北京四中2020-2021学年第一学期期中考试初二数学试题及答案

北京四中2020-2021学年第一学期期中考试
初二数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）1.下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（
）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（
）A.236
a a a ⋅= B.
()
3
26
a a = C.3362a a a += D.842
a a a ÷=3.下列变形属于因式分解的是（）
A.
()()2224
x x x +-=- B.()1110x x x x ⎛⎫
-=-
≠ ⎪⎝
⎭
C.()3
2
2
2121x x x
x ++=++ D.()()
2
933x x x -=+-4.在平面直角坐标系上，已知点A 关于直线x ＝1对称的点为B （﹣2，4），则点A 的坐标为（
）
A.（4，4）
B.（﹣2，﹣2）
C.（2，4）
D.（3，4）
5.电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件
的大小约为1,1GB GB 等于()A.302B
B.308B
C.10810B
⨯ D.30210B
⨯6.已知210,5a b ab -==，则a 2+4b 2的值是（
）A.110
B.120
C.125
D.130
7.如图所示，图()1是一个长为2a ，宽为()2b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块
形状和大小都一样的小长方形，然后按图()2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（
）
A.ab
B.
()
2
a b + C.
()
2
a b - D.22
a b -8.如图所示，
三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（
）
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
9.我们利用尺规作图可以作一个角()''A O B ∠等于已知角()AOB ∠，如下所示：
（1）作射线OA ；
（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于C ，交OB 于D ；（3）以O '为圆心，OC 为半径作弧，交OA '于'C ；（4）以C '为圆心，OC 为半径作弧，交前面的弧于D ¢；（5）连接'O D '作射线,O B ''则A O B '''∠就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）
A.
()
2 B.
()3 C.
()
4 D.
()
510.△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，
将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道（
）
A.△ABC 的周长
B.△AFH 的周长
C.四边形FBGH 的周长
D.四边形ADEC 的周长
二、填空题（每题2分，共16分）
11.分解因式：233ma mb -=_____________________．
12.在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，则点P Q M N 、、、中在AOB ∠的平分线上是______________点．
13.若3x +2y ﹣2=0，则84x y g 等于_____．
14.如图,在△ABC 中,点D 在BC 上,将点D 分别以AB 、AC 为对称轴,画出对称点E 、F,并连接AE 、AF.根据图中
标示的角度,则∠EAF=__________°.
15.已知关于x 的代数式2x bx c ++，设代数式的值为y ，则2y x bx c =++．下表中列出了当x 分别取…，
1,0,1,2,3,4,5,-…，,1m m +…时对应的y 值．x
···1-0
12345
···m
1
m +···y
···
10
5
2
1
2
5
n
···
p
q
···
（1）表中n 的值为___________________；
（2）当x =______________时，y 有最小值，最小值是________________；
（3）p ___________q ．（填,,<>=）
16.已知等腰三角形一个外角的度数为108 ，则顶角度数为____________.17.已知锐角,AOB ∠如图
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点,P 连接,CP DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是_______________；
//CP OB ；2CP QC =②；AOP BOP ∠=∠③；CD OP
⊥④18.如图，已知每个小方格的边长为1,,A B 两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点C ，使ABC ∆为等腰三角形，则这样的格点C 有_________________个．
三．解答题19.分解因式：
（1）249x -；
（2）22344ab a b b --．
20.计算：
（1）()()
36x y x --（2）(
)
42
2
682x x y x -÷；
（3）()()12x x -+；
（4）()()33x y x y +--+．
21.先化简，再求值：()()()()2
23a b a b a b a a b +-+---，其中1
,12
a b =-
=22.如图，//AB CD ，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC
=．
23.小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且满足2OB OA >．求作：线段OB 上的一点C ，使AOC △的周长等于线段OB 的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C 已经找到，即AOC △得周长等于OB 的长，那么由OA OC AC OB OC BC ++==+，可以得到OA AC +=．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC 上取一点D ，使得BD AO =，那么就可以得到CA =．
若连接AD ，由
．（填推理依据）．可知点C 在线段AD 得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
24.阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，
23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的
常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.
