500-1格林公式与形心

实验19 格林公式与形心
实验目的
作为计算二重积分的一种手段，格林公式把函数在一个域上的二重积分和一个相关的向量函数在围绕这个区域的边界的线积分联系起来，本实验中我们将要考虑如何求一些比较复杂的平面区域的形心。

预备知识
曲线积分、格林公式、形心
实验内容
计算复杂区域的形心
【原 理】
【格林公式】设区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数，则有
D
L
Q P x
y
dxdy Pdx Qdy (
)∂∂∂∂-
=+⎰⎰
⎰
其中L 是D 的区正向的边界曲线。

格林公式的三种特殊情况：
（１） 若P y Q x ,=-=，则D
L dxdy xdy ydx 12()=-⎰⎰
⎰ ；
（２） 若x P Q 2
2
0,==
，则
D
L
xdxdy x dy 21
2
=
⎰⎰
⎰
；
（３） 若P y Q 2
12,0
=-=，则D
L
ydxdy y dx 2
12=-⎰⎰
⎰ 。

（１）可以用来计算区域D 的面积，（2）和（３）可以用来计算区域D 关于y 轴和ｘ轴的矩。

【步 骤】：
众所周知，平面区域D 的形心的坐标x y (,)由公式
实验19 格林公式及其应用 - 135 -
D D D
D
xdxdy ydxdy x y dxdy
dxdy
,
=
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 给出，其中分子的积分是关于区域的坐标轴的矩，分母的积分是区域的面积。

对于形状比较好的区域，这些几分可以通过累次积分算出，但是对于比较复杂的不规则的区域，如一个国家的州（省）的几何中心，用一定的方式作积分计算几乎是不可能的。

为了计算形心坐标，一般可采用如下两步骤：
【Step1】：用一条简单曲线（如多边形）路径近似代替区域的边界； 【Step2】：利用格林公式将多边形区域上的二重积分化为围绕边界的线积分。

【公式推导】：
下面推导区域D 为多边形n n n n x y x y x y x y 112211{(,),(,),,(,),(,)}++ ，其中
n n x x y y 1111,++==时的公式。

我们只需要分别计算出分子和分母即可。

设连接点i i x y (,)和i i x y 11(,)++的直线段i L 的参数方程为
i i i i x t t x t x t y t t y t y 1
1
()(1),[0,1]()(1)++=-+⎧∈⎨
=-+⎩ 则
i n
D
L i n i
i i i i i i i i n
i
i i i i dxdy xdy ydx
t x
t x y y t y t y x x dt
x y
x y 12
11
111112
111
12
1
[((1))()((1))()]()
=++++=++==
-=-+---+-=
-∑⎰⎰
⎰
∑⎰∑
- 136 - 第二章 专题实验
i
n
n
i i i i D
L i i n i
i i i i i i xdxdy x dy t x t x y y dt
x x x x y y 1
2
211112
2
11
2211116
1((1))()[()()]
++==+++==
=
-+-=
++-∑∑⎰⎰
⎰
⎰
∑
i
n
n
i i i i D
L i i n i
i i i i i i ydxdy y dx t y t y x x dt
y
y y y x x 1
2
211112
2
11
2211116
1
((1))()[()()]
++==+++==
=
-+-=
++-∑∑⎰⎰
⎰
⎰
∑
有了上面的公式，我们可以利用它们来计算顶点为(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,2)，(1,4)的五边形区域的形心。

利用所附程序（Mathematica 程序）计算得到x y 16
439(,)(,)=。

实验练习
选择一个复杂的平面图形，然后利用上述方法计算其形心。

参考程序：
AreaMoment[vertices_]:=Module[{pts},pts=Append[vertices,vertices[[1]]];Sum[(pts[[i,1]] pts[[i+1,2]]-pts[[i+1,1]] pts[[i,2]]),{i,1,Length[pts]-1}]/2] xMoment[vertices_]:=Module[{pts}, pts=Append[vertices,vertices[[1]]]; Sum[(pts[[i,1]]^2+pts[[i,1]]
pts[[i+1,1]]+pts[[i+1,1]]^2)(pts[[i+1,2]]-pts[[i,2]]),{i,1,Length[pts ]-1}]/6]
yMoment[vertices_]:=Module[{pts},pts=Append[vertices,vertices[[1]]]; -Sum[(pts[[i,2]]^2+pts[[i,2]]
pts[[i+1,2]]+pts[[i+1,2]]^2)(pts[[i+1,1]]-pts[[i,1]]),{i,1,Length[pts ]-1}]/6]。