“教”让道于“思”，让数学思维的火花在课堂中绽放--一道试题的讲评教学实录及反思

“教”让道于“思”，让数学思维的火花在课堂中绽放--一道
试题的讲评教学实录及反思
王小林
【摘要】本文以苏州市初二调研的一道试题为例，反思试卷讲评课中该如何以学
生为主体，将教师的“教”让道与学生的“思”，让数学思维的火花在课堂中绽放，从而提高课堂教学的有效性。

【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2014(000)022
【总页数】3页(P14-15,51)
【关键词】试卷讲评;有效教学;数学思维
【作者】王小林
【作者单位】江苏苏州工业园区青剑湖学校 215000
【正文语种】中文
问题的提出
试卷讲评课作为一种重要的课型，在弥补学生的知识漏洞、完善学生的知识结构和方法体系、提高学生的思维能力方面起着至关重要的作用.在试卷讲评课中，作为
教师，应恰当地把握“教”的度，从而实现学生很好地“思”，“思”出真谛，使课堂的有效性甚至是高效性得以更好地体现.
试题与讲评建议
题目（苏州市2013—2014初二数学基础调研试题）如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，点G是BC边上任意一点（不同于端点B，C），连结AG，过B，D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为点E和点F.
（1）求证：△ABE≌△DAF.
（2）若△ADF的面积为，试求BE－DF 的值.
调研测试的结果
统计本校初二3个班99名学生，此题的平均分为（1）班3.5分，（2）班3.3分，（3）班3.1分.第一问证明三角形全等，几乎人人会做，这也意味着第二问的平均分约为0.5，0.3，0.1.换句话说，第二问只有1～2个学生能正确解答，说明学生解决这个数学问题解得很不理想.
学生的困惑
在笔者所任教的班级中，有3个学生答对此题.通过对30名学生解题思路回顾与反思的调查，发现大部分同学解决第二问时遇到的困惑是：△ABE≌△DAF ，
BE2+DF2=AF2+DF2=AD2=1，AF·DF=1
4，这三个条件如何转化？由于无法找出“已知”与“所求”之间的“纽带”，只得中途放弃.另外，不少同学表示由于该题是试卷最后一题，根据“经验”，应该
很难，就简单思考后放弃了.
试题的来源
此题来源于苏科版八上第三章中心对称图形P101的习题12：在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF与DE交于点G.从所给的条件中，你能得出哪些结论？为什么？
分析试题的背景与课本习题大致相同，不同的是试题是对习题的进一步探究，台
阶少了，使学生没有了解题的抓手，感到手足无措.
讲评过程实录
师：通过运用AAS不难证明△ABE≌△DAF，从而有对应边相等，对应角相等.第一
问作为第二问的铺垫，在此基础上如何求 BE－DF的值？
生：因为△ABE≌△DAF，所以BE=AF.因为AB=AD=1，所以，所以AF·
图1
师：通过全等代换，结合正方形的边长为1和三角形的面积为1 8，能计算出正确答案.此解法假如通过换元，其本质便是利用ab=1 4 和a2+b2=1求（a－b）2
的值.你们能告诉老师，考试时大家的“解题障碍”在哪儿吗？
生：BE 2+DF 2=AF 2+DF 2=AD2=1，△ADF的面积为，即AF·DF=都能列出来，不过，由于它是最后一题，总觉得应该很难，所以就匆匆放弃，没想到其实……师：冷静和细心是考试获胜的关键因素，只有静下心来才能成功地找到条件背后的关系，才能找到正确解决问题的方法.
师：有没有其他做法？
学生沉默了些时间……
师：同学们想了这么长时间，能告诉我在想什么吗？
生：由△ABE≌△DAF可得到BE=AF，DF=AE，所以 BE－DF=EF.
师：那么，如何求EF？
生：通过构造“勾股定理弦图”（如图2所示），求EF的值相当于求小正方形EFHJ的边长.因为△ADF的面积为所以小正方形EFHJ的面积为师：能不能在此基
础上自编一道题？生：简单！（在图2的基础上）延长DF交AB于点K，如图3
所示，能否证明AK=BG？
图2
图3
生：可以构造全等三角形从而得到对应边相等，可以发现，与课本习题刚好形成“逆命题”！
师：精彩！学以致用，举一反三.看来，大家已经在不知不觉中进入“题目”了！至此，这一问题的讲评订正基本结束了，整个过程都是学生在思考、相互合作、展示交流，并体会着问题和方法的不断演变，从而真正地抓住解决问题的方法.
