高考高三数学二轮复习 专题五 导数及其应用课件 新人教版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
1
1 阴影区域的概率为 . 3
[答案]
1 3
拓展交汇
[例 4] (2011 年高考山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，
长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按 80π 照设计要求容器的容积为 立方米，且 l≥2r.假设该容器的建造费用 3 仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元，设该容器的建造费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式， 并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
[自主解答]
(2)令 f′(x)＝0，得两根 x1＝ 1＋ 1＋8a x2 ＝ ， 2
1－ 1＋8a ， 2
所以 f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减， 在(x1，x2)上单调递增． 当 0＜a＜2 时，有 x1＜1＜x2＜4，所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2)． 27 又 f(4)－f(1)＝－ ＋6a＜0，即 f(4)＜f(1)． 2 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8a－ 40 16 ＝－ . 3 3
10 得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)＝ . 3
解析：
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区 间是(－k，k)． 当k＜0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是 (k，－k)．
1 0
[自主解答]
(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|0
1
＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
[答案] C
(3)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形的面积为( 1 A. 12 1 C. 3
[自主解答]
)
B.
1 4 7 12
D.
y＝x2， 由 得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 3 y ＝ x
0
3 1 2 因此所求图形面积为 S＝ (x － x )dx
1 1 1 1 ＝( x3－ x4)|0＝ . 3 4 12
[答案] A
(4)从如图所示的长方Байду номын сангаас区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴
影部分的概率为________．
2 3 1 |0＝1，所以点 M 落在 [自主解答] 阴影部分的面积为 S＝ 3 x d x ＝ x
12 ∴y′＝4m －4m＝4 m－2 －1，m∈(0,1)．
2
－4t＋4 4 4 ＝ 2－ t . t2 t
3 容易求得－1≤y′＜0，∴－1≤tan α＜0，得 π≤α＜π. 4
[答案] D
导数的应用
[例 2] 1 1 (2011 年高考江西卷)设 f(x)＝－ x3＋ x2＋2ax. 3 2
[答案] A
(3)(2011 年高考课标全国卷)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y ＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3
－ 2x
) D．1
[自主解答] ∵y′＝(－2x)′· e k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2， ∴切线方程为 y－2＝－2(x－0)， 即 y＝－2x＋2.
[解析]
(1)设容器的容积为 V， 4 80π 由题意知 V＝πr2l＋ πr3，又 V＝ ， 3 3 4 3 V－ πr 3 80 4 420 故 l＝ ＝ 2－ r＝ r2 －r. πr2 3r 3 3 由于 l≥2r，因此 0<r≤2. 所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c 420 ＝2πr× r2 －r×3＋4πr2c， 3 160π 2 因此 y＝4π(c－2)r ＋ r ，0<r≤2. 160π (2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－ 2 r 8πc－2 3 20 r － ＝ c－2，0<r≤2. r2 由于 c>3，所以 c－2>0.
2 (1)若 f(x)在 3，＋∞上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；
(2)当 0＜a＜2 时，f(x)在[1,4]上的最小值为－ 上的最大值．
16 ，求 f(x)在该区间 3
1 1 (1)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－22＋ ＋2a. 4 2 2 2 2 ，＋ ∞ 当 x∈ 3 时，f′(x)的最大值为 f′ 3 ＝ ＋2a.令 ＋2a＞0，得 a 9 9 1 ＞－ . 9 2 1 所以当 a＞－ 时，f(x)在3，＋∞上存在单调递增区间． 9 2 1 . ，＋ ∞ － ，＋ ∞ 即 f(x)在 3 上存在单调递增区间时， a 的取值范围为 9
定积分
[例 3] (1)(2011 年高考课标全国卷)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y ) 16 C. 3 D．6
轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 B． 4
[自主解答]
[答案] C
4 x (2)(2011 年高考福建卷) (e ＋2x)dx 等于(
0
)
A．1 C．e
B．e－1 D．e＋1
第五讲
导数及其应用
导数的几何意义
[自主解答]
[答案] A
x (2)曲线 y＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( x＋2 A．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 B．y＝2x－1 D．y＝－2x－2
)
[自主解答] 易知点(－1，－1)在曲线上，且 x＋2－x 2 y′＝ ＝ ， x＋22 x＋22 2 ∴切线斜率 k＝y′|x＝－1＝ ＝2. 1 由点斜式得切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
π A.0，4 π π B.4 ，2
)
3π D. 4 ，π
π 3π C.2， 4
－4ex 4 [自主解答] ∵y＝ x ，∴y′＝ x . e ＋1 e ＋12 令 ex＋1＝t，则 ex＝t－1 且 t>1，∴y′＝ 1 再令 t ＝m，则 0<m<1，
＝－2e
－2x
，
2 2 如图， ∵y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点坐标为3，3， y＝－2x＋2 与 x
轴的交点坐标为(1,0)， 1 2 1 ∴S＝ ×1× ＝ . 2 3 3
[答案] A
4 (4)(2010 年高考辽宁卷)已知点 P 在曲线 y＝ x 上， α 为曲线在点 P 处 e ＋1 的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是(
1
1 阴影区域的概率为 . 3
[答案]
1 3
拓展交汇
[例 4] (2011 年高考山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，
长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按 80π 照设计要求容器的容积为 立方米，且 l≥2r.假设该容器的建造费用 3 仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元，设该容器的建造费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式， 并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
[自主解答]
(2)令 f′(x)＝0，得两根 x1＝ 1＋ 1＋8a x2 ＝ ， 2
1－ 1＋8a ， 2
所以 f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减， 在(x1，x2)上单调递增． 当 0＜a＜2 时，有 x1＜1＜x2＜4，所以 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2)． 27 又 f(4)－f(1)＝－ ＋6a＜0，即 f(4)＜f(1)． 2 所以 f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)＝8a－ 40 16 ＝－ . 3 3
10 得 a＝1，x2＝2，从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)＝ . 3
解析：
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区 间是(－k，k)． 当k＜0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是 (k，－k)．
1 0
[自主解答]
(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|0
1
＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
[答案] C
(3)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形的面积为( 1 A. 12 1 C. 3
[自主解答]
)
B.