25.如图1，点D 是等腰三角形ABC 外一点，,2,AB AC BDC ABC =∠=∠过点A 作AE BD ⊥于点E ．
（1）依据题意，补全图形．（2）求证：DE BE CD =+．
（3）如图2，AD 与BC 交于点F ，当F 是AD 的中点时，翻折BCD ∆得到BCG ∆，连接,AG 求证：,A G 两点到直线BC 的距离相等．附加题
26.若k 为正奇数，则()k
k k k ---⋅⋅⋅-=_________________(底数中含k 个k)；若k 为正偶数，则
()
k
k k k ---⋅⋅⋅-=_________________(底数中含k 个k)；
27.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地
砖面积为依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD ．则正方形ABCD 的面积为____________（用含a ，b 的代数式表示）．
28.小明同学研究如下问题：
从1,2,3，…，(n n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？
他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：探究一：
（1）从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数
1,21,32,32个整数之和
3
4
5
如上表，所取的2个整数之和可以为3,4,5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3最大是5,所以共有3种不同的结果．
（2）从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数
1,21,31,42,32,4
3,4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
如上表，所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有_
种不同的结果．
（4）从1,2,3，…，(n n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有__
种不同的结果．
探究二：（1）从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有__________种不同的结果．
（2）从1,2,3，…，(n n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有_________种不同的结果．
探究三：从1,2,3，…，(n n 为整数，且5n ≥这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________________种不同的结果．
归纳结论：从1,2,3，…，(n n 为整数，且3n ≥这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有___________种不同的结果．
拓展延伸：从1,2,3，…，36这36个整数中任取_______________个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
29.如图，ABC ∆中，,60120AB AC BAC =︒<∠<︒，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到点D ，点E 与点D 关于直线BC 对称，连接,,CD CE DE ．
（1）依题意补全图形；
（2）判断CDE ∆的形状，并证明；
（3）请问在直线CE 上是否存在点P ，使得PB PA CD -=成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明：若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.【答案】D
【解析】
【分析】
利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A 、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；
B 、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D 、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则对A 进行判断；根据幂的乘方法则对B 进行判断；根据合并同类项对C 进行判断；根据同底数幂的除法法则对D 进行判断．
【详解】解：A 、a 3•a 2=a 5，所以A 选项不正确；
B 、()326a a =，所以B 选项正确；
C 、3332a a a +=，所以C 选项不正确；
D 、844a a a ÷=，所以D 选项不正确．
故选：B ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n（m、n为正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
根据对称的性质即可得点A的坐标．
【详解】∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），
∴点A的坐标为（4，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意及幂的运算法则即可求解．
【详解】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B
故选A ．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【详解】解：∵a-2b=10，ab=5，
∴a 2+4b 2=（a-2b ）2+4ab=102+4×5=120．
故选：B ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a-b ，
则面积是（a-b ）2．
故选：C ．
【点睛】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可．
【详解】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF 的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，
∴BE ＝FH ，
∴五边形DECHF 的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF ）+（CE+BE ），
＝AB+BC ．
∴只需知道△ABC 的周长即可．
故选：A ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
11.【答案】3m （a 2-b ）．
【解析】
【分析】
原式提取公因式即可．
【详解】解：原式=3m （a 2-b ）．
【点睛】此题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】Q
【解析】
【分析】
先找到OA 、OB 上的格点E 、F ，连接EQ 、FQ ，证明EOQ FOQ ，即可进行判断．
【详解】解：如图,连接EQ 、FQ ，
由图可知OE=OF ，EQ=FQ ，OQ=OQ ，
∴EOQ FOQ
≅ ∴EOQ FOQ
∠=∠∴OQ 平分AOB ∠，
∴点Q 在∠AOB 的平分线上．
故答案为：Q ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS 判定是解题关键．
13.【答案】4．
【解析】
【分析】
将3x +2y ﹣2=0化简得3x +2y =2，再利用幂的乘方运算法则将84x y g 变形得23x +2y ，进而得出答案．
【详解】由3x +2y ﹣2=0可得：3x +2y =2，
所以84x y g =23x +2y =22=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算，熟练应用幂的乘方运算法则是解题关键．
14.【答案】134
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC ，然后由轴对称的性质得到∠EAF=2∠BAC 即可.
