四川省雅安市天全中学2016届高三9月月考数学(理)试卷

天全中学高三9月月考数学试题（理科）
注意：请同学们将试题的答案必须写在答题卷上，否则不给分！
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．角α终边经过点（1，﹣1），则cos α=( ) A ．
B ．﹣1
C ．1
D ．﹣
2．已知复数z 满足
z =
为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. 12- D.12
i -
3．若向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．2π
B ．23π
C ．34π
D ．56
π
4．下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02
≤-x x ” C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 5．已知定义在R 上的函数
||()21
x m f x -=-()m 为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ） (A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 6．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A 、()()f x f x -是奇函数；
B 、()()f x f x -是奇函数；
C 、()()f x f x +-是偶函数；
D 、()()f x f x --是偶函数 7．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ∙= ( )
(A)232a - (B) 234a - (C) 234a (D) 232
a
8．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．2
2
()||a b a b +=+ D ．2
2
()()a b a b a b +-=-
9．设:01p x <<，:()((2))0q x a x a --+?，若p 是q 的充分而不必要条件，则实
数a 的取值范围是( )
A ．[]1,0-
B ．()1,0-
C ．(][),01,-ト+?
，
D ．()(),10,-???
10．将函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移
个单位，再将图象上
所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx ，则y=sin （ωx+φ）图象上离y 轴距离最近的对称中心为( ) A ．（
，0）
B ．
（π，0）
C ．（﹣
，0） D ．（﹣
，0）
11．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0）的对称中心为M （x 0，y 0），记函数f （x ）的导函数为f ′（x ），f ′（x ）的导函数为f ″（x ），则有f ″（x 0）=0．若函数f （x ）=x 3﹣3x 2，则可求出f
（）+f
（
）+f
（
）+…+f
（
）+f
（
）的值为( )
A ．﹣8058
B ．﹣4029
C ．8058
D ．4029 12．已知函数f （x ）=2mx 3﹣3nx 2+10（m ＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg 2m+lg 2n 的最小值为( ) A ．
B
．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞
，，
，1x x log -11x 22x -1则((8))f f =________
14．若实数x 、y 满足20,
,,x y y x y x b -≥⎧⎪
≥⎨⎪≥-+⎩ 且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为
________
15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sin πx （0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为________ 16．4cos10°﹣tan80°= ________
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合A=｛x |x 2
-3x -10≤0｝,B=｛x |m +1≤x ≤2m -1｝,若A ∪B=A ，求出实数m 的取值范围。

18．（12分）（12分）已知函数()()2
2sin cos 2cos 2f x x x x =++-．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（2） 当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的最大值,最小值．
19．（12分）某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作．假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率；
（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）
20．（12分）已知函数()()0≠++=x b x
a
x x f ，其中R b a ∈,。

（1）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式；
（2）讨论函数()x f 的单调性；
（3）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范
围.
21.（12分）已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4
cos2x
.
(1)判断f (x )的奇偶性；
(2)求f (x )的周期和单调区间；
(3)若关于x 的不等式f (x )≥m 2-m 有解，求实数m 的取值范围．
22．（12分）已知函数1)1()1ln()(+---=x k x x f 。

