并矢法解瞬态相干效应BLOCH方程

相应应的矩阵A为 = ⎢⎢sinϕ cosϕ
0
⎥ ⎥
⎢⎣0
0
1⎥⎦
考虑初始条件经过变换有
-2-

ρ B′(0)
=
⎡u(o) ⎢⎢v(o)
⎥⎥⎤代入公式 Bρ′(t )
=
ρ AB′(o)
：
⎢⎣w(o) − w 0 ⎥⎦
ρ B ′(t )
=
⎡cos g ⎢⎢sin g
−t
∴ u(t ) = u′(t )e T2
=
[u(o) cos ϕ
−
v(o) sin ϕ
]e
−t T2
−t
v(t ) = v′(t )e T2
=
[u(o) sin ϕ
+
] −t
v(o) cosϕ e T2
[ ] − t
−t
R(t ) = R′(t )e T1 = w(o) − w 0 e T1 = w(t ) − w 0
∆
′]为有效场矢量
ρ B
=
[u′,
v′,
R′]为Bloch矢量。
我们同样也可以证明有
ρ dB
=
−∆v′i
+
ρ ∆ ′u′j
∴
ρ dB
=
ρ β×
ρ B
dt
dt
ρ
ρ
ρρ
上式表示 Bloch 矢量 B 绕有效场 β 进动由关矢[2]的知识，我们知道，可以通过求出 B 绕 β
ρ
ρ
ρ
转过ϕ 角时所形成并矢 A ，从而求出相应的矩阵 A，从而通过 B0 (o)与B(t ). 关系式
⋅−
u′
−t
e T2
整理得
T2
T2
： du′ = −∆′v′
(1)′
对于
(1)
式有：
v
′e
−
t T2
−t
− v′e T2
−t
= −∆′u′e T2
⋅−
v′
−t
e T2
整理得：
dt
T2
dv′ = ∆′u′ (2)′ 对于(3)式有： dt
dw dt
=
dr dt
=
d
−t
(R′e T1
)
=
dt
dR′
e
−
t T1
+
xw 0T2−1 sin ∆t cosδω0t x 2T1T2 −1 + ∆2 + T2 −2
)d∆
=
−
iπ 2ku
xw 0
−( ∆
cos δω0te du
)2
(
1
− 1 )e ⎡ ⎢−
t
⎢⎣ T2
( 1+
X
2T1T2
+
1
)
⎤ ⎥
⎥⎦
x 2T1T2 + 1
代入公式ε r
=
i ε0
NDLσ 21 K [7]
-5-
dt
−t
− R′e ⋅T1
1
T1
=
− w − w0 T1
=
−
R T1
整理得 dR′ = 0 (3)′
dt
综上所述变换后，由 (1)′,(2)′,(3)′ 三式构成自由感应衰变所满足的方程：
du′ = −∆v′
dv′ = ∆u′
dR′ = 0 与计算光学章动时一样，引入二个矢量
dt
dt
dt
ρ β
=
[0,0,
(3)
dt
T1
对上述方程作变量代换，令：u
=
−t
u′e T2
，v
=
−t
v′e T2
,
R
=
w
−
w0
,
R
=
−t
R′e T1
,将
-1-

这 些 变 换 代 入 上 述 方 程 中 ： 对 于 (1) 式 有
−t
−t
u′e T2 − u′e T2
1
=
−t
−∆′v′e T2
1. 引言
Bloch 方程是用来描述激光的瞬态相干效应是指在激光与物质相互作用时，如果激光 与物质相互作用的时间小于介质的纵向和横向驰豫时间下和，介质中就会产生一系列瞬态现 象。它起因于共振介质对脉冲激发的瞬态响应，是一种相干互作用[1]。光学章动，自由感应 衰变，光子回波，自感应透明等现象，都属于瞬态相干效应。
1990.6 1989.4
-4-

