云南师范大学附属中学高考适应性月考(一)——数学(文)数学文

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（一）
文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．由图易知 2．21i (1i)2i i.1i 22
---===-+ 3．对于图A ，M 是N 的充分不必要条件．对于图B ，M 是N 的充要条件．对于图C ，M 是N 的必要不充分条件．对于图D ，M 是N 的既不充分也不必要条件．
4．命题“若，则”的逆命题是“若，则”无论是正数、负数、0都成立．
5．依题意得，即2111(4)(1)(10)a a a +=++，解得，所以.
6．由已知得2
22222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即，所以
222()210+=++⋅=a b a b a b ，即.
7．设，作出不等式组01,01,13x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+>⎩≤≤≤≤ 所表示的平面区域，由几何概型知，所求概率111117233.1118P -⨯⨯==⨯ 8．由已知及正、余弦定理得，，所以，即.
9．①显然成立，②显然不成立，对于③④作出与的图象可知成立．
10．设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时， DE
⊥BE ，又DE ⊥AC ， ∴DE ⊥平面ABC ，∴三棱锥D −ABC 的高为DE ＝a ，∴V D −ABC ＝·a 2·a ＝．
11．圆锥毛坯的底面半径为，高为，则母线长，所以圆锥毛坯的表面积，切削得的零件表面积
2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为．
12．因为在区间上单调递增，所以时，恒成立，即在区间上恒成立，因为，所以，所以
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．由题意知，取，则13
AP BP b b k k a a ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故，所以，，即． 14．由框图可知从而得36546(31)5(41) 3.⊗-⊗=---=-
15．原不等式可化为且，作出奇函数的简图，可知其解集为．
16．由得，当时，，∴，即，∴，又，得，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）1cos21cos21()22222
x x f x x +-=+⨯-
11cos222x x =- ． ……………………………………………………………（4分）
所以其最小正周期为． ……………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦∴． ………………………………………………………（10分） 所以函数的值域为． ……………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布表得，即．…………（2分）
因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以．
等级编号为5的恰有2件，所以． …………………………………（4分） 从而．
所以，，． ………………………………………………（6分） （Ⅱ）从这5件产品中任取两件，所有可能的结果为：
1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ．………（8分） 设事件A 表示“从这5件产品中任取两件，其等级编号相同”，
则包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个． …………（10分）
又基本事件的总数为10，
故所求的概率． ……………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵，，∴，
又∵平面，平面，
∴平面． ……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）在线段上存在一点，使得平面，
此时点为线段的四等分点，且. ……………………………（8分） ∵底面，∴，
又∵长方形中，△∽△，∴， …………………（10分）
又∵，∴平面．
………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为，
∴，即抛物线的方程为． ……………………………………（5分） （Ⅱ）方法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
设，，
∴，即，
∴. ………………………………………………………（9分） 212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． ……………………………………（12分） 方法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
可得，，
联立方程组得，∵，
∴，．……………………………………（9分）
同理可得，，∴．…………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，，
∴当时，在上恒成立，
函数在上单调递减．………………………………………………（3分）当时，由，得；由，得，
∴函数在上递减，在上递增．…………………………（6分）
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，
∴
1ln
()21
x
f x bx b
x x
-⇔+-
≥≥，………………………………………………（8分）
令，可得在上递减，在上递增，………（10分）
∴，即．……………………………………（12分）
22.（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：如右图，连接，∵
∴，∴是⊙O的切线. ……………………………………（3分）
（Ⅱ）解：∵是直径，∴，
在Rt△ECD中，∵, ∴．
∵AB是⊙O的切线，∴，
又∵，∴△BCD∽△BEC,
∴==，设则，
又，∴，
解得：, ∵, ∴，
∴235
OA OB BD OD
==+=+=. ………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由，可得，
由
3,
2
,
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
（t为参数）可得直线的方程为．
所以，圆的圆心到直线的距离为．………………（5分）
（Ⅱ）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得
22
35
⎛⎫⎫
+=
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，即．
由于24420
∆=-⨯=>．故可设是上述方程的两个实根，
所以又直线过点，
故由上式及的几何意义得
1212
||||||||
PA PB t t t t
+=+=+=…………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ），
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为. ………………………………（5分）
（Ⅱ）
∵，∴当=0时，不等式组恒成立；
当0时，不等式组转化为
5
,
1
,
a
x
a
x
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
≤
≥
又∵，所以且0．…………………………（10分）。