板壳理论 15

2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
1 D 振形函数 2x y 4 W sin sin 21 2 2 21 a b b m a 薄板在x有两个正弦半波，y方向有一个正弦半波。 a 在x 处，挠度为零 2
2
——称为节线，在薄板振动时保持静止。
板壳理论 薄板的振动问题 8
（3）当m=1,n=2时，得到
薄板的振动分为横向振动和纵向振动薄板的自由振1薄板的振动频率特别是最低频率2已知初始条件薄板在任一瞬时的挠度进而求得瞬时内力板壳理论薄板的振动问题弹性曲面微分方程二薄板自由振动的微分方程称为静挠度此时所受的横向荷载为薄板的惯性力单位面其中薄板单位面积的质量其中板壳理论薄板的振动问题若将坐标选在平衡位臵则任一瞬时的挠度可写为设微分方程具有如下解挠度的形式则有薄板自由振动的微分方程三振动的挠度与频率一般解sincos1薄板上在给定任意点的挠度可以表示成无数多个简谐振动下挠度的叠加各个简谐振动的频率是2在每一瞬时t薄板的挠度被表示成无数多种振形下的挠度叠加而每一种振形下的挠度是由振形函数表示
横向振动是工程中的重要问题，而纵向振动在工程中无关重要，且数学 上难以处理，故本章只讨论横向振动
薄板的自由振动： 在一定荷载作用下处于平衡位臵的薄板，受到干扰力 的作用而发生垂直于中面的挠度和速度，去掉干扰力 后，在该平衡位臵附近作微幅振动。 在此讨论 （1）薄板的振动频率，特别是最低频率 （2）已知初始条件，薄板在任一瞬时的挠度，进而求 得瞬时内力
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12

wt 0 w0 ( x, y)

w0 ( x, y), v0 ( x, y) 展成振形函数的级数
w0 CmnWmn Cmn sin
m 1 n 1
v0 DmnWmn
m 1 n 1
mx ny sin a b m 1 n 1 mx ny Dmn sin sin a b m 1 n 1
mx ny sin a b
讨论： （1）当m=n=1时，为薄板的最低频率，称为基频
min 11 2
1 D 1 2 2 b m a
振形函数
W11 sin
x
a
sin
y
b
薄板在x,y方向都只有一个正弦半波，最大挠度发生在薄板中央。 （2）当m=2,n=1时，自然频率为
其中
C mn Dmn
4 b b mx ny w sin sin d x d y 0 ab a a a b 4 b b mx ny v0 sin sin dxdy a a ab a b
薄板的振动问题
wt 0 w0 ( x, y)
w v 0 ( x, y ) t t 0
§15－3 两对边简支矩形薄板的自由振动
当矩形薄板有两对边为简支边时(其余两边可以是任意边)，虽然不可能求 得自由振动的完整解答，但是可以求得振形微分方程的函数形式的非零解， 从而求得薄板自然频率的精确值。
设简支边为 取振形函数
x 0, x a
W Ym sin
mx 其中Ym Ym ( y) a 振形函数满足两个简支边界的边界条件。
12 2
1 4 D 2 , 2 a b m W12 sin
x
a
sin
2y b
（4）当m=2,n=2时，有
22 2
4 D 4 , 2 2 b m a W22 sin 2x 2y sin a b
同理可以求得其他振形函数的频率及振形函数
m a b m
对于不同的m,n值，可以得到不同振形的自然频率。
mn
板壳理论
m2 n2 D a2 b2 m
2
对应振形函数
薄板的振动问题
Wmn sin
mx ny sin a b
7
薄板的挠度为
w ( Amn cos mn t Bmn sin mn t ) sin
第十五章
薄板的振动问题
薄板的自由振动基本理论 矩形薄板的自由振动 圆形薄板的自由振动 能量法求自然频率 薄板的受迫振动
板壳理论 薄板的振动问题 1
§15－1 薄板的自由振动
一、基本概念
薄板的振动分为横向振动和纵向振动 横向振动：薄板在垂直于中面方向的振动。 纵向振动：薄板在平行于中面方向的振动。
m 2w w 0 2 D t
4
2m
D
W 0
如果求得W的满足边界条件的非零解，则有相应的频率
D 4W m W
2
为自由振动的频率称为自然频率或固有频率，描述薄板的固有特性，与外
界因素无关
考虑均质薄板 令 2mDFra bibliotekm 常量
4
4W 4W 0
常系数微分方程
4
2 wt D wt q m 2 t
4
注意到
板壳理论
薄板的振动问题
3
2 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
4
若将坐标选在平衡位臵，则任一瞬时的挠度可写为
w wt we
则有
D 4 w m
4
2w t 2
m 2w w 0 2 D t
a a
m 2 2 2 , 2 a
m 2 2 2 a2
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薄板的振动问题
考虑y=0,y=b两个边为自由边的情况： 可以看成简支梁，由结构力学中简支梁的振动方程
设振形函数 W Y sin m
4w m 2w 0 4 2 x D t mx
a
4
取平衡位臵为坐标原点
利用上式有可能求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得 相应的值，再求得相应的频率。
板壳理论 薄板的振动问题 5
将求得振形函数及相应的频率
Wm , m
由初始条件确定系数
初始条件
w wm ( Am cos mt Bm sin mt )Wm ( x, y )
m 1 m 1
薄板自由振动的微分方程
三、振动的挠度与频率（一般解法）
设微分方程具有如下解（挠度）的形式
w wm ( Am cos mt Bm sin mt )Wm ( x, y )
m 1 m 1
（1）薄板上在给定任意点的挠度可以表示成无数多个简谐振动下挠 度的叠加，各个简谐振动的频率是 m （2）在每一瞬时t，薄板的挠度被表示成无数多种振形下的挠度叠 加，而每一种振形下的挠度是由振形函数 Wm ( x, y) 表示。 振动频率 m 振形函数 Wm ( x, y )
板壳理论
薄板的振动问题
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例如：设初速度
v0 ( x, y) 0
初挠度 w0 ( x, y ) sin