I ）求函数)(x f 的单调区间；
Ⅱ）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； Ⅲ）证明：① ),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立 ；
②
∑=+>∈-<+n
i n N n n n i i 2
)1,(,4
)
1())1(ln (
天全中学高三9月月考数学参考答案（理科）
一、选择题：ACDBB CDBAC AD
10.解：将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin的图象；
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （ωx+ω+φ）的图象；
∴函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象与函数y=sinx的图象相同
∴，φ=0
解得：ω=2，φ=∴y=sin（ωx+φ）=sin（2x）
由2x=kπ得2x=k（k∈Z）当k=﹣1时，x=﹣
∴离y轴距离最近的对称中心为（﹣，0）．故选C．
11.解：①由题意f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，
f″（x）=6x﹣6，由f″（x0）=0得6x0﹣6=1 解得x0=1，而f（1）=﹣2，
故函数f（x）=x3﹣3x2关于点（1，﹣2）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=﹣4，
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=﹣4×2014+（﹣2）=﹣8058．故选：A．
12.解：f′（x）=6mx2﹣6nx=6x（mx﹣n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=，
∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，
∴f（）=0，即2m•﹣3n•+10=0，整理得n3=10m2，
两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=+lgm，
∴lg2m+lg2n=lg2m+（+lgm）2=（13lg2m+4lgm+1）=（lgm+）2+，
∴当lgm=﹣时，lg2m+lg2n有最小值为．
故选D．
二、填空题：
13．814．9
4
15．3+216．﹣
15．解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）
∴a+b=1
则+=（
）（a+b ）=3+
=3+2
最小值为
故答案为：3+2
16．解：4cos10°﹣tan80°=4cos10°﹣=4cos10°﹣
===
===
=﹣
，
三、解答题
17．3m ≤（B Φ≠Φ分两种情况讨论B=和），给4分+6分
18．解：（1）()sin 2cos 224f x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭.
∴()f x 的最小正周期为π. （6分）
（2）.
337,,244444x x πππ
ππ⎡⎤∈∴≤+≤
⎢⎥⎣⎦
,1sin 24x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭
∴()1f x ≤≤.∴当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,函数()f x 的最大值为1,最小值.（12分）
19．解：（1）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i （i=1，2，3，4），
则，，，．
∴该选手进入第四轮才被淘率的概率：
=
．（4分）
（2）X 的可能值为1、2、3、4，
，
，
=
，
∴X 的分布列为： X 1 2 3 4
P
∴
．（12分）
20．解：（1）2()1a
f x x
'=-
，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-， 由切点(2(2))P f ，在直线31y x =+上可得27b -+=，
解得9b =，所以函数()f x 的解析式为8
()9f x x x
=-+.-------（4分）
（2）2()1a
f x x
'=-，
当0≤a 时，显然()0(0)f x x '>≠，这时()f x 在()0,∞-，()+∞,0内是增函数；
当0a >时，令()0f x '=
，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在],(a --∞，),[+∞a
内是增函数，在(
，(0内是减函数。

--------（8分）
（3）由（2）知，()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上的最大值为14f ⎛⎫
⎪⎝⎭与(1)f 中的较大者，
对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,41上恒成立，
当且仅当1104(1)10f
f ⎧
⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭
⎨⎪⎩
≤，≤，即39449b a b a
⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，≤ 对任意的⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,21a 成立，从而得满足条件的b 的取值范围是]47,(-∞ ----（12分）
21. 解：(1)由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π
4，k ∈Z ，
∴f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π
4，k ∈Z }．
∴f (x )的定义域关于原点对称．当x ≠k π2＋π
4，k ∈Z 时，
f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x －5cos 2x ＋1cos2x
＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x
＝3cos 2x －1，∴f (x )是偶函数．（4分）
(2)∵f (x )＝3cos 2
x －1＝3×1＋cos2x 2－1＝12＋32cos2x .
∴T ＝2π
ω＝π，∴f (x )的最小正周期为π.
增区间为、⎪⎭⎫ ⎝
⎛-4-,2
ππππk k )(,4Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-πππ，
减区间为、
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+4,πππk k )(2,4
Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++ππππ（8分） (3)当x ≠k π2＋π4(k ∈Z )时，0≤cos 2x ≤1且cos 2x ≠12， ∴－1≤3cos 2x －1≤2且3cos 2x －1≠12，∴f (x )的值域为{y |－1≤y ＜12或1
2＜y ≤2}． 由关于x 的不等式f (x )≥m 2-m 有解得2≥m 2-m 解得－1≤m ≤2（12分）
22．解：（1）∵f （x ）=1n （x-1）-k （x-1）+1，
∴x ＞1，k x x f --=1
1
)('
∵x ＞1，
∴当k ≤0时，01
1
)('>--=k x x f ，f （x ）在（1，+∞）上是增函数；
（4分） 当k ＞0时，f （x ）在（1，1+1 /k ）上是增函数，在（1+1 /k ，+∞）上为减函数．
（2）∵f （x ）≤0恒成立，∴∀x ＞1，ln （x-1）-k （x1）+1≤0， ∴∀x ＞1，ln （x-1）≤k （x-1）-1，∴k ＞0．
由（1）知，f （x ）max=f （1+1 k ）=ln1 k ≤0，解得k ≥1． 故实数k 的取值范围是[1，+∞）．（8分）
（3）令k=1，则由（2）知：ln （x-1）≤x-2对x ∈（1，+∞）恒成立， 即lnx ≤x-1对x ∈（0，+∞）恒成立．
取2n x =，则1ln 22-≤n n ，)1)(1(ln 2+-≤∴n n n。