圆的方程、直线和圆、圆和圆的位置关系高考题和详解

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1. （2013·重庆高考文科·Ｔ4）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线
3x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ( )
A. 6
B.4
C. 3
D. 2 【解题指南】PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.
【解析】 选B. PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心)1,3(-到直线3-=x 的距离为6,半径为2,所以PQ 的最小值为426=-.
2.(2013·天津高考文科·T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x -1)2+y 2=5相切,且与直线ax -y +1=0垂直,则a = ( ) A.
12
- B. 1 C. 2 D.
12
【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a 的值. 【解析】选C.因为点P(2,2)为圆(x -1)2+y 2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-1,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a =2.
A.1
B.2
C.4
D.
【解题指南】 由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。

【解析】选 C.由22(1)(2)5x y -+-=得圆心（1,2），半径r =，圆心到直线
的距离1d =，在半径、圆心距、半弦长组成的直角三
角形中，弦长
4l ===。

4. （2013·重庆高考理科·Ｔ7）已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：
22(3)(4)9x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，
则PM PN +的最小值为 ( )
A.425-
B.117-
C.226-
D.17
【解题指南】根据圆的定义可知421-+=+PC PC PN PM ,然后利用对称性求解. 【解析】选A.由题意知,圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(3)(4)9x y -+-= 的圆心分别为)4,3(),3,2(21C C ,且421-+=+PC PC PN PM ,点)3,2(1C 关于x 轴的对称点为)3,2(-C ,所以252221=≥+=+CC PC PC PC PC , 即425421-≥-+=+PC PC PN PM .
5.（2013·广东高考文科·Ｔ7）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）
A ．0x y +-=
B ．10x y ++=
C ．10x y +-=
D ．0x y ++=
【解析】选A. 由题意知直线方程可设为0x y c +-=（0c >），则圆心到直线的距
离等于半径1
1=，c =0x y +=.
6. （2013·陕西高考文科·Ｔ8）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 ( ) A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
【解题指南】 利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离，列出关系式，解之即可判断直线ax + by = 1与圆O 的位置关系. 【解析】选B.点M(a, b)在圆.112222>+⇒=+b a y x 外
O(00)ax by 1d 1圆心，到直线距离+==
<=圆的半径，故直线与圆相交.
7. （2013·江西高考理科·Ｔ9）
，0）引直线l 与曲线
y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
B.
C. ±
D.
【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,△AOB 为等腰三角形,所以AB 的长度也可用圆心到直线的距离表示,进而△AOB 的面积可表示为圆心到直线的距离d 的函数,借助二次函数思想可以求解出当△AOB 的面积取最大值时的d 值,进而可以求出直线的斜率.
【解析】选B. 曲线
y =(0,0)为圆心，以1为半径的上半圆.设直线l
的方程为y k(x =
，即kx y 0-=，若直线与半圆相交，则k 0<，圆心到直线的距离
为d =
（d 1<），弦长
为AB =，△AOB 的面积
为
1s A B d 2==
=21d 2=时s
最大，解212=得21k 3=，
故k 3
=-
. 8. （2013·山东高考理科·Ｔ9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （ ）
A.2x+y-3=0
B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0
D.4x+y-3=0 【解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可. 【解析】选A. 由图象可知，(1,1)A 是一个切点，根据切线的特点可知过点 A.B
的直线与过点（3,1）、（1、0）的直线互相垂直，21
3011
-=---=AB k ，所以直线AB 的方程为()121--=-x y ，即2x+y-3=0. 二、填空题
9. （2013·山东高考文科·Ｔ13）过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________
【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点()1,3的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.
【解析】 半径为2=r ，圆心为()2,2，圆心到点()1,3的距离()()2212322=-+-=d ,所求最短弦长为()222222
2=-
【答案】22 .
10.(2013·浙江高考文科·T13)直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于 .
【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长. 【解析】由22
23,
680,=+⎧
⎨
+--=⎩
y x x y x y ，解得11x y =-⎧⎨
=⎩或3
9
x y =⎧⎨=⎩，所以两交点坐标为()1,1- 和
()3,9
，所以弦长l =
=. 【答案】11. （2013·江西高考文科·Ｔ14）若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 .
【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点. 【解析】设圆的方程为222(x a)(y b)r -+-=，因为圆C 经过点（0,0）和点（4，0），所以a =2，又圆与直线y=1相切，可得1b r -=，故圆的方程为
2
2
2
(x 2)(y b)(1b)-+-=-，将（0,0）代入解得3b 2=-，5
r 2
=，所以圆的方
程为
2
2325(x 2)(y )24
-++=. 【答案】2
2325
(x 2)(y )24
-++=.
12. （2013·湖北高考文科·Ｔ14）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1
x y θθ+=（π
02
θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .
【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离,同半径的一半相比较.
【解析】半径为
圆心到直线l 的距离
1=<
故数形结合k=4. 【答案】4. 三、解答题
13.(2013·江苏高考数学科·T17) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 。

