高考数学第07周数列周末培优试题理新人教A版(2021学年)

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第０7周 数列
（测试时间：6０分钟，总分：90分）
班级:_＿_＿_＿_____＿ 姓名:＿_______＿___ 座号：_＿＿________＿ 得分:__＿_
＿_______
一、选择题（本题共9小题,每小题５分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
１．等差数列{}n a 满足122,3n n a a a +=-=,则2a = A ．5
ﻩ ﻩ ﻩ B.52
C ．72
ﻩ
ﻩ D.32
【答案】Ｃ
【解析】由题意可知等差数列的公差为32，所以217
2
a a d =+=,选C 。

2.数列{}n a 满足111,21,n n a a a +==-则1000a = A ．1 ﻩﻩﻩ
B.１99９
Ｃ．１000 ﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ D.−1
【答案】A
【解析】121n n a a +=-()1110001000121,10,10,1n n a a a a a +⇒-=--=∴-==,选A 。

【名师点睛】（１）形如1n n a pa q +=+的递推关系式可以化为()1n n a x p a x ++=+的形式，构成新的数列,进而求出通项公式，解题中求变量x 是关键,可由待定系数法确定。

（２）形如1n
n n Aa a Ba C
+=+（A ,B ,C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列
求解.
3．在等比数列{｝中,若＝2，＝16,则{}的前5项和等于 A.３０
ﻩ B ．3１
C.6２ ﻩ ﻩﻩﻩ
Ｄ．6４
【答案】C
【解析】由题意可得，3418,2a
q q a ===，所以()
5
52126212
S -==-,选C ．
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2718,a a =-则8S = A.1８ ﻩ
ﻩﻩﻩﻩﻩB ．36
C ．5４ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ
D ．72
【答案】Ｄ
【解析】2718a a =-，271818a a a a ∴+==+,()()1881884418722
a a S a a +∴=
=+=⨯=，故选D 。

5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=,则下列关于{}n a 的论断中正确的是
A.一定是等差数列 ﻩﻩﻩ ﻩ
B.一定是等比数列
Ｃ．可能是等差数列,但不会是等比数列 ﻩD ．可能是等比数列，但不会是等差数列 【答案】Ｃ
【名师点睛】给出S n 与ａn 的递推关系，求ａｎ,常用思路是：一是利用()12n n n S S a n --=≥转化为a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 之间的关系，再求a n 。

６．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,则23
1
a a a += A.4
ﻩﻩ ﻩﻩB ．6
Ｃ．８ ﻩ ﻩ
ﻩ
Ｄ．10
【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,∵124,,S S S 成等比数列，∴2214S S S =，即
()
()2
111246a d a a d +=+，解方程可得12d a =，故
2311
11
358a a a a a a ++==,故选C 。

７．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走3７８里路,第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”。

则该人第五天走的路程为 A ．48里 ﻩ ﻩﻩ
B ．24里
C ．12里 ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩＤ．６里 【答案】Ｃ
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列求和公式,属于中档题。

与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的实例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答,解答本题的关键是将古代数学著作问题转化为等比数列求和问题。

8.已知数列{}n a 的通项为()()143n
n a n =--,则数列{}n a 的前50项和50T = A ．98 ﻩ
ﻩﻩ Ｂ.99
Ｃ.100 ﻩ ﻩ D ．101
【答案】C
【解析】数列{a n }的通项为()()143n
n a n =--，前５0项和501591317197T =-+-+-+
+=()15-++
()()()91317211931974444425100-++-+++-+=+++
+=⨯=,本题选择Ｃ选项.
【名师点睛】(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．
9．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时,其前n 项和n S 满足()2
1n n n S a S =-，
设22
log n
n n S b S +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则满足6n T ≥的最小正整数n 是 A.12 ﻩﻩ ﻩ ﻩﻩB ．１1 C ．10 ﻩ ﻩ
ﻩD ．9
【答案】C
数列{b n ｝的前n 项和为22
22
234512
log log log log log 123
1n n n T n n
++=+++++-
()()22
1234512log log 123
12
n n n n n n ++++⎛⎫
=⨯⨯⨯
⨯⨯= ⎪-⎝⎭， 由6n T ≥,即()()2
12log 6
2
n n ++≥,解得()()7122n n ++≥，
令()2
2
31312612824f x x x x ⎛
⎫=+-=+-- ⎪⎝
⎭，可得:f (x )在[1,+∞)上单调递增,且f (9)＝−18
〈０，f （10）=4〉0，
若*x ∈N ，则10n ≥。

