高考数学高频考点归纳与分析_上_

例１ （１）已知 集 合 Ａ＝ ｛ｘ｜ｙ＝ 槡４－ｘ｝，
Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２＋１｝，则 Ａ∩Ｂ＝
．
（２）已知集合 Ａ＝｛１，３，ａ｝，集 合 Ｂ＝｛１，ａ２
－ａ＋１｝，若 ＢＡ，则ａ＝
．
解 析：（１）集 合 Ａ 表 示 的 是 函 数 ｙ ＝
槡４－ｘ的定义域，集 合 Ｂ 表 示 的 是 函 数ｙ＝ｘ２
０ 时 ，０２＋０２１＋１＝１，因 此 ④ 正 确 ．故 填 ③ ④ ．
考点 ８ 含 有 逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假
判断
判断含有逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假 时，应
首先判断组成这个命题的每个简单命题的真
假 ，然 后 根 据 真 值 表 判 断 这 个 命 题 的 真 假 ．对 于
认清集合的 本 质 特 征，准 确 地 转 化 为 图 形
关 系 ，是 解 决 集 合 运 算 中 的 重 要 数 学 思 想 ．一 定
要 牢 固 掌 握 两 个 重 要 工 具 ：韦 恩 图 和 数 轴 ，连 续
取 值 的 数 集 运 算 ，一 般 借 助 数 轴 处 理 ，而 列 举 法
表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理．
② 当 Ｂ≠ 时，有烅ｍ＋１≥－２， 解 得 ２
烆２ｍ－１≤５．
≤ｍ≤３．
综合（１）（２），得 ｍ 的取值范围是ｍ≤３．
考 点 ５ 集 合 的 交 汇 题 将集合问题 与 其 他 知 识 交 汇 命 题，既 可 以
考 查 集 合 知 识 ，又 可 以 考 查 相 关 问 题 ．
例５ 已知 Ω＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ≤６，ｘ≥０，ｙ ≥０｝，Ｈ＝ ｛（ｘ，ｙ）｜ｘ≤４，ｙ≥０，ｘ－２ｙ≥０｝，若 向区域 Ω 内随机投一点Ｐ，则点 Ｐ 落入区域 Ｈ 的 概 率 为 （ ）．
则｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝ 槡ａ２＋ｂ２ ，因 此 原 命 题 为 真，所
以逆否命题为真．当ｚ１ ＝２＋ｉ，ｚ２ ＝ －２＋ｉ时，
考点专题 ２ ３
满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜，此 时ｚ１，ｚ２ 不 是 共 轭 复 数，因 此原命题 的 逆 命 题 为 假，所 以 否 命 题 为 假．故
选 Ｂ．
考 点 ７ 全 称 命 题 、特 称 命 题 及 其 否 定
否定 是 “存 在 ｘ０ ∈Ｒ，有 ｘ２０ ＜０”，因 此 ① 错 误．
对于②，命题“存在ｘ０∈Ｒ，使 得 ｘ２０－ｘ０＞０”的
否定应是“任意ｘ∈Ｒ，均有ｘ２－ｘ≤０”，因 此 ②
错．对于③，任 意 ｘ∈ ［－１，２］，ｘ２ －２ｘ＝ （ｘ－
１）２－１∈［－１，３］，因 此 ③ 正 确．对 于 ④，当 ｘ＝
则ａ＝
，ｂ＝
．
解析：（１）Ｑ＝ ｛ｍ｜ｍｘ２ ＋４ｍｘ－４＜０ 对 任
意实数ｘ 恒成立｝，对 ｍ 分类：
