邯郸市初中数学图形的相似经典测试题及答案解析

邯郸市初中数学图形的相似经典测试题及答案解析
一、选择题
1．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）
A．20米B．18米C．16米D．15米
【答案】D
【解析】
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．
【详解】
解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1:2=旗杆高：30，
∴旗杆的高=130
=15
2
⨯
米．
故选：D．
【点睛】
本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．
AD AE AB EC
= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C
【解析】
【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC
= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴
AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，
∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,
DE AE BC AC ∴
=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC
∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，
∴
AG AE AF AC
= ,故不正确； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
4．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）
A．1 B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴＝，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）
A．AD DE
DB BC
=B．
BF EF
BC AB
=C．
AE
EC FC
DE
=D．
EF BF
AB BC
=
【答案】C 【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF ∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.
【详解】
解：如图所示：
∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴
DE AD AD BC AB DB
=≠， ∴答案A 错舍去；
∵EF ∥AB ，
∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C
=≠ ∴答案B 舍去
∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，
∴∠ADE ＝∠CFE ，
又∵∠AED ＝∠C ，
∴△ADE ～△EFC ， ∴
AE DE EC FC
=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，
∴△CEF ∽△CAB ， ∴
EF CE FC BF AB AC BC BC
==≠， ∴答案D 错舍去；
故选C ．
【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
6．如图，点A在双曲线y═k
x
（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O
和点A为圆心，大于1
2
OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于
点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）
A．2 B．32
25
C．
43
D．
252
+
【答案】B
【解析】
分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
详解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，22=5
OF OC
+
∴
25
5
，
∴OA=45
5
，
由△FOC∽△OBA，可得OF OC CF
OB AB OA
==，
∴
215
45
5 OB
AB
==
，
∴OB=
8
5
，AB=
4
5
，
∴A（
8
5
，
4
5
），
∴k=
32
25
．
故选B．
点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，将ABC
∆沿BC边上的中线AD平移到A B C
'''
∆的位置．已知ABC
∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1
AA'=，则A D'等于（）
A．2 B．3 C．4 D．
3
2
【答案】B
【解析】
【分析】
由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知
19
22
A DE A EF
S S
'
∆
'
∆
==，
1
8
2
ABD ABC
S S
∆∆
==，根据△DA′E∽△DAB知
2
A DE
ABD
S
A D
AD S
∆
∆
'
⎛⎫
=
'
⎪
⎝⎭
，据此求解可得．
【详解】
16
ABC
S
∆
=
Q、9
A EF
S
∆'
=，且AD为BC边的中线，
19
22
A DE A EF
S S
∆∆
''
∴==，
1
8
2
ABD ABC
S S
∆∆
==，
Q将ABC
∆沿BC边上的中线AD平移得到A B C
'''
∆，
//
A E AB
∴'，
DA E DAB
'
∴∆~∆，
则
2
A DE
ABD
S
A D
AD
S
∆
∆
'
⎛⎫
=
'
⎪
⎝⎭
，即
2
2
9
9
1816
A D
A D
⎛⎫
==
'
⎪
+
⎝⎭
'
，
解得3
A D
'=或
3
7
A D'=-（舍），
故选：B．
【点睛】
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
8．如图所示，Rt AOB
∆中，90
AOB
∠=︒，顶点,A B分别在反比例函数()
1
y x
x
=>
与()
5
y x
x
=-<的图象器上，则tan BAO
∠的值为（）
A
5
B5C25D10
【答案】B
【解析】
【分析】
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=
5
2
，S△AOC=
1
2
，根据相似三角形的性质得到=5
OB
OA
=，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数()
1
y x
x
=>与()
5
y x
x
=-<的图象上，
∴S△BDO=5
2
，S△AOC=
1
2
，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴
251
5
22
BOD
OAC
S OB
S OA
⎛⎫
==÷=
⎪
⎝⎭
△
△
，
∴5
OB
OA
=，
∴tan∠BAO=5
OB
OA
=.
