高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法构造法

2012高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法（构造法）
总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具解、裂项相消等常见放缩法来解决。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须掌握，所以要先看这些方法。

其他的方法，如果有精力的话可以了解一下。

如果真的掌握不了也足以应付高考。

一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n
k 常用放缩技巧
(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
r r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++⨯+
⨯++<+n n n n (5)
n
n n
n
2
1121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)
n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)
2
1
2121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
(11)
)2(1
21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211
12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n
(12) 1
11)1(1)1(1)1)(1(111
2
3
--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=+-<
⋅=
n n n n n n n n n n n n
1
1112111111
+--<-++⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n
(13) 3
212132122)12(332)13(2221n n n
n n n n n n <-⇒
>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+
(14)
!
)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-
+=+++++k k k k k k (15) )2(1)
1(1
≥--<+n n n n n
(15)
11
1)
11)((112
2
2
22
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i
例2.(1)求证:)2()12(2167)
12(1513112
22≥-->-++++n n n (2)求证:n
n 412141361161412
-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
(4) 求证：)112(213
12
11)11(2-+<++++<-+n n
n
解析:(1)因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)
12(12
n n n n n ,所以 )
1
2131(211)12131(211)
12(1
1
2
--+>+-+>-∑=n n i n
i
(2))111(41)1211(4141361161412
22n
n n -+<+++=++++
(3)先运用分式放缩法证明出1
212642)12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n ,再结合
n
n n -+<+22
1进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先n
n n n n
++=
-+>12)1(21
,所以容易经过裂项得到
n
n 13
12
11)11(2+
++
+
<-+
再证
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
)112(213
12
11-+<+
++
+
n n
例3.求证:
3
5
191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<
121121
2144
41
11
2
22
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k 另一方面:1
111)1(143132111914112
+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)
12)(1(61
++>
+n n n n n
,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,
当2=n 时,
21
91411)12)(1(6n
n n n ++++<++ ,所以综上有
3
5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
例4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b
-≥.证明:1k a b +>.
解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则
b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知
0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a
1
11
ln ln ,因为)ln (ln 11
b a k a a k
m m m <∑=,
于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111
例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .
解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(
∑
=++++++++--=-++---+--=n
k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证
1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:
∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n
k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1
11111111111
1
11])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证
∑∑∑=++==++-+<+<--n
k m m n k m n k m m k k k m k k 1
111
1
11])1[()1(])1([,即等价于
m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k
k m k k m
而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n
n n
a a a T +++=
212,求证:23321<++++n
T T T T .
解析:)21(2)14(3
421)21(241)41(4)222(444421321n n n
n n n n
T -+-=-----=+++-++++=
所以
123)2(222322342323
23422234342)21(2)14(3422
111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n n
n n n n n n n n n n n n
n T
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=
+12112123)12)(122(2231n n n
n n 从而2
31211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n
T T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==)
,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n
,求证:
*))(11(21
1
1
4
1
224
544
3
2N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+
⋅+
证明:
n
n
n n n n x x n n 222141
141
)
12)(12(1
1
4
2
4
24
4
1
22=
⋅=>
-=
+-=
+,因为 12++<n n n ,所以)
1(21
2
221
4
1
22n n n n n
x x n n -+=++>
>
+
所以
*)
)(11(21
1
14
1
224
5
44
3
2N n n x x x x x x n n ∈-+>+
+⋅+
⋅+
二、函数放缩
例8.求证：)(6
65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n
∈+-<++++ .
解析:先构造函数有x
x
x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)3
13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n
n n n +++--<++++
因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+
++n n n n 3112121
9181716151413121313
1
21
6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---
所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n
n
例9.求证:(1))2()
1(212ln 33ln 22ln ,22
≥+--<+++≥n n n n n n α
αααααα
解析:构造函数
x
x x f ln )(=
,得到22ln ln n n n n ≤αα
,再进行裂项)1(1111ln 2
22
+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案
解析:构造函数后即可证明
例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n
解析:
1
)1(3
2]1)1(ln[++-
>++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4
)1(1ln 54ln 43ln 3
2
ln >∈-<+++++
n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:
1
2111)('--=--=
x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,
所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2
11
ln -≤
+n n n
,所以)1*,(4
)1(1ln 54ln 43ln 32
ln >∈-<+++++
n N n n n n n
例14. 已知112111,(1).2
n n n
a a a n n
+==+++证明2n a e <.
解析:
n
n n n n a n n a n n a )21)1(11(2
1))1(11(1+++<+++
=+, 然后两边取自然对数,可以得到
n
n n a n n a ln )2
1
)1(11ln(ln 1++++
<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：
⇒+++
≤+n n
n a n n a )21
11(2
1⇒++++
≤+n n n a n n a ln )2
1
11ln(ln 2
1
n
n n n a 2
1
1ln 2
+++
≤。

