北京市东城区2018届九年级上学期期末考试数学试题

北京市东城区2021届九年级上学期期末考试数学试题
一、选择题〔此题共16分，每题2分〕
1. 以下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是〔〕
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．解：A、
是中心对称图形但不是轴对称图形，故正确；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故错误；
D、不是中
心对称图形，不是轴对称图形，故错误．应选：A．
【点评】此题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
边长为2的正方形内接于⊙M，那么⊙M的半径是〔〕
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．解：连接OB，
OC，那么OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，OC= ．
应选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，此题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问
题．
3. 假设要得到函数y=〔x+1〕2+2的图象，只需将函数y=x2的图象〔〕
先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
解：∵抛物线y=〔x+1〕2+2的顶点坐标为〔﹣1，2〕，抛物线y=x2的顶点坐标为〔0，0〕，∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=〔x+1〕2+2．
应选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．
4. 点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕都在反比
例函数
x1＜x2＜0，那么
的图象上，
假设
∴〔〕
∴A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
∴【分析】由k=2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结
∴果．
∴解：∵k=2＞0，
∴∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∴x1＜x2＜0，
∴∴点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕位于第三象限，
y2＜y1＜0，
应选：C．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5. A，B是⊙O上的
两点，OA
=1，
的
长是
，那么∠AOB的度数是
〔
〕
A．30
B．60°C．90°
D．120°
【分析】直接利用条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．
解：∵OA=1，的长是，
∴，
解得：n=60°，
∴∠AOB=60°，应选：B．
【点评】此题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．
△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，假设△DEF的面积是2，那么△ABC的面积是〔〕
A．2
B．4C．6D．8
【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得
=〔〕2，即=，据此可得答案．
解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
=，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴=〔〕2，即=，
解得：S△ABC=8，应选：D．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似
比的平方是解题的关键．
7.函数y=﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是〔〕
A.B．
C．D．
【分析】根据条件“a＜0、b＞0、c＜0〞判断出该函数图象的开口方向、与x
和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．解：∵a=
1＜0，b＞0，c＜0，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴
上；应选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数〔n〕成活数〔m〕成活率移植棵数成活数〔m〕成活率
〔m/n〕〔n〕〔m/n〕504715001335
27023535003203
40036970006335
7506621400012628
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以
估计树苗成活的概率是；
③假设小张移植10000棵这种树苗，那么可能成活9000棵；④假设小张移植20000棵这种树苗，那么一定成活18000棵．其中合理的
是〔〕
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计树苗成活的概率是，据此进行判断即可．
解：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，这种树苗成活的概率不一定是
，故错误；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，故正确；
③假设小张移植10000棵这种树苗，那么可能成活9000棵，故正确；④假设小张移植20000棵这种树苗，那么不一定成活18000棵，故错误．应选：C．
【点评】此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二、填空题〔此题共16分，每题2分〕
在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=6，那么AC=2．
【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC 的长．
解：在△ABC中，∠C=90°，
cosA=，
cosA=，AB=6，
AC=AB=2，
故答案为2．
【点评】此题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
10.假设抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：
2．
【分析】根据抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点得出b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，求出不等式
的解集，再取一个范围内的数即可．
解：因为要使抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，必须b2﹣4ac=22﹣4×1×c＜0，解得：c＞1，
取c=2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，能根据得出关于c的不等式是解此题的关键．
如图，在平面直角坐标系xOy中，假设点B与点A关于点O中心对称，那么点B
的坐标为〔2，﹣1〕．
【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B点位置即可．解：∵A〔﹣2，1〕，点B与点A关于点O中心对称，
