2024-2025学年湖南省长沙市湖南广益实验中学数学九上开学经典试题【含答案】

2024-2025学年湖南省长沙市湖南广益实验中学数学九上开学经典试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE ＝2，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则平行四边形的周长为（）A ．14B ．24C ．20D ．282、（4分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A ．12m B ．13m C ．16m D ．17m 3、（4分）下列对一次函数y=﹣2x+1的描述错误的是（）
A ．y 随x 的增大而减小
B ．图象经过第二、三、四象限
C ．图象与直线y=2x 相交
D ．图象可由直线y=﹣2x 向上平移1个单位得到
4、（4分）下列图象中，表示y 是x 的函数的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．5、（4分）如图，在四边形ABCD 中，
E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点
F ，AB BF =．添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDF ∠=∠6、（4分）如果a b <，那么下列各式一定不成立．．．的是（）A ．22a b -<-B ．34a b b +<C ．1212a b -<-D ．(0)ac bc c <>7、（4分）在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（）A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＝1D ．a ≤18、（4分）数据2，3，5，5，4的众数是（）.A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）因式分解：32-=m n m ____________．
10、（4分）若平行四边形中相邻两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是__________度．
11、（4分）在平行四边形ABCD 中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____．
12、（4分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计
算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt △ABC 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF 的边长为_____．13、（4分）计算：（﹣4ab 2）2÷（2a 2b ）0＝_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，直线l 1交x 轴于A （3，0），交y 轴于B （0，﹣2）（1）求直线l 1的表达式；（2）将l 1向上平移到C （0，3），得到直线l 2，写出l 2的表达式；（3）过点A 作直线l 3⊥x 轴，交l 2于点D ，求四边形ABCD 的面积．15、（8分）如图，AD 是△ABC 边BC 上的中线，AE ∥BC ，BE 交AD 于点E ，F 是BE 的中点，连结CE ．求证：四边形ADCE 是平行四边形．16、（8分）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BD 与CE 相交于点O ，连接线
段AO ，AO 恰好平分BAC ∠．
求证：OB OC =．17、（10分）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°，得线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）求证：△BCP ≌△DCQ ；（2）延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图2，求证：BE ⊥DQ ；②若△BCP 是等边三角形，请画出图形，判断△DEP 的形状，并说明理由．18、（10分）如图，已知点A 在反比例函数9y x =（x ＞0）的图像上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足是C ，AC=OC ．一次函数y=kx+b 的图像经过点A ，与y 轴的正半轴交于点B ．（1）求点A 的坐标；（2）若四边形ABOC 的面积是152，求一次函数y=kx+b 的表达式．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如果一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差是4，则另一组数据x 1+3，x 2+3，…，x n +3
的方差是_____．
20、（4分）已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为4cm ，则其面积为_______cm 1．
21、（4分）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线'D 处．若3AB =，4=AD ，则ED 的长为_____．
22、（4分）若解分式方程144x m x m -=++产生增根，则m ＝_____．23、（4分）若关于13311ax x x x x -+=--的分式方程有增根，则a =_____；二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB CE =，//AB ED ，//AC FD ，AD 交BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分，25、（10分）如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．(1)通过计算说明边长分别为2，3
ABC ∆是否为直角三角形；
(2)请在所给的网格中画出格点ABC ∆．
26、（12分）如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，DF 平分∠ADC ，交BC 于点F ，CE 与DF 交于点P ，连接EF ，BP ．
(1)求证：四边形CDEF 是菱形；
(2)若AB ＝2，BC ＝3，∠A ＝120°，求BP 的值．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD 的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝8，AB＝CD，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵AD＝8，BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴▱ABCD的周长＝6+6+8+8＝1．
故选D．
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
2、D
【解析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．
【详解】
设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故选D．
考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
3、B
【解析】分析：根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点．
详解：在y=﹣2x+1中，∵k=﹣2＜0，∴y随x的增大而减小；
∵b=1＞0，∴函数与y轴相交于正半轴，∴可知函数过第一、二、四象限；
∵k=﹣2≠2，∴图象与直线y=2x相交，直线y=﹣2x向上平移1个单位，得到函数解析式为y=﹣2x+1．
故选B．
点睛：本题考查了一次函数的性质，知道系数和图形的关系式解题的关键．
4、C
【解析】
函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响．
【详解】
解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应，
所以A.B.D错误．
故选C．
本题考查了函数的概念，牢牢掌握函数的概念是解答本题的关键．
5、D
【解析】
把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．
【详解】
添加A 、AD BC =，无法得到AD ∥BC 或CD=BA ，故错误；添加B 、CD BF =，无法得到CD ∥BA 或AD BC =，故错误；添加C 、A C ∠=∠，无法得到ABC CDA ∠=∠，故错误；添加D 、F CDF ∠=∠∵F CDF ∠=∠，CED BEF ∠=∠，EC BE =，∴CDE BFE ∆∆≌，CD AF P ，∴CD BF =，∵BF AB =，∴CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选D ．本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．6、C 【解析】根据不等式的性质，可得答案.【详解】A 、两边都减2，不等号的方向不变，正确，不符合选项；B 、因为a b <，所以34a b b +<，正确，不符合选项；C 、因为a b <，所以1212a b ->-，错误，符合选项；D 、因为a b <，所以ac bc <（0c >），正确，不符合选项.故选：C .本题考查了不等式的性质的应用，不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变.7、B
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得a ﹣1≥0，再解不等式即可．
【详解】
由题意得：a ﹣1≥0，
解得：a≥1，
故选：B ．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．8、D 【解析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故选：D ．本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、()()m m n m n +-【解析】先提公因式m ，再利用平方差公式即可分解因式．【详解】解：3222()()()m n m m m n m m n m n -=-=+-，故答案为：()()m m n m n +-．本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式．10、45【解析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C=3∠B，得出∠B+3∠B=180°，得出∠B=45°即可．【详解】
解：如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：3，
∴∠C=3∠B，
∴∠B+4∠B=180°，
解得：∠B=45°，
故答案为：45°．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11、120
【解析】
根据平行四边形的性质可得到答案.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，又∠A－∠B＝60°，故可知∠A＝120°，∴∠C＝∠A＝120°，故答案为120°.
