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一、数列的概念选择题
1．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实
数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞
B ．(),2-∞
C ．(),1-∞
D ．(),0-∞
2．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．3-
3．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.
4．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
5．在数列{}n a 中，11a =，11n n
a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．()3,+∞
B ．[
)3,+∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
6．已知数列{}
ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）
A ．13i =，33j =
B ．19i =，32j =
C ．32i =，14j =
D ．33i =，14j =
7．数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是（ ） A ．
21n
n + B ．
23
n
n + C ．
23
n
n - D ．
21
n
n - 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有
()()()f x f y f x y ⋅=+，若112
a =
，()()
*
n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．
1324
n S ≤< B ．
3
14
n S ≤< C ．102
n S <≤
D ．
1
12
n S ≤< 10．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30
B ．20
C ．40
D ．50
11．数列{}n a 满足：12a =，111n
n n
a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-
B ．1
6-
C ．
16
D ．6
12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）
（注：()()
22221211236
n n n n ++++++=
）
A ．1624
B ．1198
C ．1024
D ．1560
13．已知数列{a n }满足112,0,2
121, 1.
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若a 1=35,则a 2019 = ( )
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184
B ．174
C ．188
D ．160
15．数列{}n a 满足12a =，111
1
n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-
B ．12-
C ．
13
D ．2
16．已知在数列{}n a 中，112,1
n n n
a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
11010
D ．
11009
17．数列1111
,,,
57911
--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32
n n --+
B ．(1)32
n n -+
C ．1(1)23
n n --+
D ．(1)23
n
n -+
18．数列1
2，16，112，120
，…的一个通项公式是（ ） A ．()1
1n a n n =-
B ．()1
221n a n n =
-
C ．111
n a n n =
-+ D ．11n a n
=-
19．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20
1
k
k a
=∑的值不可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．10
D ．14
20．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072
B ．2073
C ．2074
D ．2075
二、多选题
21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．222
2123202020202021a a a a a a ++++=
22．已知数列0,2,0,2,0,2,
，则前六项适合的通项公式为（ ）
A ．1(1)n
n a =+-
B ．2cos
2
n n a π= C ．(1)2sin
2
n n a π
+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
23．设数列{}n a 满足11
02
a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．
21
12
a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312
a <<
D ．
20203
14
a << 24．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 25．(多选)在数列{}n a 中，若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．
(){}1n
- 是等方差数列
C ．{}2
n
是等方差数列.
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2
3n S n n =- B ．2392
-=n n n
S
C ．36n a n =-
D ．2n a n =
27．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确
的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{}n
a 也是等差数列
28．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
30．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
31．下列命题正确的是（ ）
A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c
可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 32．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
33．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <
B ．70a >
C ．{}n S 中5S 最大
D ．49a a <
34．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a
B ．35S
C ．1719a a -
D ．1916S S -
35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >
B ．170S <
C ．1819S S >
D ．190S >
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一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于
λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】
由已知得22
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，
因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.
2．C
解析：C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T =
而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
3．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
4．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥，将此等式变形得2
11n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
由累乘法得2
2
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n
--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈，22cos 3
n n b n π
∴=， ()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭592
k =-，
因此，数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
5．D
解析：D 【分析】
利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】
11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，
由累加法可得
()()()()12132111232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
，
()122211
n a n n n n ∴
==-++，2222
2222222311n S n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考
查计算能力，属于中等题.
6．C
解析：C 【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】
每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.
20211
110112
-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，
而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.
7．D
解析：D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21
n n
a n =-. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
9．D
解析：D 【分析】
根据题意得出111
2
n n n a a a a +==
，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】
取1x =，(
)y n n N
*
=∈，由题意可得()()()111
112
n n n a
f n f f n a a a +=+=⋅==
， 11
2n n a a +∴
=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12
为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即
1
12
n S ≤<. 故选：D. 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
10．B
解析：B
【分析】
利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】
由13920a a a ++=，得131020a d +=，
则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】
考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.
11．A
解析：A 【分析】
根据递推公式推导出(
)4n n a a n N *
+=∈，且有1234
1a a a a
=，再利用数列的周期性可计算
出2018T 的值. 【详解】
12a =，()*111++=
∈-n
n n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132
a -==-+，41
1121312a -
==+，5
1132113
a +
==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()123411
23123
a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，
201845042=⨯+，因此，()504
2018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．C
解析：C 【分析】
设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则
n c n =，依次用累加法，可求解.
【详解】
设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，
()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=++
+=++++-
所以11n n b b C +=-，1213b a a -==
22n n n C +=，进而得21332n n n n
b C ++=+=+， 所以()211
33222n n n n b n -=+=-+，
()()()()
2
221111
1212332
2
6
n n n n B n n n n +-=
+++-
++++=
+
同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=++
+=+++--
11n n a a B +-=
所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】
本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.
13．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】
∵112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，
a 3＝2a 225
=
， a 4＝2a 3＝22455
⨯
=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯
-135
=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝32
5
a =， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．
14．B
解析：B 【分析】
根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()1213n n =-+-+
++()()()1111332
2
n n n n -+⋅--=
+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.
