2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.3

2.3　数学归纳法
课时过关·能力提升基础巩固
1用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3,n ∈N *),第一步应验证
( )
A.当n=1时,不等式成立
B.当n=2时,不等式成立
C.当n=3时,不等式成立
D.当n=4时,不等式成立
解析由题知n 的最小值为3,所以第一步验证当n=3时,不等式成立,选C .
答案C
2已知f (n )=+…+,则( )
1n +1n +1+1n +21n 2A.f (n )共有n 项,当n=2时,f (2)=12+13
B.f (n )共有(n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14
C.f (n )共有(n 2-n )项,当n=2时,f (2)=12+13
D.f (n )共有(n 2-n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14解析由题意知f (n )的最后一项的分母为n 2,
故f (2)=
,排除选项A,选项C.12+13+122又f (n )=+…+,
1n +0+1n +11n +(n 2-n )所以f (n )的项数为n 2-n+1.
故选D.
答案D
3已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-+…+=2时,若已假设当12+13‒141n -1‒1n (1n +2+1n +4+…+12n )
n=k (k ≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证( )
A.当n=k+1时,等式成立
B.当n=k+2时,等式成立
C.当n=2k+2时,等式成立
D.当n=2(k+2)时,等式成立
解析因为假设n=k (k ≥2,且为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.
答案B
4用数学归纳法证明不等式1++…+(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( )
12+1412n -1>12764A.7 B.8
C.9
D.10
解析左边=1++…+=2-,代入验证可知n 的最小值是8.
12+1412n -1=1-1
2n 1-1212n -1答案B
5用数学归纳法证明1-+…++…+,则当n=k+1时,等式左边应在n=k 的基础
12+13‒1412n -1‒12n =1n +1+1n +212n 上加上( )
A.1
2k +2
B.-1
2k +2
C.12k +1‒12k +2
D.12k +1+12k +2
解析当n=k 时,左边=1-+…+,当n=k+1时,左边=1-+…+.
12+13‒1412k -1‒12k 12+13‒1412k -1‒12k +12k +1‒12k +2答案C
6用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x+y 整除”,当第二步假设n=2k-1(k ∈N *)命题为真时,进而需证n= 时,命题为真.
解析因为n 为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.
答案2k+1
7在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n ∈N *)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .
答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)
8用数学归纳法证明
+…+<1-(n ≥2,n ∈N *).1
22+132+1421
n 21n
分析验证当n=2时不等式成立→假设当n=k 时
不等式成立→
证明当n=k+1时不等式成立→结论
证明(1)当n=2时,左边=,右边=1-.
1
22=1412=12因为,所以不等式成立.
14<12(2)假设当n=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式成立,
即+…+<1-,1
22+132+1421
k 21k 则当n=k+1时,
+…+<1-1
22+132+1421k 2+1(k +1)21k +1(k +1)2=1-=1-<1-(k +1)2-k k (k +1)2k 2+k +1k (k +1)2k (k +1)
k (k +1)2=1-.
1
k +1所以当n=k+1时,不等式也成立.
综上所述,对任意n ≥2的正整数,不等式都成立.
9用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n (3n+1)=n (n+1)2(其中n ∈N *).
证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k (k ∈N *)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)=k (k+1)2,
则当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k (k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N *都成立.能力提升
1某同学解答“用数学归纳法证明<n+1(n ∈N *)”的过程如下:
n (n +1)证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,有<k+1,则当n=k+1时,
k (k +1)=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由①②可知对于n ∈N *,(k +1)2+(k +1)=k 2+3k +2<k 2+4k +4命题都是正确的.以上证法是错误的,错误的原因在于( )
A.从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设
B.假设的写法不正确
C.从n=k 到n=k+1的推理不严密
D.当n=1时,验证过程不具体
解析由分析证明过程中的②可知,从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫数学归纳法,选A .答案A
2用数学归纳法证明“凸n (n ≥3,n ∈N *)边形的内角和公式”时,由n=k 到n=k+1增加的是( )
A. B.π C. D.2π
π23π2解析如图,由n=k 到n=k+1时,凸n 边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.