∴点B的坐标为〔2，﹣1〕，故答案为：
〔2，﹣1〕．
【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称
或中心对称，这个点叫做对称中心．
如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．假设CD=1，AB=4，那么
⊙O的半径是．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．解：连接OA，∵C是AB的中点，
AC=AB=2，OC⊥AB，
∴OA22+AC2，即OA2〔﹣〕2+22，
=OC=OA1
解得，OA=，故答案为：
13.．
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平
分线
23.是解答此题的关键．
某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上〔如图〕．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB，OA的长分别
为，，观测点O到旗杆的距离OE为6m，那么旗杆MN的高度为15m．
【分析】由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
可得△ABO∽△NEO，利用对应边成比例可得旗杆MN的高度．
解：∵AB∥NE，
∴△ABO∽△NEO，
∴，
即，
解得：NE=14，
MN=14+1=15，
故答案为：15
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形的一边的直线与其他两
边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
14.⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，那么正确结论的序号是②⑤．
①AB=AD；②BC=CD；③；④∠BCA=∠DCA；⑤．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
解：①∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本结论错误；
②∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本结论正确；
③∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本结论错误；④∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本结论错误；
⑤∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴，故本结论正确．故答案为
②⑤．
【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，那么实数a的取值范围是
a≥1．
【分析】结合函数y=x2﹣2x﹣3的图象和性质，及中当﹣1≤x≤a时函数的最小值为﹣
4，可得实数a的取值范围．
解：函数y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4的图象是开口朝上且以x=1为对称轴的抛物线，当且仅当x=1时，函数取最小值﹣4，
∵函数y=x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，
a≥1，
故答案为：a≥1
【点评】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．如图，在平面直角坐标系xOy中，A〔8，0〕，C〔0，6〕，矩形OABC
的对角线交于点P，点M在经过点P的函数y=的图象上运动，k的
值为12
，OM长的最小值为．
【分析】先根据P〔4，3〕，求得k=4×3=12，进而得出y=，再根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，OM最短，即当x=y时，x=，解得x=±2，进而得到OM的最小值．
解：∵A〔8，0〕，C〔0，6〕，矩形OABC的对角线交于点P，
∴P〔4，3〕，
代入函数y=可得，k=4×3=12，
∴y=，
∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动，
∴根据双曲线的对称性可得，当点M在第一象限角平分线上时，
当x=y时，x=，
解得x=±2，又∵x＞0，OM
最短，
x=2，
M〔2，2〕，
∴OM==2，
故答案为：12，2．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
三、解答题〔此题共68分，第17-24题，每题5分，第25题6分，第26-27，
每题5分，第28题8分〕
17．〔5分〕计算：2cos30﹣°2sin45+3tan60°°+|1﹣|．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．
解：原式=2×﹣2×+3+﹣1，
﹣+3+﹣1，
=4 ﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．
18．〔5分〕等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的顶角和底角的度数．
【分析】画出相应图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．解：〔1〕圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．
∴∠BDC=∠BOC=50°，
∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°；
AB=AC，
∴∠ABC=〔180°﹣∠BAC〕÷2=25°；
2〕圆心O在△ABC内部．∠BAC=∠BOC=50°，
AB=AC，
∴∠ABC=〔180°﹣∠BAC〕÷2=65°．
【点评】此题考查的是三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决此题的易错点；
用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．
19．〔5分〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．
1〕求证：△ADE∽△BEC．
2〕假设AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．
【分析】〔1〕由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；
2〕根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB=AE+BE即可求出AB的长度．
1〕证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，
AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC．
2〕解：∵△ADE∽△BEC，∴=，即=，
∴BE=，
∴AB=AE+BE=．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：
〔1〕利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；〔2〕利用相似三角形的性质求出
BE的长度．
20．〔5分〕在△ABC中，∠B=135°，AB=，BC=1．
1〕求△ABC的面积；
2〕求AC的长．
【分析】〔1〕延长CB，过点A作AD⊥BC，利用三角函数求出AD，根据三角形的面积公式计算即可；
〔2〕等腰直角三角形的判定与性质得到AD=DB=2，进一步得到DC，再根据勾股定理即可求解．