于是
n
n n n n a a 2
1
1ln ln 2
1++≤
-+，
.
221122
11)21
(111ln ln )2
11()ln (ln 1
1211
11
1
<--=--+
-≤-⇒++≤---=+-=∑
∑
n n n i n i i i n i n n a a i i a a
即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-
注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩：
⇒-+-+
≤+)
1(1
))1(11(1n n a n n a n n ⇒
+-+
≤++)1)()
1(1
1(11n n a n n a
.)1(1
))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+
≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21
2
112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立. (I)求证：函数
),0()
()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数；
(II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 2
1
*22
222222
N n n n n n n ∈++>++++++
解析:(I)0)()(')('2
>-=
x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x
x f x g 上是增函数 (II)因为
),0()
()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212
111
2
1211
1x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<
⇒++< )()()()(212
122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++<
两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3)
)()()()(21211
1212111n n
n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< )()()()(212122212122n n
n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< …… )()()()(21212121n n
n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++<
相加后可以得到:
)()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++
所以)
l n ()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令2
)1(1
n x n +=
,有
<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++22
22222)1(13121ln )1(1413121n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<n n n )1(12
31121ln )1(1312122
2 )2)(1(2212111++-
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<n n n n n 所以).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 2
1
*22
222222
N n n n n
n n ∈++>++++++
(方法二)⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>
++2111
4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22
2
n n n n n n n n n 所以)
2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2
1
22222222
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++
n n n n n 又1
114ln +>>n ,所以
).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22
222222N n n n n
n n ∈++>++++++
例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥
++>>证明
解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =
+->
.
2
021,0)(,ln
1)ln(1ln )(.
0),ln()(ln )(,
ln )(k x k
x k k x x k x x g x
k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <<⇒>--⇒>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令
∴函数k
k
x g ,2
[)(在）上单调递增，在
]2
,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为
)2(k g ，即总有).2
()(k g x g ≥
而,2ln )()2ln (ln 2
ln )2
()2
()2
(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+=
,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k +=
.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴
).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴
三、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1
21
1()5
11)(3
11)(11(+>-+
+++n n 和 1
21)21
1()611)(411)(211(+<
+---n n
也可以表示成为
1
2)
12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n
和1
212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n
解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m
a m
b a
b 可得
>-⋅⋅1
22563412n n
=+⋅⋅n
n 2126
74523 )12(2126
54321+⋅-⋅⋅n n
n
⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1
21
1()5
11)(311)(11(+>-+
+++n n 例20.证明:.13)2
311()711)(411)(11(3+>-+++
+n n 解析: 运用两次次分式放缩:
1
338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)
n
n n n 3139
1067.342
3137
84512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)
相乘,可以得到:
)13(1323875421131381057.2423137
845122
+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2
311()711)(411)(11(3+>-++++n n
四、分类放缩
例21.求证:2
1213
12
11n
n
>-+
+++ 解析: +++++++++>-+
+++ )2
1
212121()4141(2111213
12113333n
2)211(221)212121(
n n n
n n n n >
-+=-+++
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n
A 与曲线x y 2=
（x ≥0）上的点
列{}n B 满足n
OB OA n
n 1==，直线
n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n .
(1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >∀都有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++ <2008-n .
解析:(1)
依题设有：(()10,,,0n n n
n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，由1n OB n =得：
2*212,1,n n n b b b n N n +=
∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足
(
)()
11000n n a b n n ⎫⎛⎫
-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭
n a 2222
1210,2n n n n
n b n b b n b =->+=
(
2
211212n n n n n b a b n b n b +∴=+-
1n a 显然，对于1
101
n
n >
>+，有*14,n n a a n N +>>∈
(2)证明：设
*1
1,n n n
b c n N b +=-
∈，则
(
)
()()22222
111211212
121n c n n n n n n n ⎛- +⎝⎛⎫ ⎪++ > ++ ⎝()()()
2
*1
212210,,2
n n n n n c n N n ++-+=>∴>
∈+ 设*12,n n S c c c n N =++
+∈，则当()
*221k n k N =->∈时，
2311111111
11
1342123421221
2n k k k k
S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++
+
+=++++
+++
⎪ ⎪
⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2123111122222
22
k k k -->⋅
+⋅++⋅
=。

