定积分第三节定积分的换元法和分部积分法

1
2 arcsin
0
xdx

x arcsin
1
x2 0

1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2

12

1 x2
1 2



3 1.
12 2
0
例2
计算
e
1
x
ln
xdx
.
解
e
1
x ln xdx
e ln xdx 2
0
1
x
sin x cos2
dx x
.
解 积分区间为 0, ，被积函数为 xf sin x
型，利用定积分公式⑥得

0
1
x
sin x cos2
dx x


2

0
1
sin x cos2
dx x



2

0
1

1 cos
2
d x
cos
x




2
arctancos
x
0
令 x t
f (x) f (x)时

f (x) f (x)时
例7 计算 1 2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式

1
1
1
2x2 1
x2
dx

1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
(1) 若
则 a a
f
( x) dx

a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
a
0[ f (x) f (x)]dx
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)

b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元 (t) (t)
(t) d(t)
配元不换限
3.例题
.例1
计算
1
0
1 x2dx
解 换元： x sin t ， dx costdt；
换限： x 0， t 0 ，
tdt
42


2
2
0
td
cos
t
cos
t
2 0

2 2 0
cos tdt


2sin
t
2 0

2
1 ln(1 x)
例4 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1
0 ln(1
x)d 1 2 x



2
4
例11
设f
x


1
1
x
,
x

0,
ex , x 0,
求 2 0
f
x
1dx
解
2
0
f
x
1dxt

x
1 1 1
f
t
dt

0
1
f
xdx

1
0
f
xdx

0 exdx
1

1
0
x
1 dx 1

ex
0 1

ln1

x
10

b
uv

b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题1
指出求 2 dx 的解法中的错误，并写出正确
2 x x2 1
的解法.
解 令 x sect, t : 2 3 , dx tan t sectdt,
34
2
2 x
dx x2 1
3 4
4

1 2 2
,

2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,


In
sinn1 x cos x
2
0

(n
1)
3
e4
dx
例4
计算 e
x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
d ln x 1 ( ln x)2
3
2 arcsin(
ln x )
e4 e
. 6
ln(1 x 2 x
)

1 0

1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x


ln 2 3

ln(1

x)

ln( 2

x)10
5 ln 3
2

ln
3.
例5
设
f

x


x2
1
sin t
tdt
b (uv)dx uv b ,
uv b
b
uvdx
b
uvdx,
a
a
a
a
a

b udv uv b
b
vdu.
a
a
a
1
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
0
e
d x1

x

1

2
1
1dx x

ex1 1 0

ln
x
2 1
1 1 ln 2 e
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
导数，则有
b
a udv

uv b a

b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
2m 2m

3 5 26

3 4

1 2
, 2
I2m1

2m 2m
1

2m 2m

2 1
6 7

4 5

2. 3
三、小结
定积分的换元法
b
a
f ( x)dx


f [ (t)] (t)dt
几个特殊积分、定积分的几个等式
定积分的分部积分公式
b udv
第三节
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
0
xf
(sin x)dx

2

0
f
(sin x)dx

证证明明 (1)令x t , 则

2
0
0f2
2
(fs(isninx)xd)xdx00 22
ff[[ssiinn((22
t)]dt

0022
ff[[ssiin(
2
t)]dt


22
00
1 e1 ln 2
2解
f
x

1

1

1
x
1,
x
1

0,
1x , x 1,
ex1, x 1 0,
ex1, x 1
2
0
f
x
1dx

1
0
f
x
1dx

2
1
f
x
1dx
1ex1dx 2 1dx
0
1x

1
sec t tan tdt
2 3
sec
t


1 0
x sin
x2dx


1 2
1
0
sin
x2dx2

1 2
cos x2
1 0

1 cos11
2
例6 证明定积分公式


In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0


n n
n
1 1

n n n

3 2 3

3 4
4
-1
o
y 1 x2
1x

例2
计算
2
0
sin
2x
cos4
xdx
.


解法1.
2
0
sin
2x
cos4
xdx

2
0
2 sin
x
cos5
xdx
换元： t cos x ，dt sin xdx
换限： x 0 ， t 1
x ， t 0
2
0
原式＝ 0 2t5dt 1

ff((ccoossxx))ddxx
例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明


(1) 02 f (sin x)dx02 f (cos x)dx
(2)

0
xf
(sin x)dx

2

0
f (sin x)dx

证明 (2)令xt 因为
所以

0
xf
(sin
x)dx

0(
1
21
1 x2 ln x
e1
e x2 1 dx
2
1 20
x
1 e2 1 x 2 e 1 (e2 1)
2
4 14
2
例3
计算
4
0
sin
xdx .
2
解
4
0
sin
xdx
x

t 0, t

x, dx 2tdt
0; x 2 ,t


2 2 0
t
sin

元法），换元的同时必须换限。在计算 2 cos 2tdt 0
时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量，
所以没有换限.
②：由定积分的几何意义知，该积分值等
于由 y 1 x2 ，直线y 0, x 0, x 1 所
围图形的面积（见右图）. y
面积值为圆面积的 1 . 4
1
0
1 x2dx

t)
f
[sin(
t)]dt


0
(
t)
f
[sin(

t)]dt


0
(
t)
f
(sin
t)dt



0
f
(sin
t)dt


0
tf
(sint)dt



0
f
(sin
x)dx


0
xf
(sin x)dx

0
xf
(sin x)dx

2

0
f
(sin x)dx

例9
计算

2

1 6
t6

1

1 3
.
解法2.

2
0
sin
2x
cos4
xdx


2
0
2
sin
x
cos5
xdx

2 2 cos5 xd cos x 0


2

1 6
cos6
x

2
0

1 3
由此可见，定积分也可以象不定积分一
样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
则 (t) 是 (t) (t)的原函数 , 因此有 F(b) F(a) F[( )] F[()]
(t) (t)
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
例5. 计算
解: 令 t 2x 1 , 则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2

2
t
d
t
1t

1 2
3
1
(t 2

3)
dt
1(1t3 3t) 3
23
1
例6.
偶倍奇零
x 1， t ，
2
1
0

1

x2
dx

2
0
1 sin 2 t costdt


2
0
cos2
tdt

1 2

2
0
1

cos
2t
dt

1 2

2
0
dt


2
0
cos
2t

1 2
d
2t



1 2

t

1 2
sin
2t

2 0


4
注① 第一步是采用的换元（不定积分第二类换
，求
1
0
xf

x
dx
.
解 f x sin x2 2x 2sin x2
x2
x
1
0
xf
xdx