2020-2021学年宝鸡中学高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年宝鸡中学高三上学期期中数学试卷(文科)
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.
已知集合A ={1,10，
}，B ={y|y =lgx,x ∈A}，则A ∩B =
A.
B. {10}
C. {1}
D. φ
2.
⒑若cos(
，则cos(
= ( ) A. −
B.
C. −
D.
3.
对任意复数z =x +yi(x,y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. |z −z|=2y
B. z 2=x 2+y 2
C. |z +z|=2|x|
D. z ·z =x 2−y 2
4.
已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3)，则AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. (3,1)
B. (2,−1)
C. (−1,2)
D. (−1,7)
5.
3.“
，使
成立”是“
”的
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
6.
在△ABC 中，AC =7，∠B =
，△ABC 的面积S =
，则AB =
A. 5或3
B. 5
C. 3
D. 5或6
7.
已知命题p ：实数x 满足log a x >log a (2−x)，其中0<a <1，则使命题p 成立的必要不充分条件是( )
A. 1<x <2
B. 0<x <1
C. −1<x <1
D. 1
2<x <1
8.
cos75°cos15°−sin435°sin15°的值是( )
A. 0
B. 1
2
C. √3
2
D. −1
2
9.
已知a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,1)，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( )
A. −√2
2
B. √22
C. −√55
D. √55
10. 若定义域为D 的函数f(x)满足： ①f(x)在D 内是单调函数；
②存在[a,b]⊆D ，使得f(x)在[a,b]上的值域为[a 2,b
2]，则称函数f(x)为“半值函数”．
已知函ℎ(x)=log c (c x +t)(c >0,c ≠1)是“半值函数”则实数t 的取值范围为( )
A. (0,+∞)
B. (−∞,1
4)
C. (1
4,+∞)
D. (0,1
4)
11. 设
，其中
，
，若
对一切
恒成立，
则下列结论正确的是( ) ①；
②函数既不是奇函数也不是偶函数；
③
的单调递增区间是
；
④存在经过点
的直线与函数
的图象不相交．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
12. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，f′(x)为其导函数，f(2)=0，当x >0时，有xf′(x)>f(x)恒成
立，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A. (−2,2)
B. (−∞,−2)∪(0,2)
C. (−2,0)∪(0,2)
D. (−2,0)∪(2,+∞)
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 曲线y =1
x 在点(1,1)处的切线方程为______．
14. 某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源．这个特别密
码与如图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及右表中第年份行(如2019年即为第2019行)自左向右第一个数的个位数字构成的五位数．如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是______．
15. 设函数{2x +1(x ≥0)
2x (x <0)
，已知f[f(x)]=2，则x =______．
16. 直线l ：y =m(m 为实常数)与曲线E ：y =|lnx|的两个交点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1<x 2，
曲线E 在点A 、B 处的切线PA 、PB 与y 轴分别交于点M 、N.有下面4个结论：①|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；②三角形PAB 可能为等腰三角形；③若直线l 与y 轴的交点为Q ，则|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1；④当x 1是函数g(x)=x 2+lnx 的零点时，|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |(O 为坐标原点)取得最小值． 其中正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. (本小题满分12分)在△ ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C −ccos(A +C)=3
a cos B ．
(I)求cos B 的值；
(II)若，且
，求b 的值．
18. 已知数列
的各项均为正数，
为其前项和，且对任意的
，有
．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和
．
19. 如图所示，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，
AB//CD ，CD =2AB =2AD ．
(Ⅰ)求证：BC ⊥BE ；
(Ⅱ)在EC 上找一点M ，使得BM//平面ADEF ，请确定M 点的位置，并给出证明．
20. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+(b −a)x(a,b 是不同时为零的常数)，其导函数为f ′(x)．
(1)当a =1
3时，若不等式f′(x)>−1
3对任意
恒成立，求b 的取值范围；
(2)若函数f(x)为奇函数，且在x =1处的切线垂直于直线x +2y −3=0，关于x 的方程f(x)=−1
4t
在[−1,t](t >−1)上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围．
21. 已知：椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)，过点A(−a,0)，B(0,b)的直线的斜率为1
2，原点到该直线的
距离为
2√5
5
． (1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(−1,0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线EF 的方程； (3)是否存在实数k ，使直线y =kx +2交椭圆于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过点D(−1,0)？若
存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
22. 在直角坐标xOy 中，圆C 1：(x +√3)2+y 2=4，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθ
y =2sinθ
(θ为参数
)，并以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出C1的极坐标方程，并将C2化为普通方程；
(ρ∈R)，C2与C3相交于A，B两点，求△ABC1的面积(C1为圆C1的(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π
3
圆心)．
23. 已知函数f(x)=|2x−1|+|x+m|．
(Ⅰ)当m=2时，求f(x)≤4的解集；
(Ⅱ)若任意的x∈R，都有f(x)≥2m−1恒成立，求m的值．。