2022-2023学年江苏省常州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省常州二中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l 经过坐标原点O ，且它的倾斜角是直线y =√3x 的倾斜角的两倍，则l 的方程为（ ） A ．y ＝x
B ．y =2√3x
C ．y =−√3x
D ．y =−
√3
3
x
2．圆心为（﹣3，1），半径为√5的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝5 B ．（x +3）2+（y ﹣1）2＝5
C ．（x +3）2+（y ﹣1）2＝25
D ．(x +3)2+(y −1)2=√5
3．椭圆
x 216
+
y 225
=1的离心率为（ ）
A ．45
B ．5
4
C ．3
5
D ．5
3
4．抛物线y 2＝﹣4x 的焦点坐标是（ ） A ．（1，0） B ．（﹣1，0）
C ．（2，0）
D ．（﹣2，0）
5．若双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，则其渐近线方程为（ ） A ．2x ±3y ＝0
B ．3x ±2y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
6．圆O 1：x 2+y 2﹣4x +6y +2＝0和圆O 2：x 2+y 2﹣2x ＝0的公共弦AB 的垂直平分线的方程为（ ） A ．3x ﹣y ﹣3＝0
B ．x +3y ﹣1＝0
C ．x +3y +1＝0
D ．3x +y ﹣3＝0
7．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43
，34
] B ．(−∞，−43]∪[34
，+∞) C ．[−3
4
，43]
D ．(−∞，−34
]∪[43
，+∞)
8．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，点P （1，y 0）在C 上，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若∠FPQ ＝120°，则F 到y 轴的距离为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝3x ﹣2在y 轴上的截距是2
B ．直线2x ﹣y +5＝0经过第一、二、三象限
C ．过点（5，0），且倾斜角为90°的直线方程为x ﹣5＝0
D ．过点P （1，2）且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为x +y ﹣3＝0 10．已知双曲线C ：
y 23
−
x 26
=1，则（ ）
A ．双曲线C 的离心率为√3
B ．双曲线
C 的虚轴长为√6
C ．双曲线C 的焦点坐标为（0，±3）
D ．双曲线C 的渐近线方程为y =±
√2
2
x
11．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝1，直线l ：x +y ＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值为√2−1
C ．到直线l 的距离为1的点P 有且只有2个
D ．从点Q 向圆C 引切线，切线的长的最小值是2 12．已知椭圆C ：
x 29
+
y 26
=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上（异于左右顶点），记△PF 1F 2的
面积为S ，则（ ）
A ．当∠F 1PF 2＝60°时，S =√3
B ．PF 1→
⋅PF 2→
的取值范围为[3，6） C ．△PF 1F 2的面积的最大值为3√2
D ．椭圆C 上有且只有4个点P ，使得△PF 1F 2是直角三角形 三、填空題：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过两点（2，0）和（0，3）的直线的一般式方程为 ． 14．直线l 1：2x +4y ﹣3＝0与直线l 2：x +2y +1＝0之间的距离为 ． 15．试写出一个以（0，±2）为焦点的双曲线的标准方程： ．
16．已知直线l ：x +y ﹣4＝0与x 轴交于点A ，直线kx +y ﹣2＝0与y 轴及直线l 分别交于点B 和点C ，O 为平面直角坐标系xOy 的原点．若A ，B ，C ，O 四点在同一个圆上，则点C 的坐标为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：ax +2y +1＝0，l 2：x +（a +1）y ﹣2＝0（a ∈R ）． （1）若l 1∥l 2，求a 的值； （2）若l 1⊥l 2，求a 的值．
18．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝16，过点P （﹣1，3）且倾斜角为α的直线与圆C 交于A ，
B 两点．
（1）当α＝135°时，求AB 的长；
（2）当点P 为线段AB 中点时，求直线AB 的方程．
19．（12分）已知圆M 经过A （0，5），B （1，﹣2），C （0，﹣3）三点． （1）求圆M 的方程；