所以，取4009022n =-，对0n n ∀>都有：
200821
4017111012312=->>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n S S b b b b b b 故有n
n n n b b b b b b b b 112312+-++++ <2008-n 成立。

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3
N n n
n f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并
证明你的结论。

解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵n
n
n n n
n f b n 12)(3
23>+==
∴n b b b b T n n 131211321++++>++++= ,∵214124131=⨯>+,218148
1716151=⨯>+++, (212122122112)
111
1=⨯>++++
+---k k k k k ,故当k n 2>时,12
+>k
T n ,
因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当222->m n 时,必有A m m T n
>=+->12
22.
故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤>>n nx y y x 3,
0,
0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数为n a .设
n
n n n a a a S 22
1
111+
++
=
++ ,
当2≥n 时,求证:3611711112321+≥++++n a a a a n .
解析:容易得到n a n 3=,所以,要证
36
11711112321+≥++++n a a a a n 只要证12
11721312112+≥++++
=n S n n
,因为
n n n n S 2
1
221121()81716151()4131(211112++++++++++++++
=-- 12
117)1(12723211121222+=-+≥+++++
=-n n T T T n ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411
=++=
+x x x x
n n n ,求证:当2≥n 时,n n
i i x -=-≤-∑11
22|2| 解析:通过迭代的方法得到1
212-≤-n n
x ,然后相加就可以得到结论
例26. 设n
n n S 2
!sin 2
!2sin 2
!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1
n
解析:
|2)sin(2)!2sin(2)!1sin(|
||2
1k
n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k
n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2
12
12
1|2
)sin(||2
)!2sin(||2
)!1sin(|2121
n
k n k n 2
1)2
11(2
1)2
12
12
1(2
12<-⋅=+++= 又n C C C n n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以n
S S
n n k
n 121||<
<
-+
六、借助数列递推关系
例27.求证:1222642)12(5316
425314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
解析: 设n
n a n
2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则
n n n n n a na a n a n n a +=+⇒++=
++2)1(2)
1(21
211,从而
n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到
1
2
21)22(13
21)1(22)1(21121-+⋅
+<-+⋅
+<-+=++++n n n n a a n a a a n n
所以1222642)12(5316
425314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
例28. 求证:1122642)12(5316
425314
2312
1-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
解析: 设n
n a n
2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则
1
11)12(]1)1(2[)
1(212+++++=++⇒++=
n n n n n a a n a n a n n a ,从而
n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到
1122
3
1
21)12(3)12(1121-+<-
+⋅
+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(21
11
21
-+≥+++
n a a a n
解析:
n
n n n n n n a a a a a n a a -=⇒
+⋅=+=⋅+++++21
112112
所以就有21221
111
211211
21
-+=-≥--++=+++
++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论
例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数
4>m ，有
8
711154<
+++m a a a 解析:容易得到
[]
.)1(23
212---+=
n n n a ,
由于通项中含有n
)1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当3≥n
且n 为奇数时1
2222223)121121(2311
2
13
21
2121--++⋅=-++=+
-------+n n n n n n n n n
a a )
2
121(232
2
2
2
3123
21
2
-----+⋅=
+⋅<n n n n n （减项放缩），于是 ①当4>
m 且m 为偶数时
=
+++m
a a a 11154 )11()11(11654m m a a a a a +++++- .878321)2
11(412321)212121(23214243=+<-⋅⋅+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时<+++
m a a a 1
11
54
1
541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知
.
8
71111154<+++++m m a a a a 由①②得证。