则满足6n T ≥的最小正整数n 是１0． 本题选择C 选项.
二、填空题(本题共3小题,每小题５分,共15分) 1０．若等比数列
的前项和为,且,,则____＿_____＿_。

【答案】511
【解析】由等比数列的性质可得：
,即： ,解得：
．
11.设等差数列{}n a 的公差是d ,其前n 项和是n S ，若11a d ==,则8
n n
S a +的最小值是____＿＿＿_____.
【答案】92
【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ,前ｎ项和为n S ,且11a d ==，∴()
2
1,2
n n S n n a n =+=, ∴2816819
2222
n n S n n n a n n +++==++≥（当且仅当n ＝4时取等号).
故答案为：9
2
.
【名师点睛】本题考查数列与不等式的综合 ,等差数列的通项公式 ,等差数列的前ｎ项和以及数列与不等式的应用,等差数列的通项公式以及求和公式的应用，主要考查转化思想以及计算能力.
１2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:()*21n n S a n =-∈N ，则该数列的第５项等于____＿＿____
＿_. 【答案】1６
【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有：①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
三、解答题(本大题共３小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.已知数列
是首项
,公比
的等比数列．设()*13
2log 1n n b a n =-∈N .
（1)求证:数列{}n b 为等差数列; （2)设2n n n c a b =+,求数列
的前项和.
【答案】(１）证明见解析;(2）2
*1112()223n
n T n n n ⎛⎫
=++-⋅ ⎝∈⎪⎭N 。

【解析】（1）由已知得：1
111333n n
n a -⎛⎫
⎛⎫=⋅= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以1312log 1213n
n b n ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
*()n ∈N 。

则()1211212n n b b n n +-=+--+=．
所以数列{}n b 是以为首项,为公差的等差数列.
【名师点睛】一个等比数列{}n a ，当0n a >时,{}log (0,1)a n a a a >≠是等差数列；一个等差数列{}n a ，{}n
a a 是等比数列.以上两个通过指数、对数,达到等差与等比数列的相互转化，
对于通项由等比数列与等差数列构成的数列,一般用分组求和法进行求解． １4.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,已知13a =,123n n a S +=+()*n ∈N 。

(1）求数列{}n a 的通项公式;
(2)令()21n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n T 。

【答案】(1）3n n a =;(２)()1133n n T n +=-⋅+。

【解析】（１）当2n ≥时,由123n n a S +=+,得123n n a S -=+, 两式相减，得11222n n n n n a a S S a +--=-=, 13n n a a +∴=,
1
3n n
a a +∴
=, 当1n =时，12113,23239a a S a ==+=+=,则
2
1
3a a =。

∴数列{}n a 是以13a =为首项, 公比为3的等比数列.
1333n n n a -∴=⨯=.
(2)解法一:由(1）得()()21213n n n b n a n =-=-⋅, ()23133353213n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+
+-⋅， ①
()23413133353213n n T n +=⨯+⨯+⨯+
+-⋅， ②
①−②得()231213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⋅
(
)
()23132333213n n n +=+⨯++
+--⋅
(
)()21
1
31332213
13
n n n -+-=+⨯
--⋅-
()16223n n +=---⋅。

()1133n n T n +∴=-⋅+。

解法二：由(1）得()()21213n n n b n a n =-=-⋅， 而()()()12131323n n n n n n +-⋅=-⋅--⋅, 123n n T b b b b ∴=+++
+
()()()
()()343103302331323n n
n n +⎡⎤=++-+⨯-+
+-⋅--⋅⎣⎦
()1133n n +=-⋅+.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列求和，其中解答中涉及等比数列的概念、等比数列的通项公式，乘公比错位相减法求和等知识点综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力和转化与化归思想,本题解答中根据等差数列和数列求和的方法，准确计算是解题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题。

1５．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21n n S a =-。

(1）求数列{}n a 的通项公式； (2）设11
11
n n n n n a a
b a a ++=
-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：13n T <。

【答案】（1(2)见解析.
（2）111
11
1111
33111131311133n n n n n n n n n n n a a b a a +++++=-=-=-+-+-+-. 又111111
313313
n
n n n ++<>+-，, 所以111
313133
n n n n n b ++=-<-+-,
所以122231111111
11133333333
n n n n n T b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为11
03n +-
<, 所以1111333n +-<，即13
n T <．
【名师点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ,常用思路是:一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为n S 的递推关系,先求出n S 与n 之间的关系,再
求n a . 应用关系式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩时,一定要注意分1,2n n =≥两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否能整合在一起.
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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2017-2018学年高考数学第07周数列周末培优试题理新人教A版
杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候,阅读一文或者做一道题却让我们静下心来,回归自我。

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