①当 ｍ＝０时，－４＜０ 恒 成 立；② 当 ｍ＜０ 时，需要 Δ＝ （４ｍ）２ －４×ｍ× （－４）＜０，解 得
－１＜ｍ＜０． 由①②知，－１＜ｍ≤０，所以 Ｑ＝｛ｍ｜－１＜
ｍ≤０｝．故选 Ａ． （２）根据集合相等的 含 义，方 程ａｘ２＋ｂｘ＋
ｍ＋１≤ｘ≤２ｍ－１｝，满足ＢＡ，则实数 ｍ 的取
值范围为
．
解析：（１）由 题 意，知 Ａ＝
｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝，Ｂ＝ ｛ｘ｜ｘ≥
ａ｝，又 ＡＢ，在数 轴 上 表 示 出
图２
来 ，如 图 ２ 所 示 ，可 得 ａ≤ －２．
（２）①当 Ｂ＝时，有 ｍ＋１＞２ｍ－１，解 得
ｍ＜２，满足 ＢＡ． 烄ｍ＋１≤２ｍ－１，
三
线
的
交
点
．可
得
Ｓ△ＡＯＢ
＝
１ ２
×６
×６＝１８，Ｓ△ＯＣＤ
＝
１ ２
×４×２＝４．所 以 点
Ｐ
落
入
区域 Ｈ
的概
率
为１４８＝
２ ９
．故 选
Ｄ．
图３
考 点 ６ 四 种 命 题 及 其 关 系 主要考查“若 ｐ 则ｑ”形式命题的四种命题 的 写 法 及 其 相 互 关 系 ，以 及 真 假 判 断 ，在 判 断 真
例２ （１）设集合 Ｐ＝ ｛ｍ｜－１＜ｍ＜０｝，Ｑ ＝｛ｍ｜ｍｘ２ ＋４ｍｘ－４＜０ 对 任 意 实 数 ｘ 恒 成 立 ｝，则 下 列 关 系 中 成 立 的 是 （ ）．
（Ａ）ＰＱ （Ｂ）ＱＰ
（Ｃ）Ｐ＝Ｑ
（Ｄ）Ｐ∩Ｑ＝Ｑ
（２）已知 Ａ＝ ｛ｘ｜ａｘ２ ＋ｂｘ＋１＝０｝＝ ｛１｝，
考点专题 ２ １
高考数学高频考点归纳与分析（上）
一、集合与常用逻辑用语部分
安徽 余其权 考 点 １ 集 合 的 基 本 概 念 在学习集合 的 基 本 概 念 时，要 理 解 集 合 元
素 的 三 大 特 征 ，理 解 列 举 法 和 描 述 法 ，能 选 择 合
适 的 语 言 来 表 示 集 合 ．在 解 题 时 ，要 注 意 集 合 中 元素的互异性．
（Ａ
１ ３
（Ｂ）２３
的 平 面 区 域 如 图 ３
所示．容易得出 Ω 所 表 示 的 平 面 区 域 为 三 角 形 ＡＯＢ 及其边界，Ｈ 表 示 的 区 域 为 三 角 形 ＯＣＤ
及其边界．容易求得 Ｄ（４，２）恰 为 ｘ＝４，ｘ－２ｙ
＝０，ｘ＋ｙ＝６
｛ ②
当
ｐ
假ｑ
真
时 ，ａ≤１，无 ａ＞４，
解
．
综上，ａ 的取值范围为（１，４］．
考 点 ９ 充 分 条 件 与 必 要 条 件 的 判 断
判断充分、必 要 条 件，一 般 有 三 种 方 法：定
义法、等价法 以 及 集 合 法．所 以 在 判 断 充 分、必
要条件时应关注 三 点：（１）要 弄 清 先 后 顺 序．例
１＝０的解 只 有 一 个，为 ｘ＝１．当ａ＝０ 时，由 ｘ
＝１ 是 一 次 方 程ｂｘ＋１＝０ 的 解 ，得ｂ＝ －１．
当ａ≠０ 时，由 ｘ＝１ 是 二 次 方 程ａｘ２＋ｂｘ
＋ １ ＝ ０ 的 两 个 相 同 的 实 数 根，得
｛ 烄１ ａ
＝１×１，
ａ＝１，
烅
即
烆－ａｂ ＝１＋１， ｂ＝－２．
考 点 ３ 集 合 的 基 本 运 算
假的同时还考查对数学知识的理解和运用．
例６ 原 命 题 为 “若ｚ１，ｚ２ 互 为 共 轭 复 数，
则｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜”，则 原 命 题、逆 命 题、否 命 题、逆
否 命 题 中 正 确 命 题 的 个 数 是 （ ）．
（Ａ）１
（Ｂ）２
（Ｃ）３
（Ｄ）４
解 析 ：设ｚ１ ＝ａ＋ｂｉ，ｚ２ ＝ａ－ｂｉ，且 ａ，ｂ∈Ｒ，
考 点 ４ 集 合 中 的 含 参 问 题
所谓集合中的参数问题，是指集合｛ｐ｜ｐ 适
合的条件｝中“ｐ 适 合 的 条 件 ”里 面 含 有 参 数 的 问题，解 答 这 类 问 题 类 似 于 其 他 含 有 参 数 的 问
题，灵活性极 强，难 度 也 很 大．在 求 集 合 中 字 母
的取 值 范 围 时，要 特 别 注 意 该 字 母 在 取 值 范 围
考点专题 ２ ２
｛１，２，３｝，Ｂ＝｛２，４｝，则 图 １ 中 阴 影 部 分 表 示 的
集 合 为 （ ）．
（Ａ）｛０，２｝
（Ｂ）｛０，１，３｝
（Ｃ）｛１，３，４｝
（Ｄ）｛２，３，４｝
图１
解
析
：（１）由
ｌｏｇ４ｘ≤
１ ２
烄ｘ＞０，
，得烅
１
烆ｘ≤４２
即 ＝２，
０＜ｘ≤２，因 此 Ａ＝ ｛ｘ｜０＜ｘ≤２｝．由 补 集 的 定
对一个全称命题或特称命题进行否定时，
通常 将 命 题 两 个 地 方 进 行 改 变，一 是 量 词 要 改
变 ，二 是 结 论 要 进 行 否 定 ．判 断 全 称 命 题 与 特 称
命题 的 真 假 时，主 要 根 据 命 题 本 身 涉 及 的 知 识
进行 判 断，判 断 一 个 全 称 命 题 为 真 或 一 个 特 称
求参 数 的 取 值 范 围 问 题 时，先 把 每 个 命 题 为 真
时参 数 的 取 值 范 围 求 出 来，再 根 据 含 逻 辑 联 结
词的 命 题 的 真 假，分 析 每 个 简 单 命 题 的 真 假 情
况 ，最 后 确 定 参 数 的 取 值 范 围 ．
例８ （１）已 知 命 题 ｐ：ｘ０∈Ｒ，ｘ２０＞２ｘ０ ，
命 题 为 假 ，需 要 进 行 严 格 的 逻 辑 推 理 ，但 可 通 过
一个 反 例 说 明 一 个 全 称 命 题 为 假，举 一 个 特 例
说明一个特称命题为真．
例 ７ 给 出 下 列 四 个 命 题 ：
①命题“对任意ｘ∈Ｒ，有 ｘ２≥０”的 否 定 是
“存 在 ｘ０∈Ｒ，有 ｘ２０≥０”；
的 边 界 能 否 取 等 号 ，否 则 会 导 致 解 题 结 果 错 误 ．
在有关子集问题的讨论中不要忽视对空集的
讨论．
例４ （１）已 知 集 合 Ａ＝ ｛ｘ｜｜ｘ｜≤２，ｘ∈
Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ａ｝，且 ＡＢ，则 实 数 ａ 的 取 值
范围是
．
（２）已知集合 Ａ＝｛ｘ｜－２≤ｘ≤５｝，Ｂ＝｛ｘ｜
命 题ｑ：ｘ∈Ｒ，ｓｉｎ ｘ＜ｘ，则 （ ）． （Ａ）命题ｐ∨ｑ 是假命题
（Ｂ）命题ｐ∧ｑ 是真命题
（Ｃ）命 题 ｐ∧ （劭ｑ）是 真 命 题
（Ｄ）命 题 ｐ∨ （劭ｑ）是 假 命 题 （２）设ｐ：关于ｘ 的不等式ａｘ＞１ 的 解 集 为
｛ｘ｜ｘ＞０｝，ｑ：函数ｙ＝ｌｇ（ｘ２－４ｘ＋ａ）的 定 义 域 为 Ｒ．若“ｐ 或ｑ”为 真 命 题，“ｐ 且ｑ”为 假 命 题，
例
３
（１）若
集
合
Ａ＝
｛ｘ｜ｌｏｇ４ｘ≤
１ ２
｝，Ｂ＝