八、线性规划型放缩
例31. 设函数2
21()2
x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。

解析:由
22
22
1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=
+知
1
(())((1)1)0
2
f x f +-≤ 即
1
()12
f x -≤≤
由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12
-
，最大值为1
因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133233a b a b ⎧-≤-+≤⎪
⎨
⎪-≤+≤⎩
即a ，b 满足约束条件3
3
1
321
32
a b a b a b a b +≥-⎧⎪+≤⎪⎪⎨-+≥-⎪⎪-+≤⎪⎩，
由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩
例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2
)1(2
)
1(2+<
<+n S
n n n
解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=
2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)
2
1(1
1
∑∑==+<<∴n
k n
n
k k S k ， 即.2
)1(22)1(2
)
1(2
+<++<
<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2
b
a a
b +≤
，若放成1)1(+<+k k k 则得
2)1(2)3)(1()1(21
+>
++=+<∑=n n n k S n
k n ，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n
a a n
a a a a a a n n
n
n n n
2
211111
1++≤++≤
≤++
其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例33.已知函数bx a x f 211)(⋅+=
，若5
4)1(=
f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 解析: )2211()()1()0(2
21141114
14
)(⨯->++⇒≠∙->+-
=+=n f f x x f x
x x
x
.21
2
1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-
++-n n n
n n 例34.已知b a ,为正数，且1
1
1=+
b
a
，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .
解析: 由111=+b
a 得
b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而
n
n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则
)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为i n n
i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111
111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ，
而12
1
1
1
1
2422+------=⋅≥≥+==+==+n n
n
n n n r
n r r r
n n n b a b a
ab
b
a b a
ab
b a
，
则)(2n f
=))(22())((1
1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ⋅
-≥)22
(n
12+n ，所以)(n f ⋅-≥)22(n n 2，即对
每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .
例35.求证),1(2
2
1
321N n n n C C C C n n n
n n n ∈>⋅>++++-
解析: 不等式左=++++n n
n
n
n
C C C C 3211
2
2
22112-++++=-n n
n n n 1
22
221-⋅⋅⋅⋅⋅> =2
12
-⋅n n ，
原结论成立.
例36.已知x
x e e x f -+=)(,求证:2
1
)1()()3()2()1(n n e
n f f f f +>⋅⋅⋅⋅+
解析:
11)1()1()()(212112212
1221121+>⋅+++=+⋅+
=⋅++x x x x x x x x x x x x x x e e
e e e e e e e e e e x
f x f
经过倒序相乘,就可以得到2
1
)1()()3()2()1(n
n e n f f f f +>⋅⋅⋅⋅+
例37.已知x
x x f 1)(+=,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>⋅⋅⋅⋅
解析:
2
)12(2)
12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+⇒≥--=--+⋅ 所以22)121
12)(1(+≥-++
-++n k
n k n k
k
从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>⋅⋅⋅⋅ ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>⋅⋅⋅⋅ . 例38.若7>k ,求证:2
3
1121111>-++++++=nk n n n
S n
.
解析:)1
11()3121()2111()111(2n
nk nk n nk n nk n
S n
+-++-+++-+++-+= 因为当0,0>>y x 时,xy
y
x
xy y x 211,2≥+≥+,所以
4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥
+411,当且仅当y x =时取到等号. 所以1
)1(414324214142-+-=
-+++-+++-+++-+>
nk n k n nk n nk n nk n nk n S n
所以
231421)1(211)1(2>
+-=+->-+->k k k n
k k S n 所以
2
31121111>-++++++=
nk n n n S n 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16
)1()0(2a f f ≤
⋅. 解析:16
)]1()][1([)1()0(2
2
2112a x x x x a f f ≤--=⋅.
例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时,
求证: [f’(x )]n －2n －
1·f’(x n )≥2n (2n －2).
解析: 由已知得)0(22)(>+='x x
x x f ，
(1)当n =1时，左式=22(2)(2)0x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立.
(2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n
n n n n n n x
x x x x f x f +⋅-+='⋅-'--
).11(221424221------++++=n n n
n n n n n n n n x C x C x C x C
令12242
14
2
11n n n n n
n
n
n
n n S C x C x C C x
x
------=++
++
由倒序相加法得：
)1()1()1(222
1442221-------++++++=n n n n n n n n n n x x
C x
x C x
x C S
)22(2)(21
21-=+++≥-n n n n n C C C ，
所以).22(-≥n S
所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'⋅-'-n n n n n x f x f 综上，当k 是奇数，N n +
∈时，命题成立
例41. （2007年东北三校）已知函数)1()(>-=a x a x f x （1）求函数
)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围；
（2）令)1()2()1()('
1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：)2
()22()('n f n S n ⋅->
e
a a a a a x x x e a a e
a a a a x f a
a
a f x f a a x f a x x f a x a a a a a x f a a x f 1
min min ''
''11
ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(,
ln log ,0)(ln log 1,ln 1,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<
∴-<<+<+=
-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由
所以不等式成立。

