高代 第三章 线性方程组
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3
消 元 法
线 性 方 程 组 2013-8-12
阜师院 数科院
高 等 代 数
对一般线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .
c1n c2 n ctn 0 0
所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素 起至该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素 3 全为零；若该行全为零，则它的下方元素也全为零。 证明：若A=0，则A已成阶梯形， 线 若 A 0 ，则A至少有一个元素不为0，不妨设 a11 0 ， 性 （否则，设 aij 0 ，我们可经行、列变换，使 aij 位于
基本内容：本章的基本内容是线性方程组理论，向量空间的基本 理论以及几何空间平面和直线的简单性质。 教学目的： 1．使学生准确理解线性方程组的全部理论和向量空间的线性相关 性理论， 2．熟练地掌握线性方程组的解法，线性方程组有解的充分必要条 件及其线性方程组解的结构。
高 等 代 数
§3.1
分别用 2 和 3 乘第1行和第3行
1
线 性 方 程 组 2013-8-12
分别把第1个方程和第3个 1 1 方程乘以 和 3
1
x1
x3 3 x2 x3 5 x3 6
阜师院 数科院
→
1 0 1 3 0 1 1 5 0 0 1 6
—（2）
3
线 只要证明线性方程组（1）的增广矩阵 A A b 经一系列 性 行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化 方 为矩阵： 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
高 等 代 数
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
高 等 代 数
程 组 2013-8-12
阜师院 数科院
行列式，记为 A 注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。 定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； 3 （消法变换） 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） 线 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）
性 用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 方 用一个非零数乘矩阵的某一行； 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对 由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行 相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩 阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 m n 个元素排成如下数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 3 称为数域 F 上的m行n列 am1 am 2 amn 线 矩阵，简称 m n 阶矩阵，记为 Amn 或 aij mn 。 aij 称为矩阵的 性 元素，i称为元素 aij 所在行的行下标，j称为元素 aij 所在列的 方 n 列下标。 当m=n时， n 矩阵亦称为方阵。
高 等 代 数
组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来 解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列 式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解方程组：把未知量系数和常数按原顺序写成下表
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2x 2 x3 6 1
高 等 代 数
第三章 线性方程组
学时：18学时。 教学手段：
课堂讲授与学生自学讨论相结合，课堂练习和课后演练习题相结 合，教师辅导答疑。
基本内容和教学目的：
3
线 性 本章的重点和难点： 方 用消元法解线性方程组，线性方程组解状况的判定定理及结构定 理，向量组的线性相关性理论，线性空间的基础理论。 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
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则结论成立；若其不为0，不妨设 b22 0 ，用 b221bi 2 , i 3,, m 高 乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用 b221 乘第二行得：
等 代 数
1 b12 b13 0 1 c23 A2 A3 0 0 c33 0 0 c m3
把未知量系数和常数按原顺序写成下表把第1个方程分别乘以21加到第2个3个方程把第1行分别乘以21加到第23行20151114阜师院数科院把第3个方程分别乘以41加到第2个1个方程把第3行分别乘以4方程互换位置把第2行与第3行互换位置分别把第1个方程和第3个方程乘以20151114阜师院数科院把第3个方程分别乘以11加到第12个方程分别把把第3行乘以11加到第12行在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换
方 左上角）。把第一行分别乘以 a 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
1 11 i1
a , i 2,3,, m 加到
高 等 代 数
第i行，则A化为
a11 a12 a21 a22 a m1 am 2 a1n a11 a12 a2 n 0 b22 A 0 b amn m2 a1n b2 n A1 bmn
高 等 代 数
a11 a12 a21 a22 若A an1 an 2
a1n a2 n ，则 ann
a11 a21
a12 a1n a22 a2 n
称为矩阵A的
an1 an 2 ann
性 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决 方 以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是 程 否与原方程组同解。 阜师院 数科院 组 2013-8-12
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高 等 代 数
定理3.1.3: 一个 m n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 变换可化为一下阶梯形
1 0 1 B 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b1n c2 n c3n cmn
如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。 3 A B 对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。 B C 线 性 定理中的r是矩阵A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。
方 程 组 2013-8-12
r行
3
线 性 方 程 组 2013-8-12
这里 0 r min m, n 。更进一步，通过行初等变换，可化为
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高 等 代 数
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 C 0 0 1 crr 1 0 0 0 0 0 0 0 0
→
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
3
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
线 性 方 程 组 2013-8-12
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
用 a111 乘第一行得：
3
1 0 A1 A2 0
