2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第七章 不等式7.1

§7.1 不等关系与不等式
考情考向分析 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以解答题形式考查不等式与其他知识的综合．
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b
a －
b <0⇔a <b
(a ，b ∈R )
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧
a
b
>1⇔a >b a
b ＝1⇔a ＝b
a b
<1⇔a <b (a ∈R ，b >0)
2．不等式的基本性质
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1
b .
②a <0<b ⇒1a <1
b .
③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b
d
.
④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1
a .
(2)有关分数的性质
若a >b >0，m >0，则
①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m
(b －m >0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若a
b
>1，则a >b .( × )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b
c .( √ )
(5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1
b .( √ )
题组二 教材改编
2．[P74练习T1]雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________． 答案 4.5t <28 000
解析 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t <28 000.
3．[P79练习T3]某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，表示销售的总收入仍不低于20万元的不等式为________________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫8－x －2.5
0.1·0.2x ≥20
解析 若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为⎝⎛⎭
⎫8－x －2.5
0.1·0.2x 万元，那么不等关系“销
售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.5
0.1·0.2x ≥20.
题组三 易错自纠
4．若a >b >0，c <d <0，则下列一定正确的序号为________． ①a c －b d >0；②a c －b d <0；③a d >b c ；④a d <b
c . 答案 ④
解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ， 又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >a d
.
5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的____________条件． 答案 充分不必要
解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝1
2.所以“a >2且b >1”是“a
＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．
6．若－π2<α<β<π
2，则α－β的取值范围是__________．
答案 (－π，0)
解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π
2
，α<β，得－π<α－β<0.
题型一 比较两个数(式)的大小
1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．
答案 c ≥b >a
解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋3
4>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .
2．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5
5，则a ，b ，c 的大小关系为________．
答案 c <b <a
解析 方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 4
4ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；
b c ＝5ln 44ln 5
＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .
方法二 对于函数y ＝f (x )＝
ln x
x ，y ′＝1－ln x x 2
， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 题型二 不等式的性质
典例 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是________．(填序号)
①ab >ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0. 答案 ①
解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立．
(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c
b ；②a
c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是________． 答案 ①②③
解析 由不等式性质及a >b >1，知1a <1
b ，
又c <0，∴c a >c
b ，①正确；
构造函数y ＝x c ，
∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的， 又a >b >1，∴a c <b c ，②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，
∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．
思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 跟踪训练 若1a <1
b <0，给出下列不等式：
①
1a ＋b <1ab
；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1
b ；④ln a 2>ln b 2.
其中正确的不等式的序号为________． 答案 ①③
解析 方法一 因为1a <1
b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.
显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0， 所以④错误．
方法二 由1a <1
b
<0，可知b <a <0.
①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1
ab >0.
故有1a ＋b <1
ab
，即①正确；
②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误；
③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1
b >0，
所以a －1a >b －1
b
，故③正确；
④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域
(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．
题型三不等式性质的应用
命题点1应用性质判断不等式是否成立
典例已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式的序号为________．
答案①②③
解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；
由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，
∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；
∵a>b>0，∴a>b，
∴(a－b)2－(a－b)2
＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，
∴a－b>a－b，③成立；
若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，
a3＋b3<2a2b，④不成立．
方法二令a＝3，b＝2，
可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立．
命题点2求代数式的取值范围
典例已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)
解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
思维升华(1)判断不等式是否成立的方法
①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
(2)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．
跟踪训练(1)设m＝x2＋y2－2x＋2y，n＝－(2x＋2)，则m，n的大小关系是________．(用“>”连接)
答案m>n
解析m＝(x－1)2＋(y＋1)2－2≥－2，n＝－(2x＋2)<－2，则m>n.
(2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________．
答案(－4,0)
解析∵－1<x<3，－1<y<3，
∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.
又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，
故x －y 的取值范围为(－4,0)．
利用不等式变形求范围
典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．
现场纠错
解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .
于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝1.
∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.
∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.
方法二 由⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，
得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，
∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．
又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，
∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.
方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧
1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，
当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，
取得最小值4×32－2×12
＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.
答案 [5,10]
纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．
1．有下列命题：
①若a >b ，则a －c >b －c ；②若a >b ，则ac 2>bc 2；③若a >b ，则a 2>b 2；④若a >b ，则a b
>1；⑤若a >b ，则2a >2b ；⑥若ac >bc ，则a >b .
其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号)
答案 ①⑤
解析 ①和⑤为真命题，其余为假命题．
2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是________．
答案 f (x )>g (x )
解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，
则f (x )>g (x )．
3．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．(填序号)
①1a －b >1b ； ②a 2<ab ；
③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1
； ④a n >b n .
答案 ③ 解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；
③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1
⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1) ⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，
∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，∴原命题成立．
4．若6<a <10，a 2
≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________． 答案 (9,30)
解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2
， ∴9<3a 2
≤a ＋b ≤3a <30. 5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由(a －b )·a 2<0，可知a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ，可知a －b <0，当0＝a <b 时，推不出(a －b )·a 2<0，必要性不成立．
6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3
的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫－π6，π 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6
， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3
<π. 7．若1a <1b
<0，则下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④
解析 因为1a <1b
<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0， 所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，
因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.
8．对于0<a <1，给出下列四个不等式：
①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ；③a 1＋a a 1＋a 其中正确的不等式是________．(填序号)
答案 ②④
解析 当0<a <1时，函数y ＝log a x 与y ＝a x 均为(0，＋∞)上的减函数．
∵0<a <1，∴1＋a <1＋1a
，∴②④正确． 9．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．
答案a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1
解析a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
10．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则c
a－
d
b>0；
②若ab>0，c
a－d
b>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，c
a－d
b>0，则ab>0.
其中正确的命题是________．(填序号) 答案①②③
解析∵ab>0，bc－ad>0，
∴c
a－
d
b＝
bc－ad
ab>0，∴①正确；
∵ab>0，又c
a－d
b>0，即
bc－ad
ab>0，
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c
a－d
b>0，即
bc－ad
ab>0，
∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．
11．设a>b>c>0，x＝a2＋(b＋c)2，y＝b2＋(c＋a)2，z＝c2＋(a＋b)2，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)
答案z>y>x
解析方法一y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.
同理，z>y，∴z>y>x.
方法二令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，
z ＝26，故z >y >x .
12．已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________．
答案 ⎝⎛⎭
⎫－32，232 解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.
即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12
(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，
∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32
， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232
， 即－32<3x ＋2y <232
， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－32，232.
13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是________． 答案 0<x <2且0<y <2
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，y >0， 由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧
0<x <2，0<y <2.
14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x
这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
答案 ②④
解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.
符合题设条件x >y ，a >b .
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.
∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．
∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．
∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2
＝－1， ∴a y ＝b x
，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立．
15．(2018届江苏无锡天一中学质检)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛
⎭⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是________．(填序号)
①q ＝r <p ；②p ＝r <q ；③q ＝r >p ；④p ＝r >q .
答案 ②
解析 由于b >a >0，所以a ＋b 2>ab ， 所以ln
a ＋
b 2>ln ab ，则q >p . 而p ＝ln ab ＝12
(ln a ＋ln b )＝r ，故②正确． 16．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a
的取值范围为________．
答案 (0,2)
解析 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，
a ＋c >
b ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1<b a ＋c a ≤3，1＋b a >c a ，
1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧ 1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，
两式相加，得0<2×c a <4，∴c a
的取值范围为(0,2)．。