2021年山东省临沂市中考数学试卷及答案

山东省临沂市2021年中考数学试卷
一、选择题〔本大题共14小题，每题3分，共42分〕在每题所给的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．〔3分〕〔2021•临沂〕﹣2的绝对值是〔〕
A．2B．﹣2 C．D．
考
点：
绝对值．
分
析：
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答：解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．
应选A．
点评：此题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．〔3分〕〔2021•临沂〕拒绝“餐桌浪费〞，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为〔〕
A．0.5×1011千克B．50×109千克C．5×109千克D．5×1010千克
考
点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将50 000 000 000用科学记数法表示为5×1010．应选D．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
A．35°B．45°C．55°D．65°考
点：
平行线的性质．
分
析：
先求出∠3的度数，再根据平行线性质得出∠1=∠3，代入求出即可．
解
答：
解：
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=135°，
∴∠3=180°﹣135°=45°，
∴∠1=45°，
应选B．
点
评：
此题考查了平行线性质和邻补角的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
4．〔3分〕〔2021•临沂〕以下运算正确的选项是〔〕
A．x2+x3=x5B．〔x﹣2〕2=x2﹣4 C．2x2•x3=2x5D．〔x3〕4=x7考
点：
完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式
专
题：
计算题．
分析：A、本选项不是同类项，不能合并，错误；
B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法那么计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法那么计算得到结果，即可作出判断．
解答：解：A、本选项不是同类项，不能合并，错误；
B、〔x﹣2〕2=x2﹣4x+4，本选项错误；
C、2x2•x3=2x5，本选项正确；
D、〔x3〕4=x12，本选项错误，
应选C
点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法那么是解此题的关键．
5．〔3分〕〔2021•临沂〕计算的结果是〔〕A．B．C．D．
考
点：
二次根式的加减法．
分
析：
首先把两个二次根式化简，再进行加减即可．
解
答：
解：=4﹣3=，
应选：B．
点评：此题主要考查了二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
6．〔3分〕〔2021•临沂〕化简的结果是〔〕A．B．C．D．
考
点：
分式的混合运算．
分
析：
首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
解
答：解：
=•
=．
应选A．
点
评：
此题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
7．〔3分〕〔2021•临沂〕如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是〔〕A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2
考
点：
由三视图判断几何体；圆柱的计算．
分
析：
首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
解答：解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，侧面积为：πdh=2×3π=6π，
应选C．
点
评：
此题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．8．〔3分〕〔2021•临沂〕不等式组的解集是〔〕
A．x≥8 B．x＞2 C．0＜x＜2 D．2＜x≤8
考
点：
解一元一次不等式组．
分
析：
先求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
解
答：解：
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤8，
∴不等式组的解集为2＜x≤8，
应选D．
点评：此题考查了解一元一次不等式〔组〕的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
9．〔3分〕〔2021•临沂〕在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是〔〕
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
考
点：
众数；中位数．
分
析：
根据众数、中位数的定义求解即可．
解答：解：这组数据按顺序排列为：88，92，93，94，95，95，96，故众数为：95，
中位数为：94．
应选D．
点评：此题考查了众数和中位数的知识，属于根底题，解答此题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．
10．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，以下结论不一定成立的是〔〕
A．A B=AD B．A C平分∠BCD C．A B=BD D．△BEC≌△DEC 考
点：
线段垂直平分线的性质．
分析：根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．
解答：解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE〔HL〕，
应选：C．
点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
11．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1〔1，0〕，A2〔2，0〕，B1〔0，1〕，B2〔0，2〕，分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是〔〕
A．B．C．D．
考
点：
列表法与树状图法；等腰三角形的判定．
分析：根据题意画出树状图，进而得出以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形是等腰三角形的情况，求出概率即可．
解答：解：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，∴画树状图得：
共可以组成4个三角形，
所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2，
所作三角形是等腰三角形的概率是：=．应选：D．
点评：此题主要考查了利用树状图求概率以及等腰三角形的判定等知识，利用树状图表示出所有可能是解题关键．
12．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，那么∠AOB的度数是〔〕
A．75°B．60°C．45°D．30°
考
点：
圆周角定理．
分析：首先连接OC，由OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，根据等边对等角的性质，可求得∠OCB与∠OCA的度数，即可求得∠ACB的度数，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数．
解答：解：连接OC，
∵OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，∴∠OCB=∠OBC=45°，∠OCA=∠OAC=15°，∴∠ACB=∠OCB﹣∠OCA=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°．
应选B．
点评：此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第
一象限内的图象经过OB边的中点C，那么点B的坐标是〔〕
A．〔1，〕B．〔，1〕C．〔2，〕D．〔，2〕
考
点：
反比例函数综合题．
分析：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为〔a，b〕〔a＞0〕，再求出b和a的关系和C点的坐标，由点C在双曲线上，求出a的值，进而求出B点坐标．
解答：解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为〔a，b〕〔a＞0〕，∵三角形OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
在Rt△BOA中，tan60°==，
∴b=a，
∵点C是OB的中点，
∴点C 坐标为〔，〕，∵点C 在双曲线上，
∴a2=，
