课时作业16：2.1.3 超几何分布

2．1.3 超几何分布
基础过关
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )
A.C 34C 248C 552
B.C 348C 2
4C 552 C ．1－C 148C 44
C 552
D.C 34C 248＋C 44C 148C 552
答案 D
解析 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 2
48
C 552＋
C 44C 148
C 552
. 2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( ) A.150 B.125 C.1825 D.14950
答案 C
解析 记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096
C 2100＝1825
.
3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球
的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 2
22
C 226
的是( )
A ．P (0<X ≤2)
B ．P (X ≤1)
C ．P (X ＝1)
D ．P (X ＝2)
答案 B
解析 本题相当于至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 4．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是5
7，则语文课本的本数为( )
A ．2本
B ．3本
C ．4本
D ．5本 答案 C
解析 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且
P (X ＝k )＝C k m C 2－
k 7－m
C 2
7
(k ＝0,1,2)． 由题意，得
P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－m
C 27
＝12×(7－m )(6－m )21＋m (7－m )21＝5
7. ∴m 2－m －12＝0， 解得m ＝4或m ＝－3. 即7本书中语文课本有4本．
5．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为________． 答案 23
解析 设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为N ＝10，M ＝6，n ＝3的超几何分布，且
P (X ＝k )＝C k 6C 3－
k 4
C 310
(k ＝0,1,2,3)
故所求概率为
P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)
＝C 26C 14C 310＋C 36C 04
C 310＝60120＋20120＝23
. 6．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n
2
的值为________.
答案 0.2
解析 由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m －n
2＝0.2.
7．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列．
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率 解 (1)ξ可能取的值为0,1,2.
P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－
k
4
C 36
，k ＝0,1,2.
所以，ξ的分布列为
(2)由(1)知“所选3P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝4
5
.
能力提升
8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以7
10为概率的事件是( )
A ．都不是一等品
B ．恰有一件一等品
C ．至少有一件一等品
D ．至多有一件一等品
答案 D
解析 P (都不是一等品)＝C 22
C 25＝110，
P (恰有一件一等品)＝C 13·C 12
C 25＝610，
P (至少有一件一等品)＝1－
110＝9
10
， P (至多有一件一等品)＝1－C 23
C 25＝710
.
9．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( ) A.310 B.710 C.2140 D.740
答案 D
解析 “X ＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P (X ＝3)＝A 27C 13
A 310
＝
7×6×310×9×8＝7
40
，选D.
10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为____________(用式子表示)．
答案 C 13C 397＋C 497
C 4100
解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台．
11．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率． 解 (1)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 34C 36＝1
5
；
P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝3
5；
P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝1
5
.
∴X 的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”P (C )＝C 34
C 36＝15
.
∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝4
5
.
12．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列． 解 由题意得X 取3,4,5,6，
且P (X ＝3)＝C 35C 04C 39＝542，P (X ＝4)＝C 25C 14
C 39＝1021，
P (X ＝5)＝C 15C 24C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34
C 39＝121
，
所以X 的分布列为
创新突破
13．袋中有3个白球、3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球．规定取得一个红球得1分，取得一个白球扣1分，取得一个黑球不得分也不扣分，求得分数ξ的分布列． 解 ξ＝3,2,1,0，－1，－2，－3.
ξ＝3表明取出的3个球全是红球，P (ξ＝3)＝C 33
C 311＝1165.
ξ＝2表明取出的3个球中，两个红球，一个黑球，
P (ξ＝2)＝C 23C 15
C 311＝111
.
ξ＝1表明取出的3个球中，一个红球，两个黑球；或者两个红球，一个白球，P (ξ＝1)＝
C 13C 25＋C 23C 13
C 311＝1355
. ξ＝0表明取出的3个球中，三个都是黑球；或者一白、一红、一黑，P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 1
5
C 311
＝
1
3
. ξ＝－1表明取出的3个球中，一个白球、两个黑球；或者两个白球，一个红球，P (ξ＝－1)
＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355
. ξ＝－2表明取出的3个球中，两个白球，一个黑球，
P (ξ＝－2)＝C 23C 1
5
C 311＝111
.
ξ＝－3，表明取出的3个球全是白球，P (ξ＝－3) ＝C 33
C 311＝1165. ∴ξ的分布列为。