Solving the BLOCH Equation of Free Induction Decay by Dyad Method
Zhao Chunguang，Zhao Ruiguo，Zhang Yongjun
Physics Teaching and Research Office，Liaoning Technical University，Fuxin，Liaoning （123000） Abstract
−t
w(t ) = w 0 + [w(0) − w 0 ]e T1
u(t
)
=
[u(o)
cos
∆
′t
−
v(o)
sin
∆ ′t
]e
−t T2
代入ϕ = ∆′t 则有：
v(t
)
=
[u(o)
sin
∆ ′t
+
v(o)
cos
∆ ′t
]e
−t T2
[ ] −t
w(t ) = w 0 + w(o) − w 0 e T1
ρ
ρ
ρ
B(t ) = AB0 (o). ，求出 B(t) 。由于
ρ A
=
uu
+
(i
−
uu )cosϕ
+
(i
×
ρ u)
sin ϕ
其中： i = ii + jj + kk , u为β 轴单位矢量
ϕ = ωt = βt
ρρ 因为β = ∆′k
因此有：
ρ u
=
ρ k
ϕ = ∆′t
所以有：
ρρ uu
=
ρρ kk;
τ I
−
ρρ uu
=
ρρ ii +
ρρ jj
τ I×
ρ u
=
ρρ (i i +
ρρ jj +
ρρ kk) ×
ρ k=
ρρ −ij +
ρρ ji
ρ 则并矢A为：A
=
ρρ uu
+
ρ (I −
uρuρ)coϕ
+
ρ (I ×
u) sin ϕ
=
kk
+
cosϕii
+
cosϕjj
+
sin ϕji
−
sin ϕij
⎡cosϕ − sinϕ 0 ⎤
ρ 率。因此各粒子的偶极矩也有不同的进动速度，于是这样一个偶极矩的集合 B 就会因为各
偶极矩的相位变得不一致而渐久衰变，直到宏观上全部消失，样品中的相干辐射也随之衰变 而消失，其衰变的时间常数等于各偶极矩的失相时间[1]。
参考文献
[1] 钱梅珍、崔一平《激光物理》
[M]， 北京： 电子工业出版社
[2] 谢希德等《群论及其在物理学中应用》 [M]， 北京： 科学出版社
T2 −2
)
6
可以看出：
u( o )cos ∆t sinδω0t和和( o ) sin ∆t sinδω0t均均∆奇函数。 因此上述的积上述的积
∫ σ 21
=− i 2ku
π
e e −( ∆ )2 du
t T2
∞
(
−∞
− x∆w 0 son∆t cosδω0t x 2T1T2 −1 + ∆2 + T2 −2
+ δω0
，那么此时的
Bloch
方程就相应地变为：
dv dt
=
∆ ′u
+
xw
−
v T2
dw = − xv − w − w 0
dt
T1
而自由感应衰变所满足的方程，也就是外场突然停止(x=0)的 Bloch 方程，即：此刻
du = −∆′v − u
(1)
dt
T2
dv = ∆′u − v
(2)
dt
T2
dw = − w − w 0
)2
(
⎢⎣ 2 ∑ 0 u
1 x 2T1T2
+1
−
1)eຫໍສະໝຸດ −⎡ ⎢ ⎣t T2
(
1+
X
2T1T2
+1
⎤ )⎥
⎦
× cosδω0t
+
⎤
E
0
⎥ ⎥⎦
e
−
i
(
ωt
−
kL
)
这就是自由感应衰变的场强的表达式。
3. 结论
ρ 这一现象产生是由于共振激光场建立起来的 Bloch 矢量 B 绕有效场进功。在外场突然
ρ 停止后，有效场 E 轴同向，于是 B 绕 Z 进动并辐射，由于非均匀增宽粒子具不同的共振频
− sin g o⎤ ⎡u(o)
cos g
o
⎥ ⎥
⎢⎢v(o)
⎤ ⎡u′(t) ⎤
⎥ ⎥
=
⎢⎢v ′(t )
⎥ ⎥
⎢⎣0
0
o ⎥⎦ ⎢⎣w(o) − w 0 ⎥⎦ ⎢⎣R′(t)⎥⎦
∴ u′(t) = u(o)cosϕ − v(o)sinϕ
v′(t) = u(o)sinϕ + v(o)cosϕ
R′(t) = w(o) − w 0
=
π 2∑0 u
NDLXW
0e
−(
∆ ku
2 )
(
1 x 2 T1T
⎡ ⎢−
t
− 1 )e ⎢⎣ T2
( 1+
⎤
X
2T1T2
+1
)
⎥ ⎥⎦
cos δω 0 u
[ ] 将 ε r代入总入总的辐射场ε s (
L,t
)
=
1 2
(
ε
r
+
E0
)e −i( ωt −kL )
8
1
=
2
⎡ ⎢
π
NDLXW
0e
−(
∆ ku
=
−i 2ku
π
∞ −( ∆ )2
e ku
−t
u(o)sin ∆′t + u(o)cos ∆′u e T2 d∆
−∞
−( ∆ )2
我们再进一步作近似可以将 e ku (高斯因子)提到积分号外，则上式进一步化为：
∫ [ ] σ 21
=
i 2ku
π
e e −( ∆ )2 ku
−t T2
∞
−( ∆ )2
σ e ku
−∞ 21
u( o ) sin ∆′t + v( o )cos ∆′t
d∆
Θ ∆′ = ∆ + δω0 ∴ sin ∆′t = sin( ∆t + δω0t ) = sin ∆t cosδω0t + cos ∆t sinδω0t cos ∆′t = cos( ∆t + δω0t ) = cos ∆t cosδω0t − sin ∆t sinδω0t
用并矢法解自由感应衰变的 Bloch 方程
赵春光 1，赵瑞国 2，张永军 1
1.辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）； 2.辽宁省城市建设学校专业基础科，沈阳（110016）
E-mail：zhaochunguang1122@
摘 要：本文介绍的是用并矢的知识求解瞬态相干效应的 Bloch 的方程。主要阐述了自由感 应衰变的 Bloch 方程的并矢解法，同时，也给出场强的表达式。 关键词：并矢，解瞬态相干效应，自由感应衰变，Bloch 方程
因此：
σ
21
=
1 2
[u(t )
−
iv(t)] =
1 2
[u(o)cos ∆′t
−
v(o)sin ∆′t]
−t
e T2
−
i
[u(0)sin ∆′t
+
v(o)cos ∆′t]
−t
e T2
2
我们可以略去 u(t ) 的作用，
∫ ∫ [ ] σ 21
=
1 ku π
∞
−( ∆ )2
−∞ σ 21e ku d∆
In the paper the solution of BLOCH equation of transient coherent effect by dyad knowledge is introduced .The dyad method used to solve the equation of free induction decay is discussed and the expressive formulas of field strength of the fields are given Keywords：decay，transient coherent effect 作者简介：赵春光，男，1970 年 11 月生于辽宁省黑山县，1995 年 7 月毕业于辽宁大学物理 系，获理学学士学位。现为辽宁工程技术大学理学院讲师。
[ ] 再考虑初始条件： u(o)
=
−
x∆w 0 x 2T1T2 −1 + ∆2
+ T2 −2
4
-3-

