山东省枣庄第八中学东校区2019届高三9月月考数学(文)试题(解析版)

山东省枣庄第八中学东校区2019届高三9月月考数学（文）
试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知向量、，其中，，且，则向量和的夹角是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设两个向量的夹角为
，，
即，，，
故选：A．
利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量
积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．
本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积
公式．
2.按数列的排列规律猜想数列，，，，的第10项是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由数列，，，，可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为
负号；而分子为偶数为项数，分母为奇数或分母比分子大1．
故可得通项公式．
．
故选：C．
由数列，，，，可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子
为偶数为项数，分母为奇数或分母比分子大即可得到通项公式．
本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，属于基础题．3.等比数列中，，，则与的等比中项是
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】解：设与的等比中项是x．
由等比数列的性质可得，．
与的等比中项．
故选：A．
利用等比数列的性质可得，即可得出．
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
4.若数列的通项公式是，则
A. 15
B. 12
C.
D.
【答案】A
【解析】解：依题意可知，
故选：A．
通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．本题主要考查了数列求和对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．
5.平面向量与的夹角为，，，则
A. B. 0 C. D. 2
【答案】D
【解析】解：平面向量与的夹角为，，，
，
，
，
故选：D．
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案．
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于基础题．
6.复数为虚数单位在复平面上对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限【答案】D
【解析】解：，
复数在复平面对应的点的坐标是
它对应的点在第四象限，
故选：D．
把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．
7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则实数
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】解：如图，
；
又；
．
故选：A．
可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则便可得到，由相反向量的概念和向量的数乘运算便可得到，这便可得到．
考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及相反向量的概念．
8.若等差数列的前7项和，且，则
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】解：在等差数列中，由，得，
又，
，
．
故选：C．
由求得，结合求出公差，再代入等差数列的通项公式求得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
9.等边三角形ABC的边长为1，，，，那么等
于
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】解：．
同理可得．
．
故选：A．
利用数量积运算可得同理可得
即可得出．
本题考查了数量积运算、等边三角形的性质，注意向量的夹角，属于基础题．
10.数列的前n项和为，若，则等于
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：，
所以．
故选：B．
考虑利用裂项相消法，由求解数列的和．
本题主要考查了数列求和的裂项相消求和方法的应用，属于必须掌握的求和方法．
11.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，则：：
A. 1：1：1
B. 3：：2
C. ：2：1
D. ：1：2
【答案】B
【解析】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，若，则，
即，
又因，不共线，则，，即，
由正弦定理可知：：：：b：：：2，
故选：B．
利用正弦定理化简已知表达式，通过，不共线，求出a、b、c的关系，利用正弦
定理求解即可．
本题考查平面向量在几何中的应用，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
12.如图，在中，，，AD
是边BC上的高，则的值等于
A. 0
B. 4
C. 8
D.
【答案】B
【解析】解：因为，，AD是边BC上的高，
所以．
所以，
故选：B．
通过解直角三角形求出边AD，利用向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式求出．
本题考查向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数是______【答案】
【解析】解：由，得，
．
故答案为：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14.数列满足，则数列的通项公式为______．【答案】
【解析】解：当时，，
，
两式相减得，
则，
当时，满足，
综上．
故答案为：
构造新数列，利用作差法即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，根据作差法是解决本题的关键．
15.已知的面积为2，在所在的平面内有两点P，Q，满足，
，则的面积为______
【答案】
【解析】解：，为AC的中点，
，
为AB的靠近B的三等分点，
，
故答案为：．
先根据两个向量等式推出P为AC的中点，Q为AB的三等分点再根据面积公式可得．本题考查了平面向量基本定理，属中档题．
16.若两个等差数列和的前n项和分别是，，已知，则
______．
【答案】4
【解析】解：由等差数列的性质可得：
．
故答案为：4．
利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量与
共线．
Ⅰ求角C的大小；
Ⅱ若，求a的大小．
【答案】解：Ⅰ向量与共线，
，
由正弦定理得，，
即，
又，，
得，又，则；
Ⅱ由，得，
，，
则或，
又，则，
是直角三角形，故，，
由，得，
代入得，，解得．
【解析】Ⅰ由向量共线的坐标表示列式，结合正弦定理化为
，进一步得到，由此求得角C的大小；
Ⅱ由，结合Ⅰ中求得的C的值可得B，得到是直角三角形，故，，代入即可求得a值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的解法，是中档题．
18.已知数列的通项为，前n项和为，且是与2的等差中项，数列中，
，点在直线上求数列、的通项公式．
【答案】解：是与2的等差中项，，即．
当时，，解得．
当时，，
化为，
数列是等比数列，首项为2，公比为2，．
点在直线上．
，即，
数列是等差数列，首项为1，公差为2．
．
【解析】根据等差数列的性质可得，根据数列的递推公式即可求出数列
的通项公式，再根据点在直线上，可得数列是等差数列，
首项为1，公差为2
本题考查数列与解析几何的综合，考查数列递推式的应用，是中档题．
19. 已知向量
． 若 ，求角 的值； 若 ，求 的值 【答案】解：
； ； ；
；
； 又 ；
； ； ．
【解析】 根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 ，从而得出 的值；
先求出 ，根据 ，即可得出 ，解出 即可．
考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，向量长度的概念．
20. 在各项均为正数的等比数列 中， ， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式； Ⅱ 若
为偶数
为奇数
，求数列 的前n 项和 ．
【答案】解： Ⅰ 依题意， ， 解得： 或 舍 ， 数列 的通项公式 ；
Ⅱ 依题意，当n 为偶数时，
；
当n 为奇数时， 为偶数， ，
；
综上所述，为奇数为偶数
．
【解析】Ⅰ通过等比数列可知，进而计算可得公比，从而可得结论；
Ⅱ当n为偶数时，利用分组法求和可知；当n为奇数时利用计算可知．
本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
21.已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，满足，且
，，恰为等比数列的前三项
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ设是数列的前n项和，是否存在，使得等式成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
，
解得，，
，，
．
Ⅱ由可知：．
，
，
，单调递减，得，
而
所以不存在，使得等式成立．
【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”与数列的单调性，属于中档题．
22.公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为
100，数列的前n项和为，且满足，．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ记得数列的前n项和为．
【答案】解：设等差数列的公差为d，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，
，即，，联立解得，，
．
又满足，，，当时，，解得．当时，，化为：，
数列是等比数列，首项为1，公比为2．
．
．
前n项和为，
，
，
．
【解析】设等差数列的公差为d，由于，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，可得，即，，联立
解得，d，即可得出又满足，，可得，利用递推关系可得：．
再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。