（2）已知圆N 与圆M 外切于点B ，且圆心N 在直线x ﹣y ﹣10＝0上，求圆N 的方程．
20．（12分）已知点F （2，0），直线l ：x ＝﹣2，动点P 到点F 间的距离等于它到直线l 的距离． （1）试判断动点P 的轨迹C 的形状，并写出C 的方程；
（2）求动点P 到直线y ＝3x +4的距离与到y 轴的距离之和的最小值． 21．（12分）已知双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ，b ＞0）的右焦点为F （2，0），渐近线方程为y =±√3x ．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）双曲线C 的左支与x 轴交于点A ，经过点F 的直线与C 交于P ，Q 两点，求AP →
⋅AQ →
的值． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．椭圆C ：x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)过点A （0，﹣2），
且离心率为
√2
2
，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点M 满足2OM →
=OF →
，在椭圆C 上是否存在点B （异于C 的顶点），使得直线AB 与以M 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省常州二中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l 经过坐标原点O ，且它的倾斜角是直线y =√3x 的倾斜角的两倍，则l 的方程为（ ） A ．y ＝x
B ．y =2√3x
C ．y =−√3x
D ．y =−
√3
3
x
解：∵直线y =√3x 的斜率为√3，故它的倾斜角为60°，
而直线l 经过原点O ，且它的倾斜角是直线y =√3x 的倾斜角的两倍，则l 的倾斜角为120°，斜率为tan120°=−√3，
故直线l 的方程为y =−√3x ， 故选：C ．
2．圆心为（﹣3，1），半径为√5的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝5 B ．（x +3）2+（y ﹣1）2＝5
C ．（x +3）2+（y ﹣1）2＝25
D ．(x +3)2+(y −1)2=√5
解：圆心为（﹣3，1），半径为√5的圆的方程为（x +3）2+（y ﹣1）2＝5． 故选：B ． 3．椭圆
x 216
+
y 225
=1的离心率为（ ）
A ．45
B ．5
4
C ．3
5
D ．5
3
解：由椭圆的焦点在y 轴上，a ＝5，b ＝4， c 2＝a 2﹣b 2＝25﹣16＝9， ∴c ＝3， 由e =c
a =3
5， 故选：C ．
4．抛物线y 2＝﹣4x 的焦点坐标是（ ） A ．（1，0）
B ．（﹣1，0）
C ．（2，0）
D ．（﹣2，0）
解：抛物线y 2＝﹣4x 的开口向左，p ＝2，焦点坐标是：（﹣1，0）． 故选：B ． 5．若双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，则其渐近线方程为（ ） A ．2x ±3y ＝0 B ．3x ±2y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
解：双曲线
x 2
a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，
∴
b a
=√
c 2a 2
−1=2，又渐近线方程为y ＝±b
a
x ，
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故选：D ．
6．圆O 1：x 2+y 2﹣4x +6y +2＝0和圆O 2：x 2+y 2﹣2x ＝0的公共弦AB 的垂直平分线的方程为（ ） A ．3x ﹣y ﹣3＝0
B ．x +3y ﹣1＝0
C ．x +3y +1＝0
D ．3x +y ﹣3＝0
解：圆O 1：圆方程化为（x ﹣2）2+（y +3）2＝10，所以圆心O 1（2，﹣3）， 圆O 2：圆方程化为（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心O 2（1，0）， 则O 1O 2的中点坐标为（3
2
，−3
2
），k
O 1O 2
=
−3−0
2−1
=−3， 所以两圆的公共弦AB 所在的垂直平分线方程为y +32
=−3（x −32
），即为3x +y ﹣3＝0， 故选：D ．
7．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43
，34
] B ．(−∞，−43]∪[34
，+∞) C ．[−3
4
，43]
D ．(−∞，−34
]∪[43
，+∞)
解：直线l ：mx +y +m ﹣1＝0，即m （x +1）+y ﹣1＝0， 则直线l 过定点C （﹣1，1），
∵A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），C （﹣1，1）， ∴k AC =
−3−12+1=−43，k BC =−2−1−5+1=3
4