),
2
()22()1ln )(22()
22(ln )22()22(ln )]()()([2
1)(ln )()
1ln ()1ln ()1ln ()()2('2211
222111
211122111
221n
f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n
n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=---------
★例42. (2008年江西高考试题)已知函数(
)f x ()0x ,∈+∞.对任意正数a ,证明：()12f x <<．
解析:对任意给定的0a >,0x >,
由
()f x ,
若令 8b ax
=，则 8abx =① ,而
(
)f x
（一）、先证()1f x >
11x +
11a
+
11b +， 又由
28a b x +++≥ ，得 6a b x ++≥． 所以(
)
111
111f x x a b
>+++++32()()(1)(1)(1)
a b x ab ax bx x a b ++++++=
+++
9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥
+++1()()1(1)(1)(1)
a b x ab ax bx abx
x a b +++++++==+++．
（二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤ （ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为
1<，
1，此时(
)
2f x ．
（ⅱ）、当7a b +<③，由①得 ,8x ab =
因为 222
1
1[1]114(1)2(1)b b b b
b b b <-
+=-++++ 所以
12(1)b b -
+④
同理得
12(1)a a -
+⑤ ，于是
(
)12211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝⑥
今证明
11a b a b
+>++, 因为
11a b a b +≥++， 只要证
(1)(1)8
a b a b a b a b >
+++，即
8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <．
综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．
例43.求证:2
1
31
2
11
11<++++++<n n n
解析:一方面:14
2
214131211312111=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥++++++n n n (法二)⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅=+++++
+11131
312113111211312111
n n n n n n n n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++++++⋅=
)13)(1(2
4)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n ()1)12()12()12(1)1()12(1)12(11222222
222=++>⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+++--++-+⋅+=n n n n n n n n n 另一方面:2
1
221121
31
2
11
1=++<++<
++++++n n n n n n n 十、二项放缩
n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121
0+=+≥n C C n n n ,
2
222
210++=++≥n n C C C n
n n n )2)(1(2≥->n n n n
例44. 已知112
11
1,(1).2
n n n a a a n n +==+
++证明2n a e < 解析: ⇒-+-+
≤+)1(1))1(11(1
n n a n n a n n ⇒+-+≤++)1)()
1(11(11n n a n n a .)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n 1
1
1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212
112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+
例45.设
n
n n
a )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n
a
解析: 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++（证略）
整理上式得].)1[(1nb a n b a n n -+>+（⊗）
以n
b n a 11,1
11+=++=代入（⊗）式得>+++1)111(n n .)11(n n
+
即}{n a 单调递增。

