湖北省武穴中学高三数学9月月考试题 理 新人教A版

数 学 试 题（理科）
一、选择题（5分×10＝50分）
1．集合2
{|20}A x x x a =-+>，1A ∉，则实数a 的取值范围是
A ．(,1)-∞
B ．[0,)
+∞
C ．[1,)+∞
D ．(,1]-∞
2．命题:p x R ∃∈，使2
210x +<，则p ⌝为
A ．x R ∃∈，使2
210x +≥ B ．x R ∀∈，都有2
210x +< C ．x R ∀∈，都有2210x +≥
D ．x R ∀∈，都有2
210x +>
3．若()12g x x =-，221[()](0)x f g x x x -=≠，则1
()2
f = A ．1
B ．3
C ．15
D ．30
4．集合1
{|
28}2
x A x R =∈<<，{|11}B x R x m =∈-<<+，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是 A ．2m >
B ．2m ≥
C ．22m -<<
D ．2m ≤
5．函数ln ||y x x =的图像大致是
6．设1cos()34π
α+
=
，则cos(2)3πα-=
A ．78-
B ．7
8
C ．7
8
±
D ．1516
-
7．()y f x =是定义在R 上的函数，(1)1
()1f f x '=>，，则()f x x >的解集是 A ．(,1)-∞ B ．(1,0)
(0,1)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞
8．函数(2)
2
()log 2x a f x x -=+-有零点，则a 的取值范围是
A ．[1,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．[4,)+∞
D ．[8,)+∞
9．定义域为R 的函数()(,0]f x -∞在上单调减，且()f x 满足(3)(3)f x f x -=-，若实数
a 满足12
2(log )(log )2(1)a a
f f f +≤，则a 的取值范围是
A ．1[,2]2
B ．1(0,]2
C ．1[,2)2
D ．(0,2]
10．函数()()y f x x R =∈满足(1)(1)f x f x -=+，且[1,1]x ∈-时，()||f x x =，函数
sin (0)()1
(0)x x g x x x
π>⎧⎪
=⎨-<⎪⎩　
，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,5]-上的零点个数为 A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
二、填空题（5×5＝25分）
11．函数3
2
()23125[0,3]f x x x x =--+在上的最大值与最小值的和是。

12．曲线3cos (0)2
y x x π
=≤≤
与两坐标轴围成的图形的面积是 。

13．ABC ∆中，22
2
sin sin sin sin sin B C A B C +-≥⋅，则角A 的取值范围是。

14
．关于函数())cos 4
f x x x π
=-⋅的四个结论：
1；
②图像的对称轴方程为()82k
x k Z π
π=-+∈； ③函数的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-++∈；
④图像关于点(,1)()82
k k Z ππ
+-∈对称。

正确结论的序号是。

15．若命题“[1,3]a ∃∈，使2
(2)20ax a x +-->”为真命题，则实数x 的取值范围是。

三、解答题（75分）
16．（12分）已知:p 方程2
10x mx ++=有两个不等的负实根；:q 二次方程
244(2)10x m x +-+=无实根。

若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围。

17．（12分）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足sin cos .c A a C =
（Ⅰ）求角C 的大小；
cos()4
A B π
-+的最大值，并求出取得最大值时的角A 的大小。

18．（12分）设函数2()sin(
)2cos 1.468
f x x x π
ππ
=⋅--+
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()()y g x y f x ==与的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3
x ∈时，
()y g x =的最大值。

19．（12分）已知函数2
()(0,,).f x ax bx c a b R c R =++>∈∈
（Ⅰ）若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，且1c =，又()(0)
()()(0)f x x F x f x x >⎧=⎨
-<⎩
，求
(2)(2)F F +-的值；
（Ⅱ）若1,0a c ==，且|()|1f x ≤在区间(0,1]上恒成立，求实数b 的取值范围。

20．（13分）某公司经销某品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司
交(35)a a ≤≤元的管理费，预计当每件产品的售价为(911)x x ≤≤元时，一年的销售量为2
(12)x -万件。

（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x （元）的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L （万元）最大，并求出L 的最大值()Q a 的表达式。

21．（14分）函数1
()ln sin g x x x θ
=
+⋅在[1,)+∞为增函数，且(0,)θπ∈，
12()ln m e
f x mx x x
-+=-
-，m R ∈，e 为自然对数的底。

（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅲ）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使00()()f x g x >成立，求m 的取值范围。

武穴中学高三年级9月份月考 数学试题（理科）参考答案
1—5 DCCAA 6—10 BCCAB
11、10-
12、3
13、(0,
]3
π
14、①②③④ 15、
2
(,1)(,)3
-∞-+∞
16、解：①p 真时，24022
00
m m m m m ⎧∆=->>-<-⎨-<>⎩或，即2m >
②q 真时，2
16(2)160m ∆=--<，得2
430m m -+<，即13m <<
据题意，p q 、中一真一假，故当p 真q 假时，2
13
m m m >⎧⎨
≤≥⎩或，得3m ≥。

当p 假q 真时，2
13m m ≤⎧⎨
<<⎩
，得12m <≤。

综上所述，m 的取值范围是123m m <≤≥或。

17、解：
sin cos c A a C =，又由正弦定理，得到：sin sin sin cos C A A C ⋅=⋅，
由于0180A ︒<<︒，知sin 0A >，于是sin cos C C =，又0180C ︒<<︒， 故cos 0C ≠，于是tan 1C =。