v(o) =
xw 0T2 −1 x 2T1T2 −1 + ∆2 + T2 −2
[5]
[ ] w(o)
=
w0(
T2 −2 + ∆2 x 2T1T2 −1 + ∆2 +
在通常采用的作法是用斯塔克开关使得原先与入射的连续波激光共振的一群粒子从共振频
率 ω0 移开一个δω0 ，然后再进行测量，这样便可测到自由感应衰变辐射，而且可以定其衰
变的时间常数[1]。
由于采用斯塔克开关法，使粒子从原来的频率移开 δω0 ，此时失谐量由△变为△′=△
du = −∆′v − u
dt
T2
处理瞬态相干效应问题的大体步骤是首先解二能级的 Bloch 方程，求出密度矩阵的非 对角元，然后代入波动方程，求出瞬间相干效应场的表达式。与其他文献不同的是，本文采 用并矢的知识解 Bloch 方程。
2. 自由感应衰变的 BLOCH 方程
光学自由感应衰变现象在实验上是很难直接观测的，主要是因为它的衰变时间很短，现
自由感应衰变的bloch方程光学自由感应衰变现象在实验上是很难直接观测的主要是因为它的衰变时间很短现在通常采用的作法是用斯塔克开关使得原先与入射的连续波激光共振的一群粒子从共振频然后再进行测量这样便可测到自由感应衰变辐射而且可以定其衰变的时间常数那么此时的bloch方程就相应地变为