， ∵直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点， ∴−m ≥34
或﹣m ≤−43
，解得m ≤−34
或m ≥43
， 故实数m 的取值范围为（﹣∞，−3
4
]∪[43
，+∞)． 故选：D ．
8．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，点P （1，y 0）在C 上，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若∠FPQ ＝120°，则F 到y 轴的距离为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
解：由题意可知，不妨令P 在x 轴上方，准线l 与x 轴交点为M ，如图所示：
因为点P （1，y 0）在C 上，根据抛物线的定义可得|PQ|=|PF|=1+p
2，|MF|=p ，且∠FPQ ＝120°，则∠PQF ＝∠PFQ ＝30°， 所以△FPQ 为等腰三角形，且
|PQ||QF|
=
√3
，解得|QF|=√3(1+p
2)，
在Rt △QMF 中，∠MQF ＝60°，即sin ∠MQF =|MF|
|QF|，即√32=√3(1+p 2)
p ＝6，所以F 到y 轴的距离为3． 故选：A ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝3x ﹣2在y 轴上的截距是2
B ．直线2x ﹣y +5＝0经过第一、二、三象限
C ．过点（5，0），且倾斜角为90°的直线方程为x ﹣5＝0
D ．过点P （1，2）且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为x +y ﹣3＝0 解：对于A ，直线y ＝3x ﹣2在y 轴上的截距是﹣2，故A 错误， 对于B ，直线2x ﹣y +5＝0，即y ＝2x +5， 直线的斜率2＞0，直线与y 轴的截距大于0，
故直线2x ﹣y +5＝0经过第一、二、三象限，故B 正确，
对于C ，过点（5，0），且倾斜角为90°的直线方程为x ＝5，即x ﹣5＝0，故C 正确， 对于D ，直线在x 轴，y 轴上的截距为0时， 直线过点P （1，2）， 则直线方程为y ＝2x ，
直线在x 轴，y 轴上的截距不为0时， 则可设直线方程为x +y ＝a ， 直线过点P （1，2），
则1+2＝a ，解得a ＝3， 故直线方程为x +y ﹣3＝0，
综上所述，所求直线方程为y ＝2x 或x +y ﹣3＝0，故D 错误． 故选：BC ． 10．已知双曲线C ：
y 23
−
x 26
=1，则（ ）
A ．双曲线C 的离心率为√3
B ．双曲线
C 的虚轴长为√6
C ．双曲线C 的焦点坐标为（0，±3）
D ．双曲线C 的渐近线方程为y =±√2
2
x
解：由双曲线的方程
y 23
−
x 26
=1，得a =√3，b =√6，
则c =√3+6=3，所以离心率为e =c
a =√3，A 正确； 虚轴长为2
b =2√6，B 错误； 焦点坐标为（0，±3），C 正确； 渐近线方程为y =√36
=±
√2
2
x ，D 正确．
故选：ACD ．
11．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝1，直线l ：x +y ＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值为√2−1
C ．到直线l 的距离为1的点P 有且只有2个
D ．从点Q 向圆C 引切线，切线的长的最小值是2
解：圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝1的圆心坐标为（2，0），半径为1， 圆心（2，0）到直线x +y ＝0的距离d =
2
=√2＞1，可得直线l 与圆C 相离，故A 错误； |PQ |的最小值为d ﹣r =√2−1，故B 正确；
∵|PQ |的最小值为√2−1＜1，∴到直线l 的距离为1的点P 有且只有2个，故C 正确； 从点Q 向圆C 引切线，切线的长的最小值是√(√2)2−12=1，故D 错误． 故选：BC ． 12．已知椭圆C ：
x 29
+
y 26
=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上（异于左右顶点），记△PF 1F 2的
面积为S ，则（ ）
A ．当∠F 1PF 2＝60°时，S =√3
B ．PF 1→
⋅PF 2→
的取值范围为[3，6） C ．△PF 1F 2的面积的最大值为3√2
D ．椭圆C 上有且只有4个点P ，使得△PF 1F 2是直角三角形
解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由余弦定理可得4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos θ，则有4c 2＝（m +n ）2
﹣2mn （1+cos θ），
所以mn =2b 21+cosθ，则S =12mn sin θ=12×2b 2sinθ1+cosθ，θ＝∠F 1PF 2＝60°，S =12×12×√3
21+1
2
=2√3，所以A 不
正确；