【详解】解：∵∠B ＝62°，∠C ＝51°，
∴∠BAC ＝180°－62°－51°＝67°，
连接AD ，
根据轴对称的性质可得：∠EAB ＝∠BAD ，∠FAC ＝∠CAD ，
∴∠EAF=2∠BAC ＝134°，
故答案为
134.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及轴对称的性质，难度不大，熟练掌握基础知识是解题关键．15.【答案】
(1).10.(2).2.(3).1.(4).＜．
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据可以得到b 、c 的值，从而可以求得n 的值；
（2）根据（1）中y 与x 的关系式，根据完全平方公式进行变形，可以得到当x 为何值时，y 有最小值；（3）计算p-q 的值，即可判断p 和q 的大小．
【详解】解：（1）由表格可得：2(1)105
b c c ⎧--+⎨=⎩＝，解得45b c -⎧⎨=⎩
＝．则y=x 2-4x+5，
当x=5时，n=52-4×5+5=25-20+5=10．
故答案为：10；
（2）由（1）知，y=x 2-4x+5=（x-2）2+1，
当x=2时，y 有最小值，最小值是1，
故答案为：2，1；
（3）由（1）知，p=m2-4m+5，q=(m+1)2-4(m+1)+5=m2-2m+2，
∴p-q=(m2-4m+5)-(m2-2m+2)=-2m+3
由表可知m＞2，
∴-2m+3＜0，
∴p＜q．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查代数式的值、二元一次方程组的解法、完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出b、c的值．
16.【答案】72︒或36︒
【解析】
【分析】
等腰三角形的一个外角等于108 ，则等腰三角形的一个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【详解】∵一个外角为108 ，
∴三角形的一个内角为72°，
当72°为顶角时，其他两角都为54︒、54︒，
当72°为底角时，其他两角为72°、36°，
所以等腰三角形的顶角为72︒或36︒．
故答案为：72︒或36︒
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
17.【答案】②③④．
【解析】
【分析】
根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．
【详解】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=CD，OP平分∠AOB，
∴OP垂直平分线段CD，
∴CQ=DQ
∴CP=2QC
故②③④正确，
故答案为②③④．
【点睛】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.【答案】8．
【解析】
【分析】
分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的点C有8个．
故答案是：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
三．解答题
19.【答案】（1）（2x+3）（2x-3）；（2）-b（2a-b）2．
【解析】
【分析】
（1）运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取-b ，再运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：（1）4x 2-9，
=（2x ）2-32，
=（2x+3）（2x-3）；
（2）22344ab a b b --，
=-b （4a 2-4ab+b 2），
=-b （2a-b ）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20.【答案】（1）-6x 2+18xy ；（2）3x 2-4y ；（3）x 2+x-2；（4）x 2-y 2+6y-9．
【解析】
【分析】
（1）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用多项式乘以多项式计算得出答案；
（4）直接利用乘法公式计算得出答案．
【详解】解：（1）（x-3y ）（-6x ）
=-6x 2+18xy ；
（2）（6x 4-8x 2y ）÷2x 2
=3x 2-4y ；
（3）（x-1）（x+2）
=x 2+2x-x-2
=x 2+x-2；
（4）（x+y-3）（x-y+3）
=[x+（y-3）][x-（y-3）]
=x 2-（y-3）2
=x 2-y 2+6y-9．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
21.【答案】12
ab -，
【解析】
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=a 2-b 2+a 2-2ab+b 2-2a 2+3ab=ab ，
当a=12-，b=1时，原式=12
-．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由平行线的性质先得到A D ∠=∠，B C ∠=∠，继而利用AAS 证明AOB DOC ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可证得结论.
【详解】//AB CD ，
A D ∴∠=∠，
B
C ∠=∠，
在AOB ∆和DOC ∆中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，
OB OC ∴=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
23.【答案】BC ，DC ，线段的垂直平分线的判定
【解析】
【分析】
在线段BO 上截取BD=OA ，连接AD ，作线段AD 的垂直平分线交OD 于点C ，连接AC ，△AOC 即为所求．
【详解】解：如图，△AOC 即为所求．
故答案为：BC ，DC ，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)19;(2)1;(3)a=-6，b=-3．
【解析】
【分析】
（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．
【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为19；
（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为1；
（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，
13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩
解得：363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
故答案为a=-6，b=-3．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
25.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）依据题意画出图形即可；
（2）过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，由“AAS”可证△ABE ≌△ACH ，可得AE ＝AH ，BE ＝CH ，由“HL”可证Rt △AED ≌Rt △AHD ，可得结论；
（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接GD 交BC 延长线于N ，由“AAS”可证△AGF ≌△DNF ，可得AG ＝DN ＝GN ，可得结论．
【详解】（1）解：如图3
所示即为所求：
证明：（2）如图4，过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ，
∵AE⊥BD，AH⊥DH，
∴∠AED＝∠H＝90°．
∴∠EDH＋∠EAH＝180°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．
又∵∠BDC＝2∠ABC，
∴∠BDC＋∠BAC＝180°．
∴∠BAC＝∠EAH．
∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．
即∠BAE＝∠CAH．
在△ABE和△ACH中，
∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．
∴AE＝AH，BE＝CH．
在Rt△AED和Rt△AHD中，
AE＝AH，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．
∴DE＝DH．
∴DE＝BE＋CD；
证明：（3）如图5，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，连接GD 交BC 的延长线于点N ，
∵翻折△BCD 得到△BCG ，
∴BN ⊥GD ，GN ＝DN ，
∵F 是AD 的中点，
∴AF ＝DF ，
在△AGF 和△DNF 中，
∠AFG ＝∠DFN ，∠AGF ＝∠DNF ，AF ＝DF ，
∴△AGF ≌△DNF （AAS ）．
∴AG ＝DN ．
∴AG ＝GN ．
∴A ，G 两点到直线BC 的距离相等．
【点睛】本题几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
附加题
26.【答案】
(1).2k k -(2).2k k .