｛ｘ｜｜ｘ＋１｜≥２｝，则 （瓓ＲＡ）∩Ｂ＝ （ ）． （Ａ）（－ ∞ ，０）∪ （１，＋ ∞ ） （Ｂ）（－ ∞ ，－３］∪ （２，＋ ∞ ）
（Ｃ）（－ ∞ ，－３）∪ （２，＋ ∞ ）
（Ｄ）（－ ∞ ，０）∪ ［１，＋ ∞ ）
（２）已知全集Ｕ ＝ ｛０，１，２，３，４｝，集 合 Ａ＝
义，可知瓓ＲＡ＝｛ｘ｜ｘ≤０ 或 ｘ＞２｝．由｜ｘ＋１｜ ≥２，得 ｘ＋１≤ －２ 或 ｘ＋１≥２，解 得 ｘ≤ －３ 或
ｘ≥１，所 以 Ｂ ＝ ｛ｘ｜ｘ≤ －３ 或 ｘ≥１｝，所 以
（瓓ＲＡ）∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≤－３或ｘ＞２｝．故选 Ｂ． （２）由于瓓Ｕ （Ａ∪Ｂ）＝｛０｝，Ａ∩Ｂ＝｛２｝，所
以阴影部分表示的集合为｛０，２｝．故选 Ａ．
考 点 ２ 集 合 的 基 本 关 系 反映集合与 集 合 关 系 的 一 系 列 概 念，都 是
用元 素 与 集 合 的 关 系 来 定 义 的．因 此，在 证 明（判断）两集合 的 关 系 时，应 回 到 元 素 与 集 合
的关 系 中 去．同 时 注 意 求 真 子 集 时 千 万 不 要 忘 记“空集是任何非空集合的真子集”．同时，Ａ 不 是Ａ 的真子集．
真命题，命题ｐ∨（劭ｑ）是真命题．故选 Ｃ．
（２）ｐ 真时，ａ＞１；ｑ 真 时，对 任 意 ｘ∈Ｒ，ｘ２ －４ｘ＋ａ＞０ 恒 成 立，则 Δ＝１６－４ａ＜０，即 ａ
＞４．
若“ｐ 或ｑ”为 真 命 题，“ｐ 且ｑ”为 假 命 题， 则ｐ，ｑ 是一真一假．
｛ ①
当
ｐ
真ｑ
假
时 ，ａ＞１，即 ａ≤４，
１＜ａ≤４；
②“存在 ｘ０ ∈Ｒ，使 得 ｘ２０ －ｘ０ ＞０”的 否 定
是 ：“任 意 ｘ∈Ｒ，均 有 ｘ２－ｘ＜０”；
③ 任 意 ｘ∈ ［－１，２］，ｘ２－２ｘ≤３；
④ 存 在 ｘ０∈Ｒ，使 得 ｘ２０＋ｘ２０１＋１≤１．
其中真命题的序号是
（填 写 所 有
真 命 题 的 序 号 ）．
解析：对于①，“对任意 ｘ∈Ｒ，有 ｘ２≥０”的
则ａ 的取值范围是
．
解析：（１）对于命题 ｐ，取 ｘ＝３，则 ３２＞２３，
即９＞８，因此命 题 ｐ 为 真 命 题；对 于 命 题ｑ，取
ｘ＝ － ２π ，则ｓｉｎ ｘ＝ｓｉｎ（－ ２π ）＝ －１，此 时ｓｉｎ ｘ
＞ｘ，因 此 命 题ｑ 为 假 命 题．所 以 命 题 ｐ∨ｑ 是
真命题，命题ｐ∧ｑ 是假命 题，命 题 ｐ∧（劭ｑ）是
如，“Ａ 的充分不必要条件是Ｂ”是指 Ｂ 能 推 出
Ａ，且 Ａ 不能推出Ｂ．（２）要善于举出反例．当从
正面判断或证明一个命题的真假不易进行时，
可 以 通 过 举 出 恰 当 的 反 例 来 说 明 ．（３）要 注 意 转
化．例如，劭ｐ 是劭ｑ 的必要不充分条件ｐ 是ｑ
＋１的值域，则 Ａ＝ ｛ｘ｜ｘ≤４｝，Ｂ＝ ｛ｙ｜ｙ≥１｝， 故 Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜１≤ｘ≤４｝．
（２）若 ａ２－ａ＋１＝３，即 ａ２ －ａ－２＝０，则 ａ ＝ －１ 或ａ＝２；若 ａ２ －ａ＋１＝ａ，即 ａ２ －２ａ＋１ ＝０，则ａ＝１．当ａ＝１时，Ａ 中有两 个 相 同 的 元 素１，与集合元素 的 互 异 性 矛 盾，因 此，ａ＝１ 应 舍去．所以满足题意的ａ 的值为－１，２．