∴a=2，
∴点B的坐标是〔2，2〕，应选C．
点评：此题主要考查反比例函数的综合题，解答此题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大．
14．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t〔s〕，△OEF的面积为s〔cm2〕，那么s〔cm2〕与t〔s〕的函数关系可用图象表示为〔〕
A ．B
．
C
．
D
．
考
点
：
动点问题的函数图象．
分析：由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到
BE=CF=t，那么CE=8﹣t，再根据正方形的性质的OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS〞可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形
OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣〔8﹣t〕•t，然后配方得到S=〔t ﹣4〕2+8〔0≤t≤8〕，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
解答：解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF〔SAS〕，
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四边形OECF=S△OBC =×82=16，
∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣〔8﹣t〕•t=t2﹣4t+16=〔t﹣4〕2+8〔0≤t≤8〕，
∴s〔cm2〕与t〔s〕的函数图象为抛物线一局部，顶点为〔4，8〕，自变量为0≤t≤8．应选B．
点评：此题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕把答案填在题中横线上．15．〔3分〕〔2021•临沂〕因式分解4x﹣x3=﹣x〔x+2〕〔x﹣2〕．
考
点：
提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-运用公式法．
专
题：
因式分解．
分
析：
先提出公因式，再用平方差公式因式分解．
解答：解：4x﹣x3
=﹣x〔x2﹣4〕
=﹣x〔x+2〕〔x﹣2〕．
故答案是：﹣x〔x+2〕〔x﹣2〕．
点
评：
此题考查的是因式分解，先提出公因式，再用平方差公式因式分解．16．〔3分〕〔2021•临沂〕分式方程的解是x=2．
考
点：
解分式方程．
专
题：
计算题．
分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程得到解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：2x﹣1=3〔x﹣1〕，去括号得：2x﹣1=3x﹣3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，那么△AEF的面积是3．
考
点：
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴AB•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2，
∴EF=AE=2，
过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•cos60°=3，
∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3．故答案为：3．
点评：此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
18．〔3分〕〔2021•临沂〕如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，那么腰长AB=．
考
点：
等腰梯形的性质；勾股定理．
分析：利用勾股定理列式求出BE的长，再利用∠CBD的正切值列式求出CD，然后根据等腰梯形的腰长相等解答．
解答：解：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，∴BE===4，
又∵BD⊥DC，
∴tan∠CBD==，
即=，
解得CD=，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=CD=．
故答案为：．
点评：此题考查了等腰梯形的两腰相等，勾股定理的应用，利用锐角三角函数求解更加简便．
19．〔3分〕〔2021•临沂〕对于实数a，b，定义运算“﹡〞：a﹡b=．例
如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．假设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，那么x1﹡x2=3或﹣3．
考
点：
解一元二次方程-因式分解法
专
题：
新定义．
分
析：首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．
解答：解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴〔x﹣3〕〔x﹣2〕=0，
解得：x=3或2，
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：3或﹣3．
点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据进行分类讨论是解题关键．
三、开动脑筋，你一定能做对！〔本大题共3小题，共21分〕
20．〔7分〕〔2021•临沂〕2013年1月1日新交通法规开始实施．为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取局部居民就“行人闯红灯现象〞进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯；B：偶尔闯红灯；C：经常闯红灯；D：其他〞四种情况，并根据调查结果绘制出局部条形统计图〔如图1〕和局部扇形统计图〔如图2〕．请根据图中信息，解答以下问题：
〔1〕本次调查共选取80名居民；
〔2〕求出扇形统计图中“C〞所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
〔3〕如果该社区共有居民1600人，估计有多少人从不闯红灯？
考
点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：〔1〕根据为A的人数与所占的百分比列式计算即可求出被调查的居民人数；
〔2〕求出为C的人数，得到所占的百分比，然后乘以360°，从而求出扇形统计图中“C〞所对扇形的圆心角的度数，然后补全条形统计图即可；
〔3〕用全区总人数乘以从不闯红灯的人数所占的百分比，进行计算即可得解．
解
答：
解：〔1〕本次调查的居民人数=56÷70%=80人；
〔2〕为“C〞的人数为：80﹣56﹣12﹣4=8人，
“C〞所对扇形的圆心角的度数为：×360°=36°
补全统计图如图；
〔3〕该区从不闯红灯的人数=1600×70%=1120人．
点评：此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据；扇形统计图直接反映局部占总体的百分比大小．
21．〔7分〕〔2021•临沂〕为支援雅安灾区，某学校方案用“义捐义卖〞活动中筹集的局部资金用于购置A，B两种型号的学习用品共1000件，A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
〔1〕假设购置这批学习用品用了26000元，那么购置A，B两种学习用品各多少件？〔2〕假设购置这批学习用品的钱不超过28000元，那么最多购置B型学习用品多少件？考
点：
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
分析：〔1〕设购置A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000，
20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论；
〔2〕设最多可以购置B型产品a件，那么A型产品〔1000﹣a〕件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．
解答：解：〔1〕设购置A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得
，
解得：．
答：购置A型学习用品400件，B型学习用品600件；
〔2〕设最多可以购置B型产品a件，那么A型产品〔1000﹣a〕件，由题意，得
20〔1000﹣a〕+30a≤28000，
解得：a≤800
答：最多购置B型学习用品800件．
点评：此题考查了列二元一次方程组合一元一次方程不等式解实际问题的运用，解答此题时找到等量关系是建立方程组的关键．
22．〔7分〕〔2021•临沂〕如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
〔1〕求证：AF=DC；
〔2〕假设AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
考
点：
全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
