河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.5.3定积分的概念学案 新人教A版选修2-2

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.5.3定积分的概念学案 新
人教A 版选修2-2
【学习目标】
1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；
2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；
3．明确定积分的几何意义和物理意义；
4．无限细分和无穷累积的思维方法.
【学习过程】
1、自我阅读：（课本第45页至第46页）完成知识点的提炼
复习：回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的步骤.
探究
问题1：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把直线x a =，x b =()a b ≠，0y =和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？
研究特例：对于 1x =，0y =，2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？
新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程
分割⇒近似代替⇒求和⇒取极限
2.定积分的定义：1
()lim ()n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 3.定积分的几何意义：
4. 定积分的性质：
(1) ()b a kf x dx =⎰ (k 为常数)； (2) 12[()()]b a f x f x dx ±=⎰
(3) ()b a f x dx =⎰
（其中a c b <<）.
问题2：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积S 吗？
2、研究课本例题：（是对基本知识的体验）
例1 利用定积分的定义，计算1
30x dx ⎰的值
变式：计算2
30x dx ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么？
例2 试用定积分的几何意义说明
⎰
的大小.
变式：计算定积分2
1(1)x dx +⎰
【课堂小结与反思】（体会本节课所学知识、题型、方法）用自已的语言来概述本节课题的内容如下：
【课堂自我检测】
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且(())()F x C f x '+=，（C 为常数），则0()()lim x F x x F x x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．()F x
B ．()f x
C ．0
D ．()f x '
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上的平均值为（ ）
A ．()()2
f a f b + B ．()b a f x dx ⎰ C ．1()2b a f x dx ⎰ D ．1()b a
f x dx b a -⎰ 3. 设()f x 是连续函数，且为偶函数，在对称区间[,]a a -上的定积分()a
a f x dx -⎰，由定积分的几何意义和性质()a a
f x dx -⎰=（ ） A ．0 B ．0
2()a f x dx -⎰ C ．0()a f x dx -⎰ D ．0()a
f x dx ⎰ 4.计算下列定积分,并从几何上解释这些值分别表示什么.
（1）031x dx -⎰； （2）131x dx -⎰； （3）2
31x dx -⎰；
【课后作业】
1、由y=sinx, x=0,x=
2π,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 2、定积分⎰b
a dx x f )(的大小 （ ）
A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关
B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关
C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关
D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关
3、下列等式成立的个数是（ ）
①⎰
⎰=1010)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ0220sin sin sin ③dx x dx x a a a ⎰⎰=-02 ④⎰⎰<-2
020224dx dx x A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
4.画出
⎰-312)2(dx x x 表示的图形
5.画出由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.
6、计下列定积分(1)(2) (1)dx x ⎰--2
224
(2)⎰⎰-+-2110)1()1(dx x dx x
7.计算
131x dx -⎰的值
8.利用定积分的定义，证明
1b a dx b a =-⎰，其中
,a b 均为常数且a b <.。