本题主要考查了平行四边形的基本性质，解本题的要点在于熟记平行四边形的对角相等.
12、60 17
【解析】
根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【详解】
∵四边形CDEF是正方形，AC=5，BC=12，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=5-x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE AD BC AC
=，
∴
5 125
x x-
=，
解得：x=60 17，
故答案为60 17．
此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．13、16a2b1
【解析】
直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（-1ab2）2÷（2a2b）0=16a2b1÷1=16a2b1，
故答案为：16a2b1．
本题主要考查了整式的乘除运算和零指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）直线l1的表达式为：y＝2
3x﹣2；（2）直线l2的表达式为：y＝
2
3x+3；（3）四边形
ABCD的面积＝1．
【解析】
（1）利用待定系数法求直线l1的表达式
（2）根据一次函数沿着y轴向上平移的规律求解
（3）根据题意可知四边形为平行四边形，又各点的坐标，可直接求解【详解】
（1）设直线l1的表达式为：y＝kx+b，
由题意可得：
03
2
k b
b
=+
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
2
3
2
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
所以，直线l1的表达式为：y＝2
3x﹣2；
（2）将l1向上平移到C（0，3）可知，向上平移了5个单位长度，由几何变换可得：直线
l2的表达式为：y＝2
3x﹣2+5=
2
3x+3；
（3）根据题意可知AB∥CD,CB∥DA,可得四边形ABCD为平行四边形∵已知B（0，﹣2）C（0，3）A（3，0）
∴BC ＝5，OA ＝3，∴四边形ABCD 的面积＝5×3＝1．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图形与几何变换，平行四边形的面积，解题关键在于利用待定系数法求出k,b 的值15、证明见解析．【解析】根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AD 是△ABC 边BC 上的中线，F 是BE 的中点，∴BF=EF ，BD=CD ，∴DF ∥CE ，∴AD ∥CE ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．16、见解析.【解析】由角平分线的性质得出OE=OD ，证得△BOE ≌△COD ，即可得出结论．【详解】∵BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AO 恰好平分BAC ∠∴OE OD =，90BEO CDO ∠=∠=︒∵BOE COD
∠=∠∴BOE COD
≌∴OB OC
=本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质、证明三角形全等是解题的关键．
17、（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②作图见解析；△DEP 为等腰直角三角形，理由见解析．
【解析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠
DCQ ，得到△BCP ≌△DCQ ；（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP 的形状．【详解】（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，
∴∠BCP=∠DCQ ，在△BCP 和△DCQ 中，BC CD BCP DCQ PC QC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△BCP ≌△DCQ ；（2）①如图b ，∵△BCP ≌△DCQ ，∴∠CBF=∠EDF ，又∠BFC=∠DFE ，∴∠DEF=∠BCF=90°，∴BE ⊥DQ ；②画图如下，
∵△BCP 为等边三角形，
∴∠BCP=60°，
∴∠PCD=30°，又CP=CD ，∴∠CPD=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，∴△DEP 为等腰直角三角形．本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．18、（1）()3,3；（2）y=13x +2【解析】（1）由AC=OC ，设A （m,m ）代入反比例函数得m 2=9，求出A 点坐标；（2）利用四边形ABOC 的面积求出B 点坐标，再用待定系数法确定函数关系式即可求出AB 的解析式.【详解】（1）∵AC=OC ∴可设A （m,m ）∵点A （m,m ）在y=9x 的图像上∴m 2=9∴m=±3∵x ＞0∴m=3（2）∵AC ⊥x 轴，OB ⊥x 轴∴S 四边形ABOC =1)••2AC OB OC （+=(3+OB)·312⨯=15
2
∴OB=2
∴B （0，2）
∵y=kx+b 过点A （3，3），B （0，2）
∴33
2
k b b +=⎧⎨=⎩
∴
1
3
2 k
b
⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
∴一次函数的表达式为y=1
3
x+2
此题主要考查反比例函数钰一次函数综合，解题的关键是求出A点坐标.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
试题分析：数据x1，x2，…，x n的平均数设为a，则数据x1＋3，x2＋3，…，x n＋3的平均数为a＋3，
根据方差公式：S2＝1
n[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(x n－a)2]＝1．
