空间距离

空间距离
1．点与点的距离：两点间 的长． 2．点与线的距离：点到直线的 的长． 3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．
4．点与面的距离：点到平面的 的长．
5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．
6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．
7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长．
例1. 已知正六边形ABCDEF 的边长为a ，PA ⊥平面AC ，PA ＝a ．求： ⑴ P 到直线BC 的距离； ⑵ P 到直线CD 的距离． 答案：(1)
a 2
7 (2) 2a
变式训练1： 已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离相 等．求证：存在△ABC 的一条中位线平行α或在α内． 提示：分A 、B 、C 在α的同侧与异侧讨论
例2．如图， 直线l 上有两定点A 、B ， 线段AC ⊥l ，BD ⊥l ， AC ＝BD ＝a ，且AC 与BD 成120°角，求AB 与CD 间的距离．
解：在面ABC 内过B 作BE ⊥l 于B ，且BE ＝AC ，
则ABEC 为矩形．
∴AB ∥CE ，∴AB ∥平面CDE ．
则AB 与CD 的距离即为B 到DE 的距离．
过B 作BF ⊥DE 于F ，易求得BF ＝a 2
1，∴AB 与CD 的距离为a 2
1．
变式训练2：ABCD 是边长为a 的正方形，M 、N 分别为DA 、BC 边上的点，且MN ∥AB
交AC 于O 点，沿MN 折成直二面角． ⑴ 求证：不论MN 怎样平行移动(AB ∥MN)，∠AOC 的大小不变；
⑵ 当MN 在怎样的位置时，点M 到平面ACD 的距离最大？
并求出这个最大值．
解(1) 120°； (2) 当且仅当MA ＝MD 时，点M 到平面ACD 的距离最大，最大值为4
2
a ．
设MD ＝x ，M 到AD 的距离h 即是M 到平面ACD 的距离： h ＝
2
2)()(x a x x a x -+-≤
)
(2)(x a x x a x --＝
2
)(x a x -≤
4
2
a(当x ＝2a 时两不等式同取等号)
A C
B
D l A N
M B O D C
F
C
D
E
G
B A 北
南 30
30° 30°
例3. 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离． 解：连结AC 、BD 、AC∩BD ＝0， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
∴EF ∥BD ， ∴B 到平面EFG 的距离即0到平面EFG 的距离，AC∩EF ＝K ，连结KG ， ∵EF ⊥KC ，∴EF ⊥平面KGC ，过O 作OH ⊥KG 于H ，则OH ⊥平面EFG ， ∴OH 即为O 到平面EFG 的距离，KC ＝4
3AC ＝3
2
，KG ＝22，OK ＝
4
1AC ＝2
，由
Rt △OHK ∽Rt △CKG 得OH ＝
11
11
2． 变式训练3：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，Ｅ、F 分别是BB 1、CD 的中点.
⑴ 求证：AD ⊥D 1F ；
⑵ 求证：AE 与D 1F 所成的角； ⑶ 求点F 到平面A 1D 1E 的距离． 答案：(1) 略 (2) 90° (3)将F 移至AB 中点研究
a 10
5
3
． 例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为1007千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度. 解：如图A 、C 分别是汽车、飞机开始时的位置，
B 、D 分别是经过36秒后的位置，ABEF 是水平面，
CFED 是矩形，且CD ＝3600
36
×1007＝7(千米)，
AB ＝
3600
36
×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x 千米，在Rt △CFA 中，AF ＝3x ；在Rt △DEB 中，BE ＝3x. 作EG ⊥AB 于G ，EH ⊥AF 于H ，则EG ＝AH ＝2
3
x ，EH ＝AG ＝1＋x 2
3
，FH ＝
23x. 在Rt △FHE 中，EF 2＝FH 2＋EH 2，即(7)2＝(2
3x) 2＋(1＋x 2
3)2
，∴ x ＝1. 故飞机飞行的高度为1千米． 变式训练4：如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． （1）若点D 到平面ABC 的距离不小于3，求二面角A —BC —D 的取值范围； （2）当二面角A —BC —D 的平面角为3
π时，求点C 到平面ABD 的距离．
解(1)]3
2
,3[
ππ(提示：D 到平面ABC 的距离d ∈[3，32] ) (2)取BC 中点E ，连结EA 、ED ，则∠AED ＝
3
π A E B
C G D
F Ａ
B
C
D Ａ
C 1
D 1
B 1 E F A
B
D
C
∴AD ＝AE ＝32 ∵34)32(4
3
431312=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆-AED BCD A S BC V 又3913322
1
=⨯⨯=
∆A B D
S
，设C 到平面ABD 的距离为h ． 则13
13
123
4393
1=
∴=⋅⋅h h
1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离． 2、求点到平面的距离的方法：
⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质． ⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.
(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距. 3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.。