解：〔1〕延长CB，过点A作AD⊥BC，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△ABD中，AB=，∠ABD=45°，∴AD=AB×sin45°=2，
∴△ABC的面积=×BC×AD=1；
2〕∵∠ABD=45°，∠D=90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AD=2，
∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，
在Rt△ACD中，AC==．
【点评】此题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题
的关键．
21．〔5分〕北京2021新中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化〔生物和化学〕、体育九门课程．语文、数学、外语、体育为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化〔生物和化学〕五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．
〔〕1写出所有选考方案〔只写选考科目〕；
〔〕2从〔1〕的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．
【分析】〔1〕根据题意可以写出所有的可能性；
2〕根据〔1〕中的所有可能即可求得从〔1〕的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史
的概率．
解：〔1〕由题意可得，所有的可能性是：
〔物理、历史、地理〕、〔物理、历史、思想品德〕、〔物理、历史、生化〕、
〔物理、地理、思想品德〕、〔物理、地理、生化〕、〔物理、思想品德、生化〕、〔历史、地理、生化〕、〔历史、思想品德、生化〕、〔地理、思想品德、生化〕；〔2〕从〔1〕的结果中随机选择一种方案，该方
案同时包含物理和历史的概率是
即从〔1〕的结果中随机选择一种方案，该方案同时包含物理和历史的概率是．
【点评】此题考查列表法与树状图法，解答此题的关键是明确题意，写出所有的可能性，
求出相应的概率．
22．〔5分〕如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A'BC'，其中点A'，C'分别是点A，C的对应点．
〔〕1作出△A'BC'〔要求尺规作图，不写作法，保存作图痕迹〕；
〔〕2连接AA'，求∠C'A'A的度数．
【分析】〔1〕直接利用等边三角形的性质得出对应点位置进而得出答案；
〔2〕直接利用等边三角形的判定方法△ABA′为等边三角形，得出进而得出答案．解：〔1〕如下列图：△A'BC'即为所求；
2〕在Rt△ABC中，∵∠C=30°，∠A=90°，∴∠B=60°，
∵△A′B′由C△′ABC旋转所得，
∴△A′B′≌△C′ABC，
BA=BA′，∠BA′C′=∠BAC=90°，
∴△ABA′为等腰三角形，又
∵∠ABC=60°，
∴△ABA′为等边三角形，
∴∠BA′A=60，°
∴∠C′A′∠A=BA′C+′∠BA′A=150．°
（【点评】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是
（解题关键．
（23．〔5分〕如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线
是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h〔单位：m〕与飞行时间t〔单位：
（s〕之间具有函数关系h=20t﹣5t2．
（1〕小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
2〕小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
【分析】〔1〕将函数解析式配方成顶点式可得最值；
〔2〕画图象可得t的取值．
解：〔1〕∵h=﹣5t2+20t=﹣5〔t﹣2〕2+20，
∴当t=2时，h取得最大值20米；
答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；
〔2〕由题意得：15=20t﹣5t2，解得：
t1=1，t2=3，
由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，
那么小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．
【点评】此题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与反比例函数y=〔k≠0〕
的图象交于点A〔﹣3，a〕和点B．
〔1〕求反比例函数的表达式和点B的坐标；
〔2〕直接写出不等式＜2x+4的解集．
【分析】〔1〕把A〔﹣3，a〕代入y=2x+4，可得A〔﹣3，﹣2〕，把A〔﹣3，﹣2〕代入y=，
可得反比例函数的表达式为y=，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到B的坐
标；
2〕在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，反比例函数落在一次函数图象下方的部
分对应的自变量的取值范围就是不等式＜2x+4的解集．
解：〔1〕把A〔﹣3，a〕代入y=2x+4，可得a=﹣2，
∴A〔﹣3，﹣2〕，
把A〔﹣3，﹣2〕代入y=，可得k=6，
∴反比例函数的表达式为y=．
（解方程组，得或，
（
（∴B〔1，6〕；
（
（
2〕在平面直角坐标系中画出直线y=2x+4与双曲线y=，如图．由图象可知，不等式＜2x+4的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，方程组无解，那么两者无交点．由函数图象比较函数大小，利用数形结合是解题的关键．
25．〔6分〕如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于点D，E．DF是⊙O的切线，交AC于点F．
1〕求证：DF⊥AC；
2〕假设AE=4，DF=3，求tanA．
【分析】〔1〕连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，
∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可证明；
〔2〕过O作OG⊥AC，利用垂径定理和矩形的性质解答即可．
〔1〕证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
，
OB=OD，
∴∠ODB=∠B，又
AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
DF⊥AC，∴∠DFC=90°，
∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF⊥AC；
〔2〕过O作OG⊥AC，
由垂径定理可知：OG垂直平分AE，
∴∠AGO=90°，AG=2，
由〔1〕可知：四边形ODFG为矩形，
OG=DF=3，
在Rt△AGO中，tanA=．
【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角
形的应用，要熟练掌握．
26．〔7分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+n〔m≠0〕与x轴交于点A，B，点A 的坐标为〔﹣2，0〕．
1〕写出抛物线的对称轴；
2〕直线y=x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．
①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y=x+a和l2：y=﹣x+b组成图形