则数据x1＋3，x2＋3，…，x n＋3的方差
S′2＝1
n{[(x1＋3)－(a＋3)]2＋[(x2
＋3)－(a＋3)]2＋…(
x n＋3)－(a＋3)]2}
＝1
n[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(x n－a)2]
＝1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
20、
3或
【解析】
首先根据题意画出图形，由菱形有一个锐角为60°，可得△ABD是等边三角形，然后分别从较短对角线长为4cm与较长对角线长为4cm，去分析求解即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AB=AD ，AC ⊥BD ，AO=OC ，BO=OD ，∴△ABD 是等边三角形，①BD=4cm ，则OB=1cm ，∴AB=BD=4cm ；∴OA=cm ），∴cm ），∴S 菱形ABCD =12AC•BD=cm 1）；②AC=4cm ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=1cm ，∠BAO=30°，∴AB=1OB ，∴222AB =OB +OA ，即2224OB =OB +2，∴OB=233（cm ），BD=433cm ∴S 菱形ABCD =12AC•BD=3（cm 1）；
综上可得：其面积为3cm 1或1．
故答案为：3或本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是熟练掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分的性质．
21、1.5
【解析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC ≌△D ′EC ，设ED=x ，则D ′E=x ，AD ′=AC-CD ′=2，AE=4-x ，再根据勾股定理可得方程22+x 2=（4-x ）2，再解方程即可．【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3，BC=4∴，根据折叠可得：△DEC ≌△D'EC ，∴D'C=DC=3,DE=D'E ，设ED=x,则D'E=x,AD'=AC−CD'=2，AE=4−x ，在Rt △AED'中：(AD')2+(ED')2=AE 2，即22+x 2=(4−x)2，解得：x=1.5.故ED 的长为1.5.本题考查折叠问题、矩形的性质和勾股定理，解题的关键是能根据折叠前后对应线段相等，表示出相应线段的长度，然后根据勾股定理列方程求出线段的长度.22、-5【解析】试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，解得x =-4，然后把分式方程化为整式方程x-1=m ，解得m =-5故答案为-5.23、1
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出a 的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x ﹣1），得
1－ax +3x =3x ﹣3，
∵原方程有增根∴最简公分母x ﹣1=0，即增根为x =1，把x =1代入整式方程，得a =1．此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、详见解析【解析】连接BD ，AE ，判定△ABC ≌△DEF (ASA )，可得AB =DE ，依据AB //DE ，即可得出四边形ABDE 是平行四边形，进而得到AD 与BE 互相平分．【详解】证明：如图，连接BD ，AE ，∵FB =CE ，∴BC =EF ，又∵AB ∥ED ,AC ∥FD ，∴∠ABC =∠DEF ，∠ACB =∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，ABC DEF
BC EF
ACB DFE ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△ABC ≌△DEF (ASA )，∴AB =DE ，
又∵AB ∥DE ，
∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分.
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论.25、(1)能构成直角三角形；(2)见解析.【解析】（1）根据勾股逆定理判断即可；（2）由（1）可知2,3【详解】解：(1)∵2222313+==∴能构成直角三角形(2)如图即为所求.本题考查了直角三角形的判定，由勾股逆定理可知若三角形三边长满足222+=a b c ，则其为直角三角形.26、(1)证明见解析；(2)BP 的值为．【解析】(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求,可证得结论CD ＝CF ＝DE;(2)过P 作于PG ⊥BC 于G,在Rt △BPG 中可求得PG 和CG 的长,则可求得BG 的长,在Rt △BPG 中,由勾股定理可求得BP 的长.
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，
∴∠EDF ＝∠DFC ，∵DF 平分∠ADC ，
第21页，共21页∴∠EDF ＝∠CDF ，∴∠DFC ＝∠CDF ，∴CD ＝CF ，同理可得CD ＝DE ，∴CF ＝DE ，且CF ∥DE ，∴四边形CDEF 为菱形；(2)解：如图，过P 作PG ⊥BC 于G ，∵AB ＝2，BC ＝3，∠A ＝120°，且四边形CDEF 为菱形，
∴CF ＝EF ＝CD ＝AB ＝2
，∠ECF ＝12∠BCD ＝12∠A ＝60°，∴△CEF 为等边三角形，∴CE ＝CF ＝2，∴PC ＝12
CE ＝1，∴CG ＝12PC ＝
12，PG ＝2PC ＝
2，∴BG ＝BC ﹣CG ＝3
﹣12＝52，在Rt △BPG 中，由勾股定理可得BP ，即BP ．
本题考查的是平行四边形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质是解题的关键.。