设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

【解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用MA=2MO 确定点M 的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出a 的取值范围.
【解析】(1)由题设知,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3, 由题意
= 1, 解得 k=0或-34
,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为 (x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO, 所以22222)3(y x y x +=-+, 化简得4)1(22=++y x ,
所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意知,点M(x,y)在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点, 则2-1≤CD ≤2+1,
即1≤3. 由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R; 由5a 2
-12a ≤0,得0≤a ≤12
5 .
所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0, 12
5 ].
14.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P
在
x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为
（1）求圆心P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线y x =
的距离为
2
，求圆P 的方程。

【解题指南】(1)设出点P 的坐标与圆P 半径，利用弦长、圆心距、半径之间的关系求得点P 的轨迹方程；
（2）利用已知条件求得点P 的坐标，从而求出半径，写出圆的方程. 【解析】（1）设(),P x y ，圆P 的半径为r. 由题设22222,3.y r x r +=+=从而2223y x +=+. 故P 点的轨迹方程为221y x -=. (2)
设00(,),p x y =
又P 点在双曲线221y x -=上，从而得 0022
001,
1,
x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 00022
001,
0.1.1,x y x y y x -==⎧⎧⎪⎨⎨=--=⎪⎩⎩得 此时圆的半径
.
00022
00
01,0.
1.1,x y x y y x -=-=⎧⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩得 此时，圆的半径
.
故圆P 的方程为()()2
2
2213-13x y x y ++=+=或， 15.（2013·四川高考文科·Ｔ20）
已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点。

直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点。

（1）求k 的取值范围；
（2）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||
OQ OM ON =+。

请将n 表示为m 的函
数。

【解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点，所以在求解k 的取值范围时可以利用判别式进行求解，在第二问的处理上要注意222
211
||||||OQ OM ON =+的使用，从而寻找到,m n 的关系.
【解析】（1）将y kx =代入22(4)4x y +-=中，得
22(1)8120()k x kx +-+=*
由22(8)4(1)120k k ∆=--+⨯>，得23k > 所以k
的取值范围是(,(3,)-∞+∞.
（2）因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x kx x kx 则2
2
222212(1),(1)OM k x ON k x =+=+， 又22222(1)OQ m n k m =+=+. 由
222
211
||||||OQ OM ON =+，得 222222
12
211
(1)(1)(1)k m k x k x =++++， 即2121222222
1212
()2211x x x x m x x x x +-=+=， 由()*式可知，12281k x x k +=
+，12
2121x x k =+，所以2
23653
m k =- 因为点Q 在直线y kx =上，所以n k m =
，代入2236
53
m k =-中并化简，得 225336n m -=.
由22
36
53
m k =
-及23k >，可知203m
<<，即((0,3)m ∈. 根据题意，点Q 在圆C 内，则0n
>
，所以5
n ==
. 于是n
与m 的函数关系为5
n =
(((0,3))m ∈.。