教学反思
考题千变万化，但万变不离其宗.作为教师，我们应把数学教学活动的根深植于教材，汲取例题、习题中的营养，使数学教学这棵大树永远年轻；在数学教学的旅途中，不经意从例题、习题中掬起一汪活水，你会惊喜地发现，在这汪活水深处有一方湛蓝的天.在试卷讲评课中，只要教师做一个有心人，处处留意，就可以从教材中找出试题的“原型”，还可以在平时的教学中“教”会学生学会思考这些有用的教学素材.
1.试卷讲评要挖掘学生的“试场障碍”
所谓“试场障碍”，是考试时学生因为紧张、恐惧等心理导致自己不能正确解决问题的一种现象，这个问题如果放在平时练习也许能够解决.试卷讲评课中，教师要有效引导学生正确处理考试心理问题，以及考场里的突发问题.如上述试题，即求BE－DF的值，80%的同学都知道用△ABE≌△DAF以及边长为1这三个条件，但最后算出正确答案的却只有1～2人.问题到底出在哪里？其实是在考场这一特殊环境下，学生的心理因素不过硬造成的.虽然知道却不能灵活运用△ABE≌△DAF所带来的等价转换，这样的学生占了大半.所以，在分析此问题时，笔者认为，教师要“教”，不如引导学生“思”出问题的关键——利用的值.学生只有主动参与解题活动，通过知识同化，思维碰撞，自己“思”得解题方法，才能提高解题技能、提升思维水平、激扬数学兴趣，让数学学习由苦变乐.
2.试卷讲评要挖掘学生的“解题能力”
本节课没有“精彩纷呈”的情景装饰，也没有渲染夸奖的浮夸之风，而是实实在在落实教学目标.通过教师的引导和学生的积极参与，旨在促进学生逐步形成和发展
数学应用意识，提高数学解题能力.如果在试卷讲评课中，教师对于学生做错的题
目总是仔细地“教”，“教”思想、“教”方法、“教”变式，那么，学生的学习只能处于初级的模仿阶段，缺乏自己的“思考”，遇到新的问题只能“举步不前”.事实上，作为学生，如何学会自主思考，使新问题迎刃而解，这才是最重要的.比如，在试卷讲评时，笔者不是告知学生此题考查的知识点，“教”给学生解题的方法，而是考虑给学生“思”出问题的关键——“图形”，通过构造“勾股定理弦图”使问题轻松解决，通过延长DF交AB于K，实现与课本习题的“回归”.让出时间，让出空间，从而让出精彩，这才能真正体现学生的主体地位.所以，教师“少”教一些并不意味着自身或学生会有损失，相反，教师应多让学生通过自己的“思”，“思”出本质，从而使教学促进学习，而不是控制学习效果.这样，我们
的数学课堂定会绽放无穷的魅力！
3.试卷讲评要挖掘学生的“说题思维”
在试卷讲评课中，让学生自行说题、解题，有时比教师在讲台上滔滔不绝地“教”，效果更好，因为学生用自己的思维去分析，更贴近他们的思维习惯，也更容易被他们理解和接受.教师则只需点评，关键的地方示范板演.说题是学生运用数学语言口
述理清思维脉络，对知识方法进行选择加工的知识构建过程.它不仅有利于数学知
识的巩固和应用，还有利于学生推理论证思维的形成.通过说题训练的教学，让学
生大胆开口，能很好地暴露学生思维的全过程，有利于教师随时掌握知识基础、能力水平，取得较好的效果.说题可设置以下问题链：（1）此题的解法是什么，怎么想出来的？（2）难点在哪里？关键是哪一步？（3）能找到更好的解题途径吗？
能否寻求“一题多解”呢？（4）这种方法能推广吗？（5）通过解决这个问题，
学到了什么新知识？从中得到了什么启发？这很好地体现了“数学教学活动是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”的教学新理念. 孔子曰：“吾日三省吾身.”作为教师，应“日省”如何适度地“教”，给学生
“思”的空间：自主探究，学会对数学知识进行思维加工.充分发挥学生的主体作用，变学生的学习过程为在教师的引导下实现知识“再创造”的过程，使学生在潜移默化中获得知识，学会方法，真正把学生从“题海”中解放出来，切实提高教学活动的有效性！。