分析：〔1〕根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；
〔2〕得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
解答：〔1〕证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
∴△AFE≌△DBE〔AAS〕，
∴AF=BD，
∴AF=DC．
〔2〕四边形ADCF是菱形，
证明：∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
四、认真思考，你一定能成功！〔本大题共2小题，共18分〕
23．〔9分〕〔2021•临沂〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，假设BE=OE=2．
〔1〕求证：∠A=2∠DCB；
〔2〕求图中阴影局部的面积〔结果保存π和根号〕．
考
点：
切线的性质；扇形面积的计算
分析：〔1〕连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案；
〔2〕根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．
解答：〔1〕证明：连接OD，
∵AB是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴BE=OE=OD=2，
∴∠B=30°，∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=2∠DCB；
〔2〕解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，∴阴影局部的面积S=S△ODB﹣S扇形DOE=×2×2﹣=2﹣π．
点评：此题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，扇形的面积，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，主要考查学生综合性运用性质进行推理和计算的能力．
24．〔9分〕〔2021•临沂〕某工厂投入生产一种机器的总本钱为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台本钱y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的局部对应值如下表：
x〔单位：台〕10 20 30
y〔单位：万元∕台〕60 55 50
〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
〔2〕求该机器的生产数量；
〔3〕市场调查发现，这种机器每月销售量z〔台〕与售价a〔万元∕台〕之间满足如下图的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．〔注：利润=售价﹣本钱〕
考
点：
一次函数的应用．
分析：〔1〕设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；
〔2〕根据每台的本钱乘以生产数量等于总本钱建立方程求出其解即可；
〔3〕设每月销售量z〔台〕与售价a〔万元∕台〕之间的函数关系式为z=ka+b，运用待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．
解
答：
解：〔1〕设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴y=﹣x+65．
∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，
∴10≤x≤70；
〔2〕由题意，得
xy=2000，
﹣x2+65x=2000，
﹣x2+130x﹣4000=0，
解得：x1=50，x2=80＞70〔舍去〕．
答：该机器的生产数量为50台；
〔3〕设每月销售量z〔台〕与售价a〔万元∕台〕之间的函数关系式为z=ka+b，由函数图象，得
，
解得：，
∴z=﹣a+90．
当z=25时，a=65．
当x=50时，y=40
总利润为：25〔65﹣40〕=625万元．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价﹣进价的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
五、相信自己，加油呀！〔本大题共2小题，共24分〕
25．〔11分〕〔2021•临沂〕如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
〔1〕当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，那么的值为；
〔2〕现将三角板绕点P逆时针旋转α〔0°＜α＜60°〕角，如图2，求的值；
〔3〕在〔2〕的根底上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的
值是否变化？证明你的结论．
考
点：
几何变换综合题
分
析：
〔1〕证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；
〔2〕如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用〔1〕的结论，求得的值；
〔3〕如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值．与〔1〕〔2〕问相比拟，的值发生了变化．
解答：解：〔1〕∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF〔ASA〕，
∴PE=CF．
在Rt△PCF中，=tan30°=，
∴=．
〔2〕如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，那么PM⊥PN．∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴．
由〔1〕知，=，
∴=．
〔3〕答：变化．
证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，那么PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴=．
∴的值发生变化．
点评：此题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．此题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．
26．〔13分〕〔2021•临沂〕如图，抛物线经过A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，〕
三点．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
〔3〕点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由．
考
点：
二次函数综合题．
专探究型．
题：
分析：〔1〕设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〕，再把A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C 〔0，〕三点代入求出a、b、c的值即可；
〔2〕因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为〔5，0〕，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
〔3〕分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
解答：解：〔1〕设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〕，
∵A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，〕三点在抛物线上，∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；
〔2〕∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
连接BC，如图1所示，
∵B〔5，0〕，C〔0，﹣〕，
∴设直线BC的解析式为y=kx+b〔k≠0〕，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
当x=2时，y=1﹣=﹣，
∴P〔2，﹣〕；
〔3〕存在．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C〔0，﹣〕，
∴N1〔4，﹣〕；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N作ND⊥x轴于点D，
在△AND与△MCO中，
∴△AND≌△MCO〔ASA〕，
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为．
∴x2﹣2x﹣=，
解得x=2+或x=2﹣，
∴N2〔2+，〕，N3〔2﹣，〕．
综上所述，符合条件的点N的坐标为〔4，﹣〕，〔2+，〕或〔2﹣，〕．
点评：此题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答〔3〕时要注意进行分类讨论．。