G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．
【分析】〔1〕由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；
2〕①根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；
②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．
解：〔1〕∵抛物线所对应的函数表达式为y=mx2﹣2mx+n，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1．
〔2〕①∵抛物线是轴对称图形，
∴点A、B关于直线x=1对称．
∵点A的坐标为〔﹣2，0〕，
∴点B的坐标为〔4，0〕．
∵抛物线y=mx2﹣2mx+n过点B，直线y=x﹣4m﹣n过点B，
，
∴直线所对应的函数表达式为y= x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+4．
②联立两函数表达式成方程组，，
解得：，．
∵点B的坐标为〔4，0〕，
∴点C的坐标为〔﹣3，﹣〕．
当直线l2：y=﹣x+b1过点B时，0=﹣4+b1，解得：b1=4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x+4，当x=1时，y=
x+4=3，
∴点P1的坐标为〔1，3〕；
当直线l2：y=﹣x+b2过点C时，﹣=3+b2，解得：b2=﹣
，
∴此时直线l2所对应的函数表达式为y=﹣x﹣，当x=1时，
y=﹣x﹣=﹣，
∴点P2的坐标为〔1，﹣〕．
∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．
（【点评】此题考查了二次函数的性质、一次〔二次〕函数图象上点的坐标特征以及抛物线（与x轴的交点，解题的关键是：〔1〕利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴；〔2〕（①利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m、n （的二元一次方程组；②利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时点P
的
（坐标．
（27．〔7分〕如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，以点B为圆心，
为半径作
（圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：
（PC=1：，连接BP，AP'．
（1〕求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；
（2〕假设点P在AB上时，
（①在图2中画出△AP′C；
（②连接BP'，求BP'的长；
3〕点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？假设有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；假设没有，请说明理由．
【分析】〔1〕①利用锐角三角函数求出∠BAC，
②先判断出=，再判断出∠P'CA=PCB，即可得出结论；
2〕①利用垂直和线段的关系即可画出图形；
②先求出∠P'AC，进而得出∠P'AB=90°，再利用相似求出AP'，即可得出结论；
3〕先求出AP'=1是定值，判断出点P'在以点A为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．解：〔1〕
①在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，
∴tan∠BAC==，
∴∠BAC=60°；
②∵，= =，∴，
P'C⊥PC，
∴∠PCP'=∠ACB=90°，
∴∠P'CA=PCB，
∴△AP'C∽△BPC；
〔2〕①如图1所示；
②如图2，由〔1〕知，∠BAC=60°，
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，
∴AB=2AC=4，
∵△AP'C∽△BPC，
∴∠P'AC=∠PBC=30°，
∵点P在AB上，
，
BP=，
AP'=1；
连接P'B，
∠P'AB=∠CAP'+∠BAC=30°+60°=90°，
在Rt△P'AB中，AP'=1，AB=4，根据勾股定理得，BP'==；
〔3〕由〔1〕知，△AP'C∽△BPC，
∴，
∴
AP'=1是定值，
∴点P'是在以点A为圆心，半径为AP'=1的圆上，
①如图3，
点P'在BA的延长线上，此时，BP'取得最大值，∴∠P'AC=180°﹣∠BAC=60°，
∵△AP'C∽△BPC，
∴∠P'AC=PBC=120°，
BP'取得最大值时，∠PBC=120°；
②如图4，点P'在线段AB上时，BP'取得最小值，
∵△AP'C∽△BPC，
∴∠PBC=∠BAC=60°，
∴BP'取得最小值时，∠PBC=60°．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三
角形的判定和性质，圆的性质，判断出△AP'C∽△BPC是解此题的关键．
28．〔8分〕对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，假设在图形G上存在一点N，使M，N两
点间的距离等于1，那么称M为图形G的和睦点．
〔1〕当⊙O的半径为3时，在点P1〔1，0〕，P2〔，1〕，P3〔，0〕，P4〔5，
0〕中，⊙O的和睦点是P2、P3；
〔2〕假设点P〔4，3〕为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；
〔3〕点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．点E〔，〕，假设线段OE上的所有点都是正方形ABCD的
和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．
【分析】〔1〕分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，假设与⊙O有交点，那么P是，⊙O的和睦点；
2〕如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．满足条件的⊙O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当OA=4时，得到r的最小值为4，当OB=6时，得到r的最大值为6；
3〕分两种情形画出图形分别求解即可解决问题；
解：〔1〕如图1中，分别以点P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，假设与⊙O有交点，那么P 是，⊙O的和睦点，
观察图象可知，⊙O的和睦点是P2、P3．故答案为：
P2、P3．
〔2〕如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．
P〔4，3〕，∴OP=5，
满足条件的⊙O必须与以P为圆
心半径为1的圆相交或相切，当
OA=4时，得到r的最小值为4，
当OB=6时，得到r的最大值为
6，∴4≤r≤6．
〔3〕①如图3中，当点O到C′D的′距离OM=1时，此时点A′的横坐标为﹣3．当点E到CD的距离EN=1时，此时点A的横坐标为﹣5，
∴﹣5≤x A≤﹣3时，满足条件；
②〕①如图3中，当点O到A′B的′距离OM=1时，此时点A′的横坐标为1
当点E到AB的距离EN=1时，点A的横坐标
为﹣1，
∴﹣1≤x A≤1时，满足条件；
综上所述，满足条件的当A的横坐标的取值范围为：﹣5≤x A≤﹣3或﹣1
x A≤1．
【点评】此题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键
是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。