1 4 7 12
D.
y＝x2， 由 得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 3 y ＝ x
0
3 1 2 因此所求图形面积为 S＝ (x － x )dx
1 1 1 1 ＝( x3－ x4)|0＝ . 3 4 12
[答案] A
(4)从如图所示的长方Байду номын сангаас区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴
影部分的概率为________．
2 3 1 |0＝1，所以点 M 落在 [自主解答] 阴影部分的面积为 S＝ 3 x d x ＝ x
12 ∴y′＝4m －4m＝4 m－2 －1，m∈(0,1)．
2
－4t＋4 4 4 ＝ 2－ t . t2 t
3 容易求得－1≤y′＜0，∴－1≤tan α＜0，得 π≤α＜π. 4
[答案] D
导数的应用
[例 2] 1 1 (2011 年高考江西卷)设 f(x)＝－ x3＋ x2＋2ax. 3 2
[答案] A
(3)(2011 年高考课标全国卷)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y ＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3
－ 2x
) D．1
[自主解答] ∵y′＝(－2x)′· e k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2， ∴切线方程为 y－2＝－2(x－0)， 即 y＝－2x＋2.
[解析]
(1)设容器的容积为 V， 4 80π 由题意知 V＝πr2l＋ πr3，又 V＝ ， 3 3 4 3 V－ πr 3 80 4 420 故 l＝ ＝ 2－ r＝ r2 －r. πr2 3r 3 3 由于 l≥2r，因此 0<r≤2. 所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c 420 ＝2πr× r2 －r×3＋4πr2c， 3 160π 2 因此 y＝4π(c－2)r ＋ r ，0<r≤2. 160π (2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－ 2 r 8πc－2 3 20 r － ＝ c－2，0<r≤2. r2 由于 c>3，所以 c－2>0.
2 (1)若 f(x)在 3，＋∞上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；
(2)当 0＜a＜2 时，f(x)在[1,4]上的最小值为－ 上的最大值．
16 ，求 f(x)在该区间 3
1 1 (1)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－22＋ ＋2a. 4 2 2 2 2 ，＋ ∞ 当 x∈ 3 时，f′(x)的最大值为 f′ 3 ＝ ＋2a.令 ＋2a＞0，得 a 9 9 1 ＞－ . 9 2 1 所以当 a＞－ 时，f(x)在3，＋∞上存在单调递增区间． 9 2 1 . ，＋ ∞ － ，＋ ∞ 即 f(x)在 3 上存在单调递增区间时， a 的取值范围为 9
定积分
[例 3] (1)(2011 年高考课标全国卷)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y ) 16 C. 3 D．6
轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 B． 4
[自主解答]
[答案] C
4 x (2)(2011 年高考福建卷) (e ＋2x)dx 等于(
0
)
A．1 C．e
B．e－1 D．e＋1
第五讲
导数及其应用
导数的几何意义
[自主解答]
[答案] A
x (2)曲线 y＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( x＋2 A．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 B．y＝2x－1 D．y＝－2x－2
)
[自主解答] 易知点(－1，－1)在曲线上，且 x＋2－x 2 y′＝ ＝ ， x＋22 x＋22 2 ∴切线斜率 k＝y′|x＝－1＝ ＝2. 1 由点斜式得切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
π A.0，4 π π B.4 ，2
)
3π D. 4 ，π
π 3π C.2， 4
－4ex 4 [自主解答] ∵y＝ x ，∴y′＝ x . e ＋1 e ＋12 令 ex＋1＝t，则 ex＝t－1 且 t>1，∴y′＝ 1 再令 t ＝m，则 0<m<1，
＝－2e
－2x
，
2 2 如图， ∵y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点坐标为3，3， y＝－2x＋2 与 x
轴的交点坐标为(1,0)， 1 2 1 ∴S＝ ×1× ＝ . 2 3 3
[答案] A
4 (4)(2010 年高考辽宁卷)已知点 P 在曲线 y＝ x 上， α 为曲线在点 P 处 e ＋1 的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是(