x
a
sin
y
b
mx ny sin a b
1 1 D 2 2 a b m
w (Amn cos mn t Bmn sin mn t ) sin
m 1 n 1
a
b
m 1 n 1
a
b
得 挠度为
Amn Cmn , Bmn

mn
Dmn
mx Dmn ny w C cos t sin t sin sin mn mn mn mn a b m 1 n 1
上式即为四边简支矩形薄板自由振动的完整解答。 如果矩形薄板边界不全为简支边，则不能得到自由振动的完整解答。 虽然不能得到自由振动的完整解答，但可以得到振形函数微分方程 的非零解，从而求得自然频率。
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
取振形函数
W sin mx ny sin a b
4W 4W 0
其中m及n为整数，可以满足边界条件。
4 m2 n2 mx ny 4 sin sin 0 2 2 a b a b
上式对于任意的x,y都满足，则有 2 2 2 2 2 2 n 4 m 4 m n 4 4 a2 b2 0 2 2 b a 2 2 D 4 n2 D 2 4 m 则固有频率 2 2
上式须将 w0 ( x, y), v0 ( x, y) 展成Wm的级数，在数学上很困难 求任意瞬时的挠度也就很困难，而在工程中也没有必要。 在大多数情况下，只能求得各振形函数及相应的频率——这就足以解决 工程上的主要问题了。
板壳理论 薄板的振动问题 6
§15－2 四边简支矩形薄板的自由振动
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简单地得出自由振动的完整解答
4W 4W 0
得常微分方程 特征方程 可得四个特征根
板壳理论
d 4Ym 2m 2 2 d 2Ym m 4 4 4 Ym 0 4 2 2 4 dy a dy a 2m 2 2 2 m 4 4 4 4 r r 2 4 0
板壳理论
薄板的振动问题
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（5）总挠度 总挠度表达式
w (Amn cos mn t Bmn sin mn t ) sin
m 1 n 1


mx ny sin a b
为求系数 Am , Bm
利用初始条件确定
w v 0 ( x, y ) t t 0
薄板的振动问题
板壳理论
4
考虑其中任一个
w ( A cos t B sin t )W ( x, y)
消去因子 ( A cos t B sin t ) 振形微分方程
W
4
2 m ( A cos t B sin t ) 4W ( A cos t B sin t )W 0 D
2
m 2 2 m m 2 2 2 2 a D a
2
W (C1 cosh y C 2 sinh y C3 cos y C 4 sin y ) sin


Am , Bm
w v 0 ( x, y ) t t 0
wt 0 w0 ( x, y)

A W ( x , y ) w ( x , y ) m m 0 m 1 BmmWm ( x, y ) v0 ( x, y ) m 1
2
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
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则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
薄板的振动问题 2
板壳理论
二、薄板自由振动的微分方程
设薄板在平衡位臵的挠度为 此时所受的横向荷载为
we we ( x, y)
——称为静挠度
——称为横向静荷载
q q ( x, y )
弹性曲面微分方程
D 4 we q
设振动过程中某瞬时t，薄板的挠度 为 D 4 wt q qi 弹性曲面微分方程 薄板振动的加速度 则 则
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板壳理论
则有
mx ny mx ny A sin sin C sin sin mn mn a b a b m1 n1 m1 n1 mx ny mx ny B sin sin D sin sin mn mn mn