常见函数知识点高中总结

常见函数知识点高中总结
一、函数的概念
函数是一种特殊的关系。

设A和B是两个非空集合。

如果存在一个从A到B的对应关系f，使得对于A中的每一个元素a，都有一个确定的元素b与其对应，则称f为从A到B的函数，记作f:A→B。

其中，A称为定义域，B称为值域，对于任意的b∈B，存在唯一的a∈A，使得f(a)=b，这时函数f将a映射为b.
二、函数的分类
1、一元函数和多元函数
如果定义域是一个有序实数对（x,y）的集合，对于每个x都对应唯一的y，则称这种关系
为二元函数。

一般情况下，我们所讨论的函数都是这种二元函数的特殊情况，即y=f(x)，
这种函数称为一元函数。

多元函数则是指定义域是由有序实数n元数组构成的集合的函数。

2、显函数和隐函数
如果y=f(x)的形式中y是x的函数，且可以直接由x表示，则称y是x的显函数。

如果关于自变量x和因变量y之间的函数关系不能通过y=f(x)的形式明确表示出来，则称
这种函数为隐函数。

3、反函数
如果函数y=f(x)是一一对应的，则由y=f(x)定义的函数f(x)在x的定义域上存在反函数。

f(x)的反函数记作f^(-1)(y)，y=f^(-1)(x)。

4、复合函数
设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，其中u是一个中间变量，那么y=f(g(x))称为复合函数。

三、常见函数及其性质
1、基本初等函数
（1）多项式函数
多项式函数的定义域是所有的实数，表示形式为f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0。

其中a_n,a_(n-1),...a_0是实数，n是自然数。

多项式函数的图像是一条光滑的曲线，可以
表示为一些简单的曲线图形。

（2）指数函数
当a>0且a≠1时，形如y=a^x的函数称为指数函数。

指数函数的定义域是所有的实数，值域是(0,+∞)。

指数函数的图像是一条上凸的曲线，其特点是当x增大时，y增大；当x 减小时，y减小。

（3）对数函数
当a>0且a≠1时，形如y=log_a x的函数称为对数函数。

对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是所有的实数。

对数函数的图像是一条上凹的曲线，在x轴的左侧部分。

特点是当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

（4）三角函数
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

它们具有周期性和奇偶性，图像为一条波浪型曲线。

2、其他常见函数
（1）分段函数
分段函数是指在自变量的不同区间上有不同的函数表达式。

常见的分段函数包括绝对值函数、取整函数等。

（2）有理函数
有理函数是指由多项式函数和分式函数通过四则运算构成的函数。

（3）双曲函数
双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数等。

（4）反三角函数
反三角函数是指反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

四、函数的性质
1、奇偶性
对于函数f(x)，如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。

2、周期性
对于函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意的x∈Df都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为其周期。

3、有界性
如果函数f(x)满足存在实数M>0，对于其定义域内的任何x有|f(x)|≤M，则称f(x)在其定义域内有界。

4、单调性
对于函数f(x)，如果有x_1<x_2，则f(x_1)≤f(x_2)或f(x_1)≥f(x_2)，则称f(x)为在该区间上的单调递增函数或单调递减函数。

五、函数的运算
1、函数的加法、减法和数乘
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的和函数、差函数和数乘函数分别为h(x)=f(x)+g(x)，h(x)=f(x)-g(x)和h(x)=af(x)，其中a为实数。

2、函数的乘法和除法
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的乘积函数和商函数分别为h(x)=f(x)•g(x)和
h(x)=f(x)/g(x)，其中g(x)≠0。

3、函数的复合
设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，则它们的复合函数为y=f(g(x))。

六、函数的极限
1、函数的极限的概念
设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记为lim f(x)=L。

2、函数极限的性质
（1）函数的唯一性
函数的极限如果存在，那么它是唯一的。

（2）函数的局部性
如果函数的极限存在，则函数在该点的附近应该趋于极限值。

（3）函数的左极限和右极限
当函数在某一点x=a的左右两侧极限值相等时，称函数在该点有极限。

（4）夹逼定理
如果函数f(x)、g(x)、h(x)在开区间(a,b)上满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=L，则lim g(x)=L。

（5）无穷小
如果lim f(x)=0，则称f(x)为x趋于a时的无穷小。

（6）无穷大
如果lim f(x)=+∞或lim f(x)=-∞，则称f(x)为x趋于a时的无穷大。

七、导数及导数的应用
1、导数的概念
函数y=f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a)=lim [f(x)-f(a)]/(x-a)，如果导数存在，则称函数在该点可导。

2、导数的性质
（1）可导必定连续
如果函数在某点可导，则该点必连续。

（2）和差积商求导法则
设u(x)和v(x)是可导函数，c是常数，则有(u(x)±v(x))'=u'(x)±v'(x)，(cu(x))'=cu'(x)，(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，(u(x)/v(x))'=[v(x)u'(x)-u(x)v'(x)]/v^2(x)。

3、高阶导数
对于函数f(x)，如果它可导，则它的导数f'(x)也是一个函数，如果f'(x)可导，则f'(x)的导数f''(x)称为f(x)的二阶导数。

4、函数的凹凸性
（1）拐点
设函数f(x)在点x=a处存在导数，则如果f''(a)=0或f''(a)不存在，则称点x=a为函数f(x)的拐点。

（2）拐点的判断
如果函数f(x)在x=a的某一邻域内二阶导数f''(x)>0或f''(x)<0，则称x=a为函数f(x)的拐点。

5、微分学基本定理
微分学基本定理指出：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，则它在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。

以上就是高中常见函数知识点的总结。

希望对你的学习有所帮助。