陕西省西安市交通大学附属中学高三数学文模拟试题含解析

陕西省西安市交通大学附属中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则“”是“”的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．即不充分也不必要条件D．充要条件
参考答案：
A
由可得，由可得
∵
∴“”是“”的充分不必要条件
故选A
2. 函数的递增区间是（）
A. B.(2,+∞) C.（-∞,） D.（,+∞）
参考答案：
A
3. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D. A∪B=R
参考答案：
B
【分析】
先求出集合B，再利用交集并集的定义判断选项．【详解】∵B＝，＝{x|}，
∴A∩B＝．，
故选：B．
【点睛】本题考查交集并集的求法，是基础题，解题时要注意交集并集的区别．
4. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意向量a b令
a⊙b，则下列说法错误的是
（A）对任意的a⊙b a⊙(b)
（B）a⊙b b⊙a
（C）a⊙b a b a b
（D）若a与b共线，则a⊙b
参考答案：
B
5. 设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
6. (2009湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域D内
的弧长为 [ ]
A B C D
参考答案：
B
解析：如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是
，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。

7. 若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，且,则等于
A. B. C. D.
参考答案：
D
由，得，得．
又，由余弦定理得，
得. 故选D．
8. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）
A．B．C．D．参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．
【解答】解：如图所示，
在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，
由余弦定理得
|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF
=100+64﹣2×10×8×
=36，
∴|AF|=6，∠BFA=90°，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e==．
故选B．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．
9. 设数列是等差数列，。

若数列的前n项和取得最小值，则n的值
为（）
A．4 B．7 C．8 D．15
参考答案：
B
10. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）
A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞） D．[1，+∞）
参考答案：
A
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．
【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，
∴M∩N={x|1＜x＜2}，
故选A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
参考答案：
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得该几何体是，四分之三圆柱上叠一个半圆锥，把数据代入体积公式即可求出结果．
【解答】解：由三视图得该几何体是，四分之三圆柱上叠一个半圆锥，
该几何体的体积为V==
故答案为：12. 在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，则使点P到四个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
参考答案：
略
13. 若直线始终平分圆的周长，则的值为________．
参考答案：
1
14. 若函数f（x）满足?a、b∈R，都有，且f（1）=1，f（4）=7，则f （2017
）= ．
参考答案：
4033
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据题意，分别令a=1，b=4，或a=4，b=1，求出f（2）=3，f（3）=5，故可得可以猜想f （n）=2n﹣1，代值计算即可．
【解答】解：∵3f（）=f（a）+2f（b），
令a=1，b=4，
∴3f（3）=f（1）+2f（4）=1+14，解得f（3）=5，
令a=4，b=1，
∴3f（2）=f（4）+2f（1）=7+2，解得f（2）=3，
由f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，
可以猜想f（n）=2n﹣1
∴f（2017）=4034﹣1=4033
故答案为：4033
【点评】本题考查了抽象函数的问题，关键是赋值，寻找规律，属于基础题．
15. 已知，sin()=－ sin则cos=_____.
参考答案：
16. 关于的不等式（
）的解集为 ．
参考答案：
17. 若双曲线的离心率e=2，则m=_--___.
参考答案： 48
本题考查了双曲线中的基本量a,b,c 的计算，难度较小。

根据双曲线方程：
知，
，并在双曲线中有：
，
离心率e=
=2
=
,
m=48
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的直角坐标方程为
，以坐标原点
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.是曲线
上一点，，将点
绕点
逆时针旋转角
后得到点
,
,点
的轨迹是曲线
.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程. （Ⅱ）求
的取值范围.
参考答案：
19. （本小题满分14分）已知函数
,其中.
（1）若函数
在
上单调递增，求实数的取值范围.
（2）当
时，图象上任意一点处的切线的倾斜角为，且，求a 的
取值范围． 参考答案：
解(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，要使f (x )在(0,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，------------2
分
∵f ′(x )是开口向下的抛物线， ∴，∴a ≥3. ------------6分
(2)∵0≤θ≤，∴tan θ＝－3x 2＋2ax ∈[0,1]．
据题意0≤－3x 2＋2ax ≤1在(0,1]上恒成立，------------9分 由－3x 2＋2ax ≥0，得a ≥x ，a ≥， ------------11分
由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋.
又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)，
∴a≤ .------------13分
综上，a的取值范围是≤a≤. …………14分
20. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（1）证明：AB⊥A1C
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，
求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
参考答案：
(理)（1）如图，取AB的中点O，连接OC
OA1，A1B
∵CA=CB，∴OC⊥AB
∵AB=AA1，∠BAA1=60°
∴△AA1B为正三角形
∴OA1⊥AB
∵OC∩OA1=o，∴AB⊥平面OA1C
又A1C平面OA1C，∴AB⊥A1C
（2）由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB
又∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，∴OC⊥平面AA1B1B
∴OA，OA1，OC两两垂直
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，由题设知A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（－1，0，0），
则
设是平面BB1C1C的法向量。

则：即：取
∴
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为略
21. (本题满分12分)已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求证：.
参考答案：
（1）当时，
故函数
即
（2）令，
只需证明时恒成立
①设
∴
∴，即②……10分
由①②知，时恒成立
故当时，12分
22. (本小题满分12分)已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足
，其中为正常数，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：
参考答案：
(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题设知，解得.…2分
由两式作差得
所以，即，………………………………4分
可见，数列是首项为，公比为的等比数列．……6分（Ⅱ）……………………………………8分
…………………………………………10分
. ……………………………………………12分略。