福建省三明市三地三校2017-2018学年高二上学期期中联

2017-2018学年第一学期三明市三地三校联考协作卷
高二数学（文科）
（满分150分，完卷时间120分钟）
学校班级姓名座号
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则﹁p为( )
A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n>1000
C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n<1000
4．椭圆的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为( )．
A.
x2
144＋
y2
25＝1 B.
x2
144＋
y2
169＝1 C.
x2
169＋
y2
25＝1 D.
x2
169＋
y2
144＝1
5．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝( )
A.1
16 B.1
4 C.
1
8 D.
1
2
6. 已知双曲线C：
22
22
x y
a b
＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的
渐近线相切的圆的半径是( )
A．a B．b C.ab D.a2＋b2
7．已知f (x )＝x α，若()1f '-＝－4，则α等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5
D ．－5
8. 与直线4x －y ＋3＝0平行的抛物线y ＝2x 2的切线方程是( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．4x －y －2＝0
D ．4x －y ＋2＝0
9．函数f (x )＝ln x
x 的单调递减区间是( )．
A ．[0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．[0，e]
D ． [e ，＋∞)
10. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定
11．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )
A ．(2,0)
B ．(0，－1)
C ．(0,1)
D ．(1,0)
12．已知函数f (x )＝1
3x 3＋x ，则不等式f (2－x 2)＋f (2x ＋1)>0的解集是( )
A ．(－∞，－2－1)∪(2－1，＋∞)
B ．(－1,3)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．－2－1，2－1)
二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有 个。

14． 已知点(2,3)在双曲线C ：22
22x y a b
-＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则
它的离心率为________．
15.函数y ＝f (x )在定义域(－3
2，3)内的图象如图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝()f x '，则不等式()f x '≤0的解集为 。

.
16.已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17、18题10分，19-21小题各为12分，22题14分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤．
17．已知函数f (x )＝1
3x 3－x 2＋ax ＋b 的图象在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝3x －2.求实数a ，b 的值
18. 在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p 是“第一次投中”，命题q 是“第二次投中”．
试用p ，q 以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：(1)两次都没投中；(2)两次都投中了；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中；(5)至多有一次投中．
19.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
20．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．
(1)求a 和b 的值；
(2)设函数g (x )的导函数()g x '＝f (x )＋2，求g (x )的极值点；
21.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点．
(1)写出C 的方程； (2)若OA →
⊥OB →
，求k 的值． 22．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
2017-2018学年第一学期三明市三地三校联考协作卷
高二(上)文科数学参考答案
1-12 BCADC BACDA DB
13. 2 14. 2 15. [－1
3，1]∪[2,3)． 16. [3,8)
17解：f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，.......................................3分
∴f ′(0)＝a ＝3，即a ＝3.....................................5分 又P (0，f (0))既在曲线f (x )上，又在切线y ＝3x －2上，..........6分 ∴f (0)＝1
3×03－02＋a ×0＋b ＝3×0－2，即b ＝－2...............9分 ∴a ＝3，b ＝－2.............................................10分
18解：依题意及逻辑联结词的意义，
(1)两次没投中可表示为(﹁ p )∧(﹁ q )；......................2分 (2)两次都投中了可表示为p ∧q ；.............................4分 (3)恰有一次投中可表示为[p ∧(﹁ q )]∨[(﹁ p )∧q ]；......... 6分 (4)至少有一次投中可表示为p ∨q ；...........................8分 (5)至多有一次投中可表示为﹁(p ∧q )．...................... 10分
19解：如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，.......1分
则直线方程为y ＝－x ＋1
2p .....................................2分
设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，.......................3分
则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p
2＋x 2＋p
2， 即x 1＋p
2＋x 2＋p
2＝8.①.......................................5分
又A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)是抛物线和直线的交点，由
⎩⎨⎧
y ＝－x ＋1
2p ，y 2
＝2px ，
消去y ，得x 2－3px ＋p 2
4＝0，................................7分 ∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①，得p ＝2...........................9分 ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .................................10分 当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，
同理：可求得抛物线方程为y 2＝－4x ...........................12分
20解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，.....................2分
且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，.............4分 解得a ＝0，b ＝－3...........................................5分 (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .
因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，...............................6分 所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，
于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2........................7分 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；
当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．...........9分 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．...11分 所以g (x )的极值点为－2.....................................12分
21解: (1)设P (x ，y )，.......................................1分
由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，
长半轴为2的椭圆．..........................................2分 它的短半轴b ＝22－
3
2
＝1...............................3分
故曲线C 的方程为x 2＋y 2
4＝1....................................4分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足
⎩⎨
⎧
x 2
＋y 2
4＝1，y ＝kx ＋1.
消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0..........................6分
故x 1＋x 2＝－2k k 2
＋4，x 1x 2＝－3
k 2＋4.............................7分 若OA →
⊥OB →
，即x 1x 2＋y 1y 2＝0...................................8分 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.................................9分 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2
k 2＋4＋1＝0..................10分 化简得－4k 2
＋1＝0.所以k ＝±1
2..............................12分
22解: (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9..............................2分
令f ′(x )<0，解得x <－1，或x >3，............................3分 ∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．.........5分 单调递増区间为(-1,3)。

.....................................6分 (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，
f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，
∴f (2)>f (－2)．............................................7分 ∵在(－1,3)上f ′(x )>0，
∴f (x )在(－1,2]上单调递增．................................8分 又由于f (x )在[－2，－1)上单调递减，........................9分 ∴f (－1)是f (x )的极小值，且f (－1)＝a －5....................10分
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2 (12)
分
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∴f(－1)＝a－5＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.....................14分
命题人：永安三中
审核人：永安三中。