答案B
3用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n )=2n ·1·3·…·(2n-1),从n=k 到n=k+1,左边需要增乘的代数式为( )
A.2k+1
B.2(2k+1)
C.
D.2k +1
k +12k +3k +1
解析当n=k 时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k ),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)
=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为
=2(2k+1).
(k +k +1)(k +k +2)
k +1答案B ★4某个与正整数有关的命题:若当n=k (k ∈N *)时,命题成立,则可以推出当n=k+1时,该命题也成立.现已知当n=5时,命题不成立,则可以推得( )
A.当n=4时,命题不成立
B.当n=6时,命题不成立
C.当n=4时,命题成立
D.当n=6时,命题成立
解析“若n=k 时,命题成立,则n=k+1时,该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k 时,命题也不成立.”故选A.
答案A ★
5用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 .
解析采取凑配法,凑出归纳假设k 3+5k 来,(k+1)3+5(k+1)=k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k )+3k (k+1)+6.答案(k 3+5k )+3k (k+1)+6
6设实数c>0,整数p>1,n ∈N *.
(1)用数学归纳法证明:当x>-1,且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;
(2)数列{a n }满足a 1>,a n+1=a n +,证明:a n >a n+1>.c 1p
p -1p c p a 1-p n c 1p 证明(1)①当p=2时,(1+x )2=1+2x+x 2>1+2x ,原不等式成立.
②假设当p=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.
则当p=k+1时,(1+x )k+1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.
综合①②可得,当x>-1,x ≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x )p >1+px 均成立.
(2)先用数学归纳法证明a n >.
c 1p ①当n=1时,由题设a 1>知a n >成立.
c 1p c 1p ②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >成立.
c 1p 由a n+1=a n +及a 1>>0,易知a n >0,n ∈N *.则当n=k+1时,p -1p c p a 1-p n c 1p a k +1a k
=p -1p +c p a -p k =1+.
1p (c a p k -1)
由a k >>0,得-1<-<0.c 1p 1p <1p (c a p k -1)由(1)中的结论得>1+p ·.因此>c ,即a k+1>.(a k +1a k )p =[1+
1p (c a p k -1)]p 1p (c a p k -1)=c a p k a p k +1c 1p 所以当n=k+1时,不等式a n >也成立.
c 1p 综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >均成立.因此a n+1>也成立.
c 1p c 1p 再由=1+可得<1,
a n +1a n 1p (c a p n -1)a n +1a n 即a n+1<a n .综上所述,a n >a n+1>,n ∈N *.
c 1p 7已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n }.令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.
(1)写出f (6)的值;
(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.解(1)f (6)=13.
(2)当n ≥6时,
　f (n )=(t ∈N *
).{n +2+(n 2+n 3),n =6t ,n +2+(n -12+n -13)
,n =6t +1,n +2+(n 2
+n -23),n =6t +2,n +2+(n -12+n 3
),n =6t +3,n +2+(n 2
+n -13),n =6t +4,n +2+(n -12+n -23),n =6t +5下面用数学归纳法证明:
①当n=6时,f (6)=6+2+=13,结论成立;
62+63②假设当n=k (k ≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:
1)若k+1=6t ,则k=6(t-1)+5,此时有
f (k+1)=f (k )+3=k+2++3k -12
+k -23=(k+1)+2+,结论成立;k +12
+k +132)若k+1=6t+1,则k=6t ,此时有
f (k+1)=f (k )+1=k+2++1
k 2+k 3=(k+1)+2+,结论成立;
(k +1)-12+(k +1)-133)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有
f (k+1)=f (k )+2=k+2++2k -12
+k -13=(k+1)+2+,结论成立;
k +12+(k +1)-234)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有
f (k+1)=f (k )+2=k+2++2k 2
+k -23=(k+1)+2+
,结论成立;(k +1)-12+k +135)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有
f (k+1)=f (k )+2=k+2++2k -12
+k 3
=(k+1)+2+,结论成立;
k +12+(k +1)-136)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有
f (k+1)=f (k )+1=k+2++1k 2
+k -13=(k+1)+2+,结论成立.
(k +1)-12+(k +1)-23综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。