15．B
解析：B 【分析】
由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111
n n n a a a ++-=
+，可得111n
n n a a a ++=-，
由12a =，可得23a =-，312
a =-
，41
3a =，52a =，
由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以201931
2
a a ==-. 故选：B.
16．C
解析：C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=，即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+， 12
321123
2112321
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n
=，
202021
20201010
a ∴=
=. 故选：C.
17．D
解析：D 【分析】
根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】
因为数列1111
,,,
, (57911)
--可写成 ()()()()234
2322311111,1,1,12,..24.333
-⨯
-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213
n
n
n a n n -=-=
++⨯. 故选：D.
18．C
解析：C 【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ()
1
1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2
111
22221126
a ==≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.
11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯ 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选：C
19．B
解析：B 【分析】
先由题中条件，得到2
12
21i i i a a a +-=+，由累加法得到20
2211
221
k k a a ==-∑
，根据00a =，
()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++，
则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，
……，
2202022121a a a -=+，
以上各式相加可得：()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑，
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，
又00a =，所以2
12
0211a a a =++=，则20
2211
221
k k a a ==-∑
，
因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或
2，
所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或
4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，
以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±，
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，
所以2211
2
2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，
170，210；
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，
即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，将问题
转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.
20．C
解析：C 【分析】
由于数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，
有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】
∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，
因为331217282025132197=<<=，所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉
12个立方数，
又66320254<<，所以在从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列2
2
2
21,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要
弄明白在数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.
二、多选题 21．BCD 【分析】
根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，
解析：BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222
123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.
22．AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，
解析：AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，1(1)n
n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；
对于选项B ，2cos 2
n n a π
=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC
23．ABD 【分析】
构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，
所以当时，，
即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，
解析：ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x
f x x x
-'=-
=--， 所以当01x <<时，0f x
，
即()f x 在0,1上为单调递增函数，
所以函数在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为单调递增函数，
即()()102f f x f ⎛⎫<<
⎪⎝⎭
，
即()131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=， 所以()1
12
f x << ， 即
1
1(2)2
n a n <<≥， 所以
2112a <<，20201
12
a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，
1
12
n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.
【分析】
由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，
可得：.故是斐波那契数列中的第
解析：ABCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.
对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，
()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-
2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；
故选：ABCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.
25．BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故
解析：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故
{}n
a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方
差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}
2
n
中，()(
)
2
2
221
11
2234n
n n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}
2n
∴不是等方差
数列，故C 错误； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数
列，()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，
故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
26．BC 【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】
解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC
解析：BC 【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，
所以1132302
36
a d a d ⨯⎧
+
=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，
所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，
21(1)3(1)393222
n n n n n n n S na d n ---=+=-+=， 故选：BC
27．AB
【分析】
根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意，等差数列中，即，
.
对于A 选项，，所以A 选项正确.
对于C 选项，，，所以，
解析：AB
【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492
a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-
+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22
n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB
【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.
28．ABD
【分析】
由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确；
由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正
解析：ABD
【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；
由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
29．AC
【分析】
将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】
由，可得，令，
，
所以是奇函数，且在上单调递减，所以，
所以当数列为等差数列时，；
解析：AC
【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212
a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112
x f x e =-+， ()()1111101111
x
x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，
所以()1112
x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********
a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()
2021202110110T a =>.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 30．ABD
【分析】
由，判断，再依次判断选项.
【详解】
因为，，
，所以数列是递减数列，故，AB 正确；
，所以，故C 不正确；
由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确.
故选：AB
解析：ABD
【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.
【详解】
因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，
788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；
()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.
31．BCD
【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】
A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；
C 选项：时，是等差数列，而a = 1，
解析：BCD
【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】
A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；
C 选项：1a b c ===时，1111a b c
===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以
11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.
32．AC
【分析】
利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．
【详解】
等差数列的前项和为．，，
，
解得，，
．
故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公
解析：AC
【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，
解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n n n S n +-== 故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
33．AD
【分析】
先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案.
【详解】
解：根据等差数列前项和公式得：，
所以，，
由于，，
所以，，
所以，中最大，
由于，
所以，即：
解析：AD
【分析】
先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.
【详解】
解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=
>，()112121202
a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，
由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，
所以60a >，760a a <-<，
所以0d <，{}n S 中6S 最大，
由于11267490a a a a a a +=+=+<，
所以49a a <-，即：49a a <.
故AD 正确，BC 错误.
故选：AD.
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.
34．BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
解析：BD
【分析】
由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.
【详解】
因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，
因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；
135********()35235022
a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；
19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.
35．ABD
【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.
【详解】
根据题意可知数列为递增
解析：ABD
【分析】
先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质
和求和公式可知()0117917917
2171722
a a a S a <+⨯⨯===，()11910191019
21919022
a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】
根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >， ∴前9项的和最小，故A 正确； ()117917
91721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >，
181919S S a ∴=-，
1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD .
【点睛】
本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。