b1n b22 b2 n bm 2 bmn b12
线 性 方 程 组 2013-8-12
b22 b2 n A2 中的右下角矩阵 类似考虑，若其为0， 对 b bmn m2
高 等 代 数
把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程
分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行
9 x1 x2 1 x3 6
→
1 0 0 9 0 1 0 1 0 0 1 6
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换： 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； 用一个非零数乘一个方程的两边； 3 互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 线 如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相 当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：
→
2 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 5
阜师个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x2 x3 5
→
6 2 0 2 0 0 3 18 0 1 1 5
把第2行与第3行互换位置
把第2个方程与第3个 方程互换位置
3
2 x1
2
2 x3 6 x2 x3 5 3 x3 18
→
6 2 0 2 0 1 1 5 0 0 3 18
定理3.1.1: 方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 高与它同解的线性方程组。 等 证明：对第（1）种初等变换证明之。 代 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 数 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和 常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换， 因此由定理3.1.1，我们有 3 定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵 A 进行行初等 变换化为 B ，则以 B 为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同 线 解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当 性 于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问： 方 一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？
c1n c2 n ctn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
3 以 C 为增广矩阵的线性方程组就是（2）。
A 由定理3.1.3知， 中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法 线 变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C 性 化为
—（1）
3
线 性 方 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解
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高 等 代 数
定理3.1.4 线性方程组（1）与以下形式的线性方程组同解
x1 c1, r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2n n 2 2 2,r 1 r 1 xr cr ,r 1 xr 1 crn xn d r 0 d r 1 00 00
消 元 法
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高 等 代 数
对一般线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .
c1n c2 n ctn 0 0
所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素 起至该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素 3 全为零；若该行全为零，则它的下方元素也全为零。 证明：若A=0，则A已成阶梯形， 线 若 A 0 ，则A至少有一个元素不为0，不妨设 a11 0 ， 性 （否则，设 aij 0 ，我们可经行、列变换，使 aij 位于
基本内容：本章的基本内容是线性方程组理论，向量空间的基本 理论以及几何空间平面和直线的简单性质。 教学目的： 1．使学生准确理解线性方程组的全部理论和向量空间的线性相关 性理论， 2．熟练地掌握线性方程组的解法，线性方程组有解的充分必要条 件及其线性方程组解的结构。
高 等 代 数
§3.1
分别用 2 和 3 乘第1行和第3行
1
线 性 方 程 组 2013-8-12
分别把第1个方程和第3个 1 1 方程乘以 和 3
1
x1
x3 3 x2 x3 5 x3 6
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→
1 0 1 3 0 1 1 5 0 0 1 6
—（2）
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线 只要证明线性方程组（1）的增广矩阵 A A b 经一系列 性 行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化 方 为矩阵： 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
高 等 代 数
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
高 等 代 数
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行列式，记为 A 注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。 定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； 3 （消法变换） 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） 线 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）
性 用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 方 用一个非零数乘矩阵的某一行； 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对 由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行 相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩 阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 m n 个元素排成如下数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 3 称为数域 F 上的m行n列 am1 am 2 amn 线 矩阵，简称 m n 阶矩阵，记为 Amn 或 aij mn 。 aij 称为矩阵的 性 元素，i称为元素 aij 所在行的行下标，j称为元素 aij 所在列的 方 n 列下标。 当m=n时， n 矩阵亦称为方阵。
高 等 代 数
组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来 解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列 式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解方程组：把未知量系数和常数按原顺序写成下表
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2x 2 x3 6 1