∴（Ⅰ）
45C =︒
（
Ⅱ
）
cos()cos()cos 2sin()46
A B A A A A A ππ
π-+=--=+=+， 因4C π=，故304A π<<，于是116612A πππ<+<，故当62A ππ+=，即3A π=时，
2sin()6A π+取最大值2。

于是，最大值为2，此时3
A π
=. 18、解：2()sin(
)2cos 1468
f x x x π
ππ
=
⋅--+
1(sin
)cos cos 4
244
x x x π
ππ
=⋅-- 3sin cos 2424
x x ππ
=
-
sin()43
x ππ
=-
∴（Ⅰ）最小正周期28.4
T π
π
==
（Ⅱ）方法1：设()y g x =图像上的点(,)()x y y f x =与的图像上的点00(,)x y 关于直线1x =对称，于是002x x y y ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩，即002x x
y y
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，又点00(,)x y
在()sin()
43f x x ππ=-
图像上，故00sin(
)43y x ππ=-上，换成,x y
，得：sin[(2)]43y x ππ
=--，化简，
得：sin()46y x ππ=-，当403x ≤≤时，6466
x ππππ
-≤⋅-≤，故()y g x =的最大值
方法2：区间4[0,]3关于直线1x =对称的区间为2[,2]3
，又()()y g x y f x ==与的图像
关于直线1x =对称，故4()[0,]3y g x =在上的最大值就是2()[,2]3
y f x =在上的最大值。

由（Ⅰ）
知，()sin()43f x x ππ=-，当223x ≤≤时，6436
x ππππ
-≤-≤。

于是此时()
f x
的最大值为
2，即4
()[0,]3
y g x =在
上的最大值为
2 19、解：（Ⅰ）据题意，0
1210
a b a
a b >⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，得12a b =⎧⎨
=⎩，22
()21(1)f x x x x ∴=++=+， 于是2
2
(1)(0)()(1)(0)x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩
，22
(2)(2)(21)(21)8.F F ∴+-=+--+= （Ⅱ）10a c ==，时，2()f x x bx =+，2
||1x bx +≤在区间(0,1]上恒成立，
等价于2
11x bx -≤+≤对01x <≤恒成立，即22101101x bx x x bx x ⎧+≥-<≤⎪
⎨+≤<≤⎪⎩对恒成立对恒成立
，
即22
1
01101x b x x x b x x ⎧+≥-<≤⎪⎪⎨-+⎪≤<≤⎪⎩
对恒成立对恒成立
，在01x <≤时，211()x x x x +-=-+在1x =时取
最大值2-，而
211
x x x x
-+=-在1x =时取最小值0，故2b ≥-且0b ≤，于是20.b -≤≤ 20、解：据题意有（Ⅰ）2
(3)(12),911.L x a x x =--⋅-≤≤
（Ⅱ）2
(12)(3)2(12)(1)L x x a x '=-+--⋅-⋅- 2(12)2(12)(3)x x x a =-+---
(12)(12262)x x x a =--+-- (12)(3218)x x a =---
令0L '=，得2
63
x a =+
（12x =被舍去）
，35a ≤≤， 故2186933a ≤+≤，又在2
63x a =+的两侧，L '的值由正变负，
故当28693a ≤+≤，即932a ≤≤时，2
max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-；
当21
96933a <+≤，
即952a <≤时，23
max 2221(6)(63)[12(6)]4(3)3333
L L a a a a a =+=+--⋅-+=-， 故L 的最大值()Q a 的表达式为：399(6)(3)2
()194(3)(5)32a a Q a a a ⎧
-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩。

21、解：（Ⅰ）2211sin 1
()()0sin sin x g x x x x θθθ
--'=⋅-+=≥对1x ≥恒成立， 即1
sin 1x x
θ≥
≥对恒成立，故sin 1θ≥，又(0,)θπ∈， 故sin 1θ≤，sin 1θ∴=，于是.2
π
θ=
（Ⅱ）0m =时，1212()ln ln e e
f x x x x x -+-=-
-=-（其中0x >）
， 故2
2
1(21)()(12)()(0)e x f x e x x x x
---'=-⋅--=>，当021x e <<-时， ()0f x '>，当21x e >-时，()0f x '<，
故()f x 的单调增区间为(0,21)e -，单调减区间为(21,)e -+∞，
()f x 在21x e =-时取极大值(21)1ln(21).f e e -=---
（Ⅲ）令2()()()2ln .m e
F x f x g x mx x x
+=-=-- ①当0m =时，2()(
2ln )e
F x x x
=-+在1x e ≤≤时，显然有()0F x <，不会有()().f x g x >
②
当
0m <时，由于1x e
≤≤，
1()0m mx m x x x
-
=-≤，且
22ln 2(ln )0e e
x x x x
-
-=-+< 故仍有()0F x <，不会有()().f x g x >
③当0m >时，222
2222()m e mx x m e
F x m x x x
+-++'=+-=，1x e ≤≤， 故2
0mx m +>，220e x -≥，知()0F x '>，于是()F x 在[1,]e 上，
只要()F x 在[1,]e 上的最大值()40m F e me e =-
->，即2
41
e
m e >-即可，故24.1
e
m e >
-。