1||||||2
2221∈+=+==⋅θθθt t PB PA . ∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. （10分） 考点：参数方程化成普通方程．。