八年级初二数学上册 12.2 三角形全等的判定(第4课时) 【教学课件PPT】

AB=A′B′,
A
C
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′角三角形是否全等,不全等画“×”,
全等注明理由:
（1）一个锐角和这个角对边对应相等; （ A）AS
（2）一个锐角和这个角邻边对应相等; （ AAS或A）SA
（3）一个锐角和斜边对应相等;
AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,△ABC≌
C
△DEF 吗?
我们知道,证明三角形全等 F 不存在SSA定理.
探究新知 B
A E
D
想一想
如果这两个三角形都是直
C
角三角形,即∠B=∠E=90°,
且AC=DF,BC=EF,现在能
判定△ABC≌△DEF吗?
F
探究新知
任意画出一个Rt△ABC ,使∠C=90°.再画一个 Rt△A ′B ′C ′,使∠C′=90 ° , B′C′=BC , A ′B ′=AB ,把画 好Rt△A′B′ C′ 剪下来,放到Rt△ABC上,它们能重合吗?
（4）连接A′B′.
思考:通过上面探究,你能得出什么结论?
探究新知
“斜边、直角边”判定方法
“SSA”可以判定两个直
角三角形全等,但是“边边”
文字语言:
指是斜边和一直角边,而
斜边和一条直角边对应相等两个直角“三角角”形指是全直等角（. 简
写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言:
B
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中,
什么条件?把这些条件都写出来,并在相应括号内填写出判定 它们全等理由.
（1） AD=BC
（ HL ）
（2） BD=AC
（ HL ）
（3）∠ DAB= ∠ CBA （ AAS ）
（4） ∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ）
D A
C B
探究新知
变式题2
如图,AC,BD相交于点P , AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为
C,D , AD=BC.求证:AC=BD. HL
D
C
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
探究新知
变式题3
如图:AB⊥AD,CD⊥BC , AB=CD ,判断AD和BC位置关系.
A
HL
B
Rt△ABD≌Rt△CDB ∠ADB=∠CBD
AD∥BC
D C
巩固练习
如图,在△ABC中,AB＝CB,∠ABC＝90°,F为AB延 长线上一点,点E在BC上,且AE＝CF.求
人教版 数學 八年级 上册
12.2 三角形全等判定 （第4課时）
导入新知
舞台背景形状是两个直角三角形,工作人员想知道两个直角三角形 是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.
(1) 你能帮他想个办法吗? 根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角. 根据SAS可测量其余两边与这两边夹角.
导入新知
（2）如果他只带一个卷尺,能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住直角边和斜边,发现
它们分别对应相等。于是,他就肯定“两个直角三角形是全等 ”.
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等. 你相信这个结论吗? 让我们来探究一下吧！
素养目标
2. 能运用三角形全等判定方法判断两个直 角三角形全等.
1. 探究直角三角形全等判定方法.
探究新知 知识点 三角形全等判定——“HL”定理
旧知回顾 我们學过判定三角形全等方法.
SSS ASA SAS AAS
探究新知 B
思考
A
C
如图,Rt△ABC中,∠C =90°,直角边是_____、AC_____, 斜BC边是______. AB
想一想
前面學过四种判定三角形全等方法,对直角三角 形是否适用?
A
B
C
探究新知
画图思路
N A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′N=90°.
探究新知
画图思路
N
A
B
C M B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.
探究新知
画图思路
N
A
A′
B
C M B′
C′
（3）以点B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于A′.
探究新知
画图思路 N
A
A′
B
C M B′
C′
探究新知
A
A′
问题 1.两个直角三角形中,斜边
和一个锐角对应相等,这两
个直角三角形全等吗?为什
么?
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中,有一条直角边和一锐角对应相
等,这两个直角三角形全等吗?为什么?
3.两个直角三角形中,两直角边对应相等,这两个直角
三角形全等吗?为什么?
探究新知 B
A E
D
想一想
如图,已知
探究新知
方法点拨
证明线段相等可通过证明三角形全等解决, 作为“HL”公理就是直角三角形独有判定方 法．所以直角三角形判定方法最多,使用时应该 抓住“直角”这个隐含已知条件．
巩固练习
如图,已知AE⊥BC,DF⊥BC,E,F是垂足,AE＝
DF,AB＝DC,求证:AC＝DB. 证明:AE⊥BC,DF⊥BC, ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DCF中, AE=DF , AB＝DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), ∴∠ABC＝∠DCB. 在△ABC和△DCB中, AB＝ DC,∠ABC＝∠DCB, BC ＝CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS), ∴AC＝DB .
应用“HL”前提条件 是在直角三角形中.
D
C
AB=BA,
这是应用“HL”判
AC=BD .
定方法书写格式. A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). 利用全等证明两条线段
∴ BC﹦AD.
相等,这是常见思路.
探究新知
变式 题 1
如图,∠ACB =∠ADB=90 ° ,要证明△ABC≌△BAD,还需一个
证:Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明:在Rt△ABE和Rt△CBF 中,∠ABE＝∠CBF＝90°, ∵AB＝CB,AE＝CF , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
探究新知
例2 如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE高,如 果AD＝AF,AC＝AE. 求证:BC＝BE.
证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE高,且AD＝AF,AC ＝AE, ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF,AB＝AB, ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.
（ AAS）
（4）两直角边对应相等;
（ SAS）
（5）一条直角边和斜边对应相等.
（HL ）
探究新知
素养考点 1 利用“HL”定理判定直角三角形全等
例1 如图,AC⊥BC, BD⊥AD, AC﹦BD. 求证:BC﹦AD.
证明: ∵ AC⊥BC, BD⊥AD, ∴∠C与∠D 都是直角.
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中,