【解析】
【分析】
先算括号里的减法，再算乘方即可.
【详解】解：当k 为正奇数，()k k k k ---⋅⋅⋅-=2()k k -=2k k -；
当k 为正偶数，()k k k k ---⋅⋅⋅-=2()k k -=2k k .
故答案是：2k k -；2k k .
【点睛】本题考查了乘方运算，注意负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数.
27.【答案】+a b
【解析】
【分析】
如图，连接AE 、AF ，先证明△GAE ≌△HAF ，由此可证得AEF GAHE S S =△四边形，进而同理可得，根据正方形ABCD 的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AE 、AF ，
∵点A 为大正方形的中心，
∴AE =AF ，∠EAF =90°，
∴∠AEF =∠AFE =45°，
∵∠GEF =90°，
∴∠AEG =∠GEF -∠AEF =45°，
∴∠AEG =∠AFE ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠DAB =∠EAF =90°，
∴∠GAE =∠HAF ，
在△GAE 与△HAF 中，
GAE HAF
AE AF AEG AFH
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GAE ≌△HAF （ASA ），
∴GAE HAF S S =△△，
∴GAE AEH HAF AEH S S S S +=+△△△△，
即AEF GAHE S S =△四边形，∵1
1
=44AEF S S a =△大正方形，
∴11=44
GAHE S S a =四边形大正方形，∴同理可得：1=44
ABCD S a b ⨯+正方形，即=ABCD S a b +正方形，
故答案为：+a b ．
【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．
28.【答案】探究一：（3）7；（4）（2n-3）；探究二：（1）4；（2）（3n-8）；探究三：（4n-15），（an-a 2+1），
7或29．
【解析】
【分析】
探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；
（4）结合（3）即可得到结果．
探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果．
（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果．
探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果．
归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果．
拓展延伸：根据以上结论：当n=36时，36a-a 2+1=204，解方程即可得a 的值．
【详解】解：根据探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；
（3）∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，
∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．
故答案为：7；
（4）根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；
从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；
从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；
所以从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n-3）种不同的结果．
故答案为：（2n-3）；
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n-8）种不同的结果．
故答案为：4；（3n-8）；
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n-15）种不同的结果．
故答案为：（4n-15）；
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有（an-a2+1）种不同的结果．
故答案为：（an-a2+1）；
拓展延伸：
当n=36时，36a-a2+1=204，
解得a1=7，a2=29．
所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．
29.【答案】（1）见解析；（2）等边三角形，证明见解析；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点
即为点P，画图证明见解析
【解析】
【分析】
（1）依题意补全图形即可；
（2）连接BD，设BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据旋转的性质得AD=AB=AC，证出△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，求出∠DCE=60°．可得△CDE为等边三角形；
（3）作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，延长AG与CD交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ 为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，证明△ACP≌△DBQ，得出AP=DQ．则PB-PA=CD成立．
【详解】解：（1）补全图形如图1：
（2）△CDE为等边三角形，理由如下：
连接BD，设BC与DE交于F，如图2：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，
∴AD=AB=AC，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ACD=∠ADC，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠ABC+∠DBC=60°，
∴∠ACB+∠DBC=60°，
在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，
∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB=180°，
∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB=180°，
即60°+60°+2∠DCB=180°，
∴∠DCB=30°，
∵点E与点D关于直线BC对称，
∴∠ECF=∠DCB=30°，CD=CE，
∴∠DCE=60°．
∴△CDE是等边三角形；
（3）存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，
由（2）可知，∠PCQ=60°，点P与Q关于BC对称，
∴PC=QC，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°，
∴∠APC=120°，
∵AG⊥BC，AC=AB，
∴AG垂直平分BC，PG=QG，
第31页共31页∴PB=PC=QB=QC ，
∴四边形PBQC 是菱形，
∴CP=BQ=CQ=PB ，∠PBQ=∠PCQ=60°，∠DQB=120°=∠APC ，
∵QB=QC ，
∴∠QBC=∠QCB ，
∴∠ABQ=∠ACQ ，
由（2）得：△ABD 为等边三角形，
∴∠ABD=60°=∠PCQ ，
∴∠ABQ-∠ABD=∠ACQ-∠PCQ ，
∴∠DBQ=∠ACP ，
在△ACP 和△DBQ 中，
ACP DBQ CP BQ APC DQB ∠∠∠⎧⎪⎪⎩
∠⎨＝＝＝，∴△ACP ≌△DBQ （ASA ），
∴AP=DQ ，
∵PB=CQ ，CQ-DQ=CD ，
∴PB-AP=CD
即PB-PA=CD 成立．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查旋转变换的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和轴对称的性质是解题的关键．。