初中费马点定理证明过程

初中费马点定理证明过程
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马尔可夫费马点定理是一个古老而有趣的定理，它说：“在正n
边形中，定点A1到A2，A2到A3......An-1到An，An到A1摆放n个
数字1，2....n。

如果不论如何把这些数字摆放，这任何每个外角的数之和都与所有n个数的乘积相等。

它是德国数学家费马发现的一种几
何现象，他的名字就是维护这个定理的。

证明费马点定理，可以从简单的形式出发，如n=3,假设有ABC三个定点，在每个顶点上摆放1，2，3这三个数字，那么外角的数相加
的和是6，而这三个顶点所摆放的数字的乘积是6，证明定理成立。

接下来我们要证明，在多边形，如正六边形中，定点A1到A2，
A2到A3......An-1到An，An到A1摆放n个数字1，2....n，不论如
何把这些数字摆放，每个外角的数之和都与所有n个数的乘积相等。

首先，我们将每个顶点上的数字记为x1，x2，x3......xn，那么外角的算术和S1=x1+x2+...+xn，而数字的乘积P1=x1*x2*....*xn；
另外，我们分别讨论以A1，A2……An为顶点分别作外角的情形，以A1为标准，角x1作外角，S1-x1=x2+x3+..+xn(1)，
P1/x1=x2*x3*...*xn(2)，由于(1)=(2)，则外角A1的数字和等于该点
摆放的数字的乘积。

接着以A2为标准，角x2作外角，S1-x2=x1+x3+x4+....+xn(3)，
P1/x2=x1*x3*..*xn(4)，由于(3)=(4)，则外角A2的数字和等于该点
摆放的数字的乘积。

以此类推，可以发现，当以任一顶点为标准，外角的数字和等于
其他数字的乘积，因此，在任意n多边形中，任意定点摆放n个数字，每个外角的数字和等于所有数字的乘积，即为费马点定理。

以上便是费马点定理的证明过程。

费马点定理虽然简单，但却深
刻地解释了多边形的特殊结构。

它的发现使数学又发展了一步，也深
深启发了后世的数学家们。