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A．
3
2
B．
9
2
C
33
D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=3
2
．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
10．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）
A．9 B．12 C．14 D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
【详解】
解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，
由题意得∠ACB＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴AB BC
DE CE
=，即
1.5
212
DE
=，
∴DE＝9．
即旗杆的高度为9m．故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
11．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．
A ．()2,4-
B ．()1,4-
C ．()1,4-
D ．()4,2-
【答案】A
【解析】
【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．
【详解】
设位似图形的位似比例为k
则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===
△AOB Q 和11A OB △的周长之比为1:2
111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12
OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =
又Q 点B 的坐标为(1,2)-
∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=
Q 点1B 位于第四象限
∴点1B 的坐标为(2,4)-
故选：A ．
【点睛】
本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．
12．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周
长为 )
A ．48 cm
B ．54 cm
C ．56 cm
D ．64 cm
【答案】A
【解析】
试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为x ， 则有=， 解得：x=48．
大多边形的周长为48cm ．
故选A ．
考点：相似多边形的性质．
13．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）
A ．4
B ．23
C ．33
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．
【详解】
解：∵//DE BC ，
∴ADE ~ABC V V ，
∵2DE BC =，
∴点D 是AB 的中点，
∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，
∴∠B ＝30°，
∴AB 6cos30BF =
=︒
， ∴DF=3，
故选：D ．
【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．
14．如图，菱形ABCD 中，点P 是CD 的中点，∠BCD=60°，射线AP 交BC 的延长线于点E ，射线BP 交DE 于点K ，点O 是线段BK 的中点，作BM ⊥AE 于点M ，作KN ⊥AE 于点N ，连结MO 、NO ，以下四个结论：①△OMN 是等腰三角形；②tan ∠OMN=
3；③BP=4PK ；④PM•PA=3PD 2，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4
KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=
33
，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．
【详解】
解：作PI ∥CE 交DE 于I ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，
在△ADP 和△ECP 中，
DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADP ≌△ECP ，
∴AD=CE ， 则
PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2
PI CE ， ∵AD=CE ， ∴
1=4
KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，
故③错误；
作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，
∴BM ∥OG ∥KN ，
∵点O 是线段BK 的中点，
∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，
∴OM=ON ，
即△MON 是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，
则
根据三角形面积公式，
， ∵点O 是线段BK 的中点，
∴PB=3PO ，
∴OG=
13
， MG=23MP=27， tan ∠
OMN=
=3OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，
∴PB 2=PM•PA ，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB=3PC ，
∵PD=PC ，
∴PB 2=3PD ，
∴PM •PA=3PD 2，故④正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
15．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）
A ．2018k
B ．2019k
C ．2018
2k k + D ．2019(2)k k +
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC=1，
∴△ABC 的周长为2+k ；
△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；
△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；
依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．
故选：D ．
【点睛】
此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．
16．下列图形中，一定相似的是（ ）
A ．两个正方形
B ．两个菱形
C ．两个直角三角形
D ．两个等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B 、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C 、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
17．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵////a b c
∴AB DE BC EF = 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4
故答案为D ．
【点睛】 本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
18．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A ．∠ABD=∠C
B ．∠ADB=∠AB
C C ．AB CB B
D CD = D ．AD AB AB AC
= 【答案】C
【解析】
【分析】 由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，
故选C ．
19．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）
A ．20
B ．22.5
C ．25
D ．30
【答案】A
【解析】
【分析】 先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．
【详解】
∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠
∴C ABD BA ∽△△
∵2AC AD =
∴4S ABD S CBA =V V ∴43
S ACD S CBA =V V ∵ACD V 的面积为15 ∴44152033
S CBA S ACD ==⨯=V
V 故答案为：A ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
20．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以
14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )
A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13 B ．横向缩小为原来的14
，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍
D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的
112 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
13
；△DEF 的面积为△ABC 面积的
169， 故选A.。