以
n
b a 211,1+
==代入（⊗）式得.4)21
1(21)211(12<+⇒⋅+
>n n n
n 此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有
4
)1
1(<+n n
，又因为数列}{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有
4)1
1(<+n n。

注：①上述不等式可加强为.3)11(2<+≤n n
简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：.1111)11(221n
n n
n n n n n C n C n C n a ++⋅+⋅+=+=
只取前两项有.2111=⋅+≥n
C a n
n 对通项作如下放缩：
.
212211!111!111-=⋅≤<+-⋅-⋅⋅=k k k n k n k n n
n n n k n C 故有.32/11)2/1(1212212121111
1
2<--⋅+=+++++<--n n n
a
②上述数列}{n a 的极限存在，为无理数e ；同时是下述试题的背景：
已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（1）证明i
n
i i m i A m A n <；（2）证明.)1()1(m
n n m +>+（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用n /1代替n 得数列n
n n n b b 1
)1(:}{+=是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列})1{(1n
n +递减，且,1n m i <≤<故,)1()1(1
1
n m
n m +>+即m n
n m )1()
1(+>+。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。

例46.已知a +b =1,a >0,b >0,求证：.12n n n b a -≥+
解析: 因为a +b =1,a >0,b >0,可认为b a ,21,成等差数列，设d b d a +=-=2
1,21
，
从而
n
n
n
n
n
d d b a -≥⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+122121 例47.设N n n ∈>,1，求证)
2)(1(8)32(++<n n n . 解析: 观察n )32(的结构，注意到n
n
)2
11()23(+=，展开得 86)2)(1(8)1(212
121211)211(33221+++=
-++≥+⋅+⋅+⋅+=+n n n n n C C C n n n n ， 即8
)2)(1()2
11(++>+n n n ，得证.
例48.求证:n
n
n
2ln )211ln(2ln 3ln <+≤-.
解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，满足： ①对任意*,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+； ②对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =.
（I ）试证明：)(x f 为*
N 上的单调增函数； （II ）求)28()6()1(f f f ++； （III ）令*(3),n n a f n =∈N ，试证明：.
12
11
11424
n n n a a a +++
<+≤ 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为)()()()(a bf b af b bf a af +>+,所以可以得到0)()()()(>---b f b a a f b a ,
也就是0))()()((>--b f a f b a ,不妨设b a >,所以,可以得到)()(b f a f >,也就是说)(x f 为*
N 上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知0))()()((>--b f a f b a ,令)1(,1f a b ==,则可以得到
0))1())1(()(1)((>--f f f x f ,又3))1((=f f ,所以由不等式可以得到3)1(1<<f ,又 *)1(N f ∈,所以可以得到2)1(=f ①
接下来要运用迭代的思想:
因为2)1(=f ,所以3)]1([)2(==f f f ,6)]2([)3(==f f f ,9)]3([)6(==f f f ② 18)]6([)9(==f f f ,27)]9([)18(==f f f ,54)]18([)27(==f f f ,81)]27([)54(==f f f 在此比较有技巧的方法就是:
2754275481-==-,所以可以判断55)28(=f ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有)28()6()1(f f f ++=662955=++ (3)在解决}{n a 的通项公式时也会遇到困难.
n n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=⇒===+++,所以数列*(3),n n a f n =∈N 的方程为n n a 32⋅=,从而
)3
11(4111121n n a a a -=+++ , 一方面4
1)311(41<-n
,另一方面1222)21(311
00+=⋅+⋅≥+=n C C n n n n
所以2
412241)1211(41)311(41+=+⋅=+-≥-n n n n n n ,所以,综上有 12