故点P 在C 上（异于左右顶点），设P （3cos θ，√6sinθ），θ∈（0，π）∪（π，2π），F 1（−√3，0），F 2（√3，0），
PF 1→
⋅PF 2→
=（−√3−3cos θ，−√6sin θ）•（√3−3cos θ，−√6sin θ）＝3cos 2θ+3∈[3，6），所以B 正确； △PF 1F 2的面积的最大值：1
2×2c ×b =bc =√6×√3=3√2，所以C 正确；
因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆没有公共点，椭圆C 上有且只有4个点P ，使得△PF 1F 2是直角三角形，所以D 正确． 故选：BCD ．
三、填空題：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过两点（2，0）和（0，3）的直线的一般式方程为 3x +2y ﹣6＝0 ． 解：直线的斜率为
3−00−2
=−3
2，
故所求直线的方程为y =−3
2x +3，即3x +2y ﹣6＝0． 故答案为：3x +2y ﹣6＝0．
14．直线l 1：2x +4y ﹣3＝0与直线l 2：x +2y +1＝0之间的距离为 √5
2
． 解：x +2y +1＝0即为2x +4y +2＝0， 则所求距离为√22+42
=
√52
． 故答案为：
√52
． 15．试写出一个以（0，±2）为焦点的双曲线的标准方程： y 23
−x 2=1（答案不唯一） ．
解：以（0，±2）为焦点的双曲线的一个标准方程：y 23
−x 2=1．
故答案为：
y 23
−x 2=1（答案不唯一）．
16．已知直线l ：x +y ﹣4＝0与x 轴交于点A ，直线kx +y ﹣2＝0与y 轴及直线l 分别交于点B 和点C ，O 为平面直角坐标系xOy 的原点．若A ，B ，C ，O 四点在同一个圆上，则点C 的坐标为 （1，3） ． 解：如图，
直线kx +y ﹣2＝0过定点B （0，2），若A ，B ，C ，O 四点在同一个圆上， 则直线l ：x +y ﹣4＝0与直线kx +y ﹣2＝0垂直， 可得k ＝﹣1，联立{x +y −4=0−x +y −2=0，解得C （1，3）．
故答案为：（1，3）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：ax +2y +1＝0，l 2：x +（a +1）y ﹣2＝0（a ∈R ）． （1）若l 1∥l 2，求a 的值； （2）若l 1⊥l 2，求a 的值．
解：（1）∵直线l 1：ax +2y +1＝0，l 2：x +（a +1）y ﹣2＝0，l 1∥l 2， ∴a （a +1）＝2×1，即a 2+a ﹣2＝0． 解得a ＝﹣2或1， 经检验都符合题意， 故a ＝﹣2或1． （2）∵l 1⊥l 2， ∴a ×1+2（a +1）＝0， ∴a =−2
3．
18．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝16，过点P （﹣1，3）且倾斜角为α的直线与圆C 交于A ，B 两点．
（1）当α＝135°时，求AB 的长；
（2）当点P 为线段AB 中点时，求直线AB 的方程． 解：（1）当α＝135°时，k AB ＝tan135°＝﹣1，
∵直线过点P （﹣1，3），则直线AB 方程为：y ﹣3＝﹣（x +1），即x +y ﹣2＝0．
此时圆心C （1，2）到直线AB 的距离d =
|1+2−2|1+1
=√2
2， 由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝16，得r ＝4， ∴|AB|=2√r 2−d 2=2√42−(2
2)2=√62；
（2）当点P （﹣1，3）为线段AB 中点时，有CP ⊥AB ， ∴k CP ⋅k AB ＝﹣1，而k CP =3−2−1−1=−1
2，∴k AB ＝2． ∴直线AB 方程为y ﹣3＝2（x +1），即2x ﹣y +5＝0．
19．（12分）已知圆M 经过A （0，5），B （1，﹣2），C （0，﹣3）三点． （1）求圆M 的方程；
（2）已知圆N 与圆M 外切于点B ，且圆心N 在直线x ﹣y ﹣10＝0上，求圆N 的方程． 解：（1）设圆M 方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，D 2+E 2﹣4F ＞0． 将A ，B ，C 三点坐标代入上式得{5E +F +25=0
D −2
E +
F +5=0−3E +F +9=0，
解得{D =6
E =−2
F =−15
．
所以圆M 的方程为x 2+y 2+6x ﹣2y ﹣15＝0，即（x +3）2+（y ﹣1）2＝25． （2）因为圆N 与圆M 外切于点B ，所以圆心N 直线MB 上，k AB =1−(−2)−3−1=−3
4
，所以直线MB 的方
程为：3x +4y +5＝0．
又N 在直线x ﹣y ﹣10＝0上，
所以{3x +4y +5=0x −y −10=0，解得{x =5y =−5，所以N （5，﹣5）．
半径r =BN =√(5−1)2+(−5+2)2=5． 所以圆N 的方程为（x ﹣5）2+（y +5）2＝25．
20．（12分）已知点F （2，0），直线l ：x ＝﹣2，动点P 到点F 间的距离等于它到直线l 的距离． （1）试判断动点P 的轨迹C 的形状，并写出C 的方程；
