2022-2023学年广东省五校2023届高三上学期期末联考数学试卷含答案

广东五校2022-2023高三上学期期末联考
数学卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1.在复数范围内，方程2
10x +=的两根在复平面内对应的点关于（）
A.直线y x =-对称
B.直线y x =对称
C.y 轴对称
D.x 轴对
称
2.已知集合{}
2N log 2A x x =∈≤，
{
}
327x
B x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知31≤-≤b a ，37a b ≤+≤，则5a b +的取值范围为（
）
A.[]
15,31 B.[]
14,35 C.[]
12,30
D.[]
11,274.有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）
A.96种
B.124种
C.150种
D.130种
5.已知数列{}n a 的前n 项和组成的数列{}n S 满足11S =，25S =，21320n n n S S S ++-+=，则数列{}n a 的通项公式为（）
A.1
2
n n a -= B.1
1,1
22,2
n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩C.1,12,2
n n
n a n =⎧=⎨≥⎩ D.2n
n a =6.函数()()cos φf x A x ω=+（0ω>，ππ
φ22
-
<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（
）
A.函数()f x 的最小正周期是3
π
2 B.函数()f x 在π7π,1212⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减
C.函数()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 D.将函数()f x 的图象向左平移
π
3
后得到关于y 轴对称
7.设1F ，2F 分别为双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，A 为双曲线的
左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且120MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（
）
A
.
21
3
B.
C.
72
D.
3
8.已知函数()f x ，x ∀，y ∈R ，有()()()()()f x y f x f a y f y f a x +=⋅-+⋅-，其中0a ≠，()0f a ≠，则下列说法一定正确的是（）
A.4a 是()f x 的一个周期
B.()f x 是奇函数
C.()
f x 是偶函数
D.()1
f a =二、多选题（每题5分，共20分；选对5分，漏选2分，错选0分）
9.已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是1a ，1b ，
1c ，1d ，数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是2a ，2b ，
2c ，2d ，且满足()311,2,3,,i i y x i n =-= ，则下列结论正确的是（
）
A.2131b b =-
B.21a a =
C.21
9c c = D.2131
d d =-10.向量,,a b c 满足2a b == ，2a b ⋅=-
，,60a c b c <-->=︒r r r r ，则c r 的值可以是（
）
A.3
B.6
C.4
D.11.已知球O 的半径为4，球心O 在大小为45 的二面角l αβ--内，二面角l αβ--的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，若两圆1O ，2O 的公共弦AB 的长为4，
E 为AB 的中点，四面体12OAO O 得体积为V ，则一定正确的是（）
A.O ，E ，1O ，2O 四点共圆
B.OE =
C.
12O O =
D.V 的最大值为1
-12.已知函数()1
e ln x
f x x -=+，则过点(),a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条
件可以是（
）
A.211b a =->
B.()b f a =
C.()
21a b f a -<< D.211
b a <-≤-第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13.若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.14.
若()
()10
10
21i
i i x a x =+=-∑，则9a =______．
15.已知a ，b 都是正数，则
552332a b
a b a b
+++的最小值是______．
16.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长是3，E 是1DD 上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，2EF =，则1PB PQ +的最小值是______．
四、解答题（共70分）
17.已知()sin ,cos m t αα=- ，()
1,sin n t α=-+
（1）0=t 时，求m n ⋅
的取值范围；
（2）若存在t ，使得1m n ⋅=
，求t 的取值范围．
18.已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．
（1）写出3S 的最大值和最小值；
（2）是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，
说明理由．
19.已知两个四棱锥1P ABCD -与2P ABCD -的公共底面是边长为2的正方形，顶点1P 、
2P 在底面的同侧，棱锥的高1122PO P O ==，1O 、2O 分别为AB 、
CD 的中点，1PD 与2P A 交于点E ，1
PC 与2P B 交于点F ．
（1）求1
PE 的长；（2）求这两个棱锥的公共部分的体积．
20.某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分．现有12人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的概率分别为m ，0.5，每人过关的概率为p ．（1）求p （用m 表示）；
（2）设这12人中恰有9人通过射击比赛过关的概率为()f p ，求()f p 取最大时p 和m
的值；
（3）在（2）的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数．21.已知平面内两点()0,2A -，()0,2B ，动点P 满足4
3
AP BP k k ⋅=-．（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）过定点()0,6Q 的直线l 交动点P 的轨迹于不同的两点M ，N （M 在N 的上方），点M 关于y 轴对称点为M '，求证直线M N '过定点，并求出定点坐标．22.已知函数()ln e
x
x
f x a x
-=+
．（1）若1x =是()f x 的极值点，求a ；
（2）若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a >时，证明：2
100ln 1x x x <-+．
广东五校2022-2023高三上学期期末联考
数学卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
【1题答案】D 【2题答案】B 【3题答案】D 【4题答案】C 【5题答案】C 【6题答案】B 【7题答案】A 【8题答案】A
二、多选题（每题5分，共20分；选对5分，漏选2分，错选0分）
【9题答案】ACD 【10题答案】AC 【11题答案】ACD 【12题答案】AD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
【13题答案】216y x =-或28y x =【14题答案】30-【15题答案】2
【16题答案】1-##1+－四、解答题（共70分）
【17题答案】（1）1122m n ⎡⎤
⋅∈-⎢⎥
⎣⎦
，（2）t 的取值范围为22
,44⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪
⎝⎦⎣⎭
【18题答案】（1）3S 的最大值为3，最小值为-1（2）不存在
【19题答案】（1）（2）
6
【20题答案】（1）0.50.5p m
=+（2）0.75,0.5
p m ==（3）39
【21题答案】（1）22134
x y +=()
0x ≠（2）直线M N '恒过定点20,
3⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
【22题答案】（1）e
a =。