高 等 代 数
第三章 线性方程组
学时：18学时。 教学手段：
课堂讲授与学生自学讨论相结合，课堂练习和课后演练习题相结 合，教师辅导答疑。
基本内容和教学目的：
3
线 性 本章的重点和难点： 方 用消元法解线性方程组，线性方程组解状况的判定定理及结构定 理，向量组的线性相关性理论，线性空间的基础理论。 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
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则结论成立；若其不为0，不妨设 b22 0 ，用 b221bi 2 , i 3,, m 高 乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用 b221 乘第二行得：
等 代 数
1 b12 b13 0 1 c23 A2 A3 0 0 c33 0 0 c m3
把未知量系数和常数按原顺序写成下表把第1个方程分别乘以21加到第2个3个方程把第1行分别乘以21加到第23行20151114阜师院数科院把第3个方程分别乘以41加到第2个1个方程把第3行分别乘以4方程互换位置把第2行与第3行互换位置分别把第1个方程和第3个方程乘以20151114阜师院数科院把第3个方程分别乘以11加到第12个方程分别把把第3行乘以11加到第12行在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换
方 左上角）。把第一行分别乘以 a 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
1 11 i1
a , i 2,3,, m 加到
高 等 代 数
第i行，则A化为
a11 a12 a21 a22 a m1 am 2 a1n a11 a12 a2 n 0 b22 A 0 b amn m2 a1n b2 n A1 bmn
高 等 代 数
a11 a12 a21 a22 若A an1 an 2
a1n a2 n ，则 ann
a11 a21
a12 a1n a22 a2 n
称为矩阵A的
an1 an 2 ann
性 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决 方 以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是 程 否与原方程组同解。 阜师院 数科院 组 2013-8-12
程 组 2013-8-12
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定理3.1.3: 一个 m n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 变换可化为一下阶梯形
1 0 1 B 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b1n c2 n c3n cmn
如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。 3 A B 对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。 B C 线 性 定理中的r是矩阵A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。
方 程 组 2013-8-12
r行
3
线 性 方 程 组 2013-8-12
这里 0 r min m, n 。更进一步，通过行初等变换，可化为
阜师院 数科院
高 等 代 数
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 C 0 0 1 crr 1 0 0 0 0 0 0 0 0
→
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
3
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
线 性 方 程 组 2013-8-12
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
用 a111 乘第一行得：
3
1 0 A1 A2 0
b1n b22 b2 n bm 2 bmn b12
线 性 方 程 组 2013-8-12
b22 b2 n A2 中的右下角矩阵 类似考虑，若其为0， 对 b bmn m2
高 等 代 数
把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程
分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行
9 x1 x2 1 x3 6
→
1 0 0 9 0 1 0 1 0 0 1 6
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换： 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； 用一个非零数乘一个方程的两边； 3 互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 线 如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相 当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：
→
2 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 5
阜师个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x2 x3 5
→
6 2 0 2 0 0 3 18 0 1 1 5
把第2行与第3行互换位置
把第2个方程与第3个 方程互换位置
3
2 x1
2
2 x3 6 x2 x3 5 3 x3 18
→
6 2 0 2 0 1 1 5 0 0 3 18
定理3.1.1: 方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 高与它同解的线性方程组。 等 证明：对第（1）种初等变换证明之。 代 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 数 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和 常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换， 因此由定理3.1.1，我们有 3 定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵 A 进行行初等 变换化为 B ，则以 B 为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同 线 解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当 性 于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问： 方 一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？
c1n c2 n ctn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
3 以 C 为增广矩阵的线性方程组就是（2）。
A 由定理3.1.3知， 中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法 线 变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C 性 化为
—（1）
3
线 性 方 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程 程 阜师院 数科院 组 2013-8-12
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解
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定理3.1.4 线性方程组（1）与以下形式的线性方程组同解
x1 c1, r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2n n 2 2 2,r 1 r 1 xr cr ,r 1 xr 1 crn xn d r 0 d r 1 00 00