（2）求动点P 到直线y ＝3x +4的距离与到y 轴的距离之和的最小值． 解：（1）已知点F （2，0），直线l ：x ＝﹣2， 因为动点P 与点F 间的距离等于它到直线l 的距离， 所以点P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线； 又因为点F （2，0），直线l ：x ＝﹣2，
则抛物线开口向右，且焦点F 到准线l 的距离为4，
所以轨迹C 的方程为y 2＝8x ；
（2）动点P 到y 轴的距离等于P 到焦点的距离“减2”，
所以动点P 到直线y ＝3x +4的距离与到y 轴的距离之和的最小值为：
F （2，0）到直线y ＝3x +4，即3x ﹣y +4＝0的距离“减2”，即√32+12−2=√10−2．
所以动点P 到直线y ＝3x +4的距离与到y 轴的距离之和的最小值为√10−2．
21．（12分）已知双曲线C ：x 2
a 2−y 2
b 2=1（a ，b ＞0）的右焦点为F （2，0），渐近线方程为y =±√3x ．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）双曲线C 的左支与x 轴交于点A ，经过点F 的直线与C 交于P ，Q 两点，求AP →⋅AQ →的值． 解：（1）因为双曲线C ：
x 2a 2−y 2b 2=1（a ，b ＞0）的右焦点为F （2，0），渐近线方程为y =±√3x ， 所以{c =2
b a =√3
a 2+
b 2=
c 2，解得{a =1b =√3
， 所以双曲线C 的标准方程为x 2−y 23=1．
（2）当直线PQ 斜率为0时，AP →⋅AD →=0．
直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为x ＝ty +2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
联立方程{x =ty +2，x 2−y 23=1
，消去x 并整理得（3t 2﹣1）y 2+12ty +9＝0， 因为直线与C 交于两点，故t ≠±
√33，Δ＝（12t ）2﹣4（3t 2﹣1）×9＝36（t 2+1）＞0， 所以y 1+y 2=−12t 3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1
， 而x 1+x 2=t(y 1+y 2)+4，x 1x 2=(ty 1+2)(ty 2+2)=t 2y 1y 2+2t(y 1+y 2)+4，
AP →=(x 1+1，y 1)，AQ →
=(x 2+1，y 2)，
所以AP →⋅AQ →=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1
=(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9=9t 2+93t 2−1−36t 23t 2−1+9=9(−3t 2+1)3t 2−1+9=0． 综上可得，AP →⋅AQ →=0．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．椭圆C ：
x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点A （0，﹣2），
且离心率为√22，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点M 满足2OM →=OF →，在椭圆C 上是否存在点B （异于C 的顶点），使得直线AB 与以M 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0)过点A （0，﹣2），且离心率为√22
， 可知{
b =2，
c a =√22，a 2−b 2=c 2，解得{a =2√2，b =2 椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1．
（2）若存在这样的点B 使得直线AB 与以M 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点， 由题意可得直线AB 和直线MP 的斜率均存在．
设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣2，
由方程组{x 28+y 24=1，y =kx −2，
消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣8kx ＝0，
解得x ＝0或x =8k
2k 2+1
． 则点B 的坐标为(8k
2k 2+1，4k 2−2
2k 2+1)．
因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣2），
所以点P 的坐标为(
4k 2k 2+1，−22k 2+1)． 由2OM →=OF →，可得点M 的坐标为（1，0），
所以直线MP 的斜率为−22k 2+14k 2k 2+1−1=22k 2−4k+1．
因为直线AB 与以M 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥MP ，
所以2
2k 2−4k+1⋅k =−1，整理得2k 2﹣2k +1＝0，k 无解．
所以，不存在满足题意的点B ．。