1111424
n n n a a a +++
<+≤. 例49. 已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥，且()14f =； ② 若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1212() 3.f x x f x f x +≥+- （Ⅰ）求f (0)的值； （Ⅱ）求证：f (x )≤4； （Ⅲ）当
1
11
(
,](1,2,3,)33n n x n -∈=⋅⋅⋅时，试证明：()33f x x <+.
解析: （Ⅰ）解：令120x x ==，
由①对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴(0)3f ≥
又由②得
(0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤
∴(0) 3.f =
（Ⅱ）解：任取12,[0,1],x x ∈且设1
2,x x <
则2121121()[()]()()3,f x f x x x f x f x x =+-≥+-- 因为210x x ->，所以21()3f x x -≥，即21()30,f x x --≥ ∴12()()f x f x ≤.
∴当x ∈[0,1]时，()(1)4f x f ≤=.
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：11
11()3(*)33n n f n N --≤+∈
（1） 当n=1时，0011()(1)413333f f ===+=+，不等式成立；
（2）
假设当n=k 时，1
111
(
)3(*)33
k k f k N --≤+∈ 由11111111()[()]()()33
3
3
3
3
3
3
k k k k k k k
f f f f -=++≥++-
111()()()63
3
3
k k k
f f f ≥++- 得11
1113()()69.3
3
3
k k k f f --≤+≤+ 即当n=k+1时，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式11
11()33
3
n n f --≤+对一切正整数都成立.
于是，当111(,](1,2,3,)33
n n x n -∈=⋅⋅⋅时，11
11133333()3
3
3
n n n x f --+>⨯+=+≥，
而x ∈[0,1]，()f x 单调递增
∴111()()3
3
n n f f -< 所以，1
1()()3 3.3
n f x f x -<<+
例50. 已知：121,0n i a a a a +++=> )2,1(n i =
求证：222
21121223
1112
n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++>++++ 解析:构造对偶式：令1
2121
322
22121a a a a a a a a a a a a A n n n n n ++
++++++=
-- 1
21123223212
2a a a a a a a a a a a a B n n n n ++
++++++=
- 则1
2121221322322212
221a a a a a a a a a a a a a a a a B A n n n n n n +-++-+++-++-=---
＝B A a a a a a a a a n n n =∴=-+-++-+--,0)()()()(113221
又 )(2
12
2j i j
i j
i a a a a a a +≥
+- （)2,1,n j i = 1
2121221322322212
221)(21)(21a a a a a a a a a a a a a a a a B A A n n n n n
n +-+
+-+++-++-=+=∴-- []2
1)()()()(411
13221=++++++++≥-a a a a a a a a n n n
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在[],a b 上的可积函数()()0f x ≥≤，则()()0b a
f x dx ≥≤⎰
.
例51.求证：e e ππ<.
解析: ln ln e e e e ππππ<⇔<，∵ln ln ln ln e e
e x x d e x x π
πππ⎡⎤⎛⎫-== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰21ln e x dx x π-=⎰，
(),x e π∈时，2
1ln 0x x
-<，
2
1
ln 0e
x dx x
π
-<⎰
， ∴ln ln
e e
ππ<，e e ππ<.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证：
)
121n
+
>，()1,n n N >∈.
解析: 考虑函数
(
)f x [],1i i +()1,2,3,,i n =上的定积分.
11i i
+>⎰
-
①
对i
求和，
11
1n
n i i i i
+==>∑⎰11
n +=⎰ 1
1
n +⎡=⎣)
21=.
例53. 已知,4n N n ∈≥.求证：11117
123210
n n n n +++
+
<+++. 解析:考虑函数()11f x x =+在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
()1,2,3,
,i n =上的定积分.
∵
1
n i
+111i
n n
=⋅+11
1i n i n
dx x
-<+⎰
-②。