第4章 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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第四章 三角函数、解三角形
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〔变式训练 2〕
(1)(角度
1)已知
f(α)＝cocoss－π2＋π－ααsinta3n2ππ－－αα ，则
1 f－253π的值为__2__.
(2)(角度 2)(2021·唐山模拟)已知 α 为钝角，sinπ4＋α＝34，则 sinπ4－α ＝_－___47__，cosα－π4＝__34__.
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.
∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.
第四章 三角函数、解三角形
故 sin α＋cos α＝－
10 5.
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(3)由角 α 的终边落在第三象限， 得 sin α<0，cos α<0， 故原式＝|ccooss αα|＋2|ssiinnαα|＝－cocsosαα＋－2ssiinnαα＝－1－2＝－3.
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第四章 三角函数、解三角形
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知识点二 三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋
角
π＋α
－α
α(k∈Z)
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 sin α __－__s_in__α_ ___－__s_i_n_α__ ___s_i_n_α__ ___co_s__α__ ___co_s__α__
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1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如 sin x＝tan x·cos x，tan2x ＋1＝co1s2x，(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．
2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式 k·π2 ＋α(k∈Z)中的整数 k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名 称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不 变．“符号看象限”指的是在 k·π2＋α(k∈Z)中，将 α 看成锐角时 k·π2＋α(k ∈Z)所在的象限．
＝
sin210°－2sin 10°cos sin 10°－cos
10°＋cos210°＝|sin
10°
sin
10°－cos 10°－cos
10°|＝ 10°
－cocsos101°0－°－sisnin101°0°＝－1.
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角度 2 “换元法”的应用
(× )
(4)若 sin32π－α＝13(k∈Z)，则 cos α＝13.
(× )
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[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当 α，β 为同角时才正 确．(2)cos α≠0 时才成立．(3)根据诱导公式知 α 为任意角．(4)sin32π－α ＝－cos α，∴cos α＝－13.
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3．(必修 1P186T15 改编)已知 tan α＝12，则3ssiinn αα－ ＋c2ocsosαα＝ ( A )
A．－17
B．17
C．－7
D．7
[解析]
sin 3sin
αα－ ＋c2ocos sαα＝3ttaannαα－＋12＝3×12－12＋1 2＝－17.故选
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6．(2015·福建)若 sin α＝－153，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等
于
(D )
A．152
B．－152
C．152 [解析]
D．－152 因为 sin α＝－153，且 α 为第四象限角，
所以 cos α＝1123，所以 tan α＝－152，故选 D．
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(3)若角 α 的终边落在第三象限，则 1c－ossiαn2α＋ 12－sincoαs2α的值为 __－__3_.
[解析] (1)因为 α 是第三象限角，cos α＝－187，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 故 tan α＝csoins αα＝185.选 D．
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题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.
(× )
(2)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．
(× )
(3)sin (π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．
余弦 cos α __－__c_o_s_α_ ___c_o_s_α__ ____－__c_o_s_α_ ____si_n_α__ ___－__si_n__α__
正切 tan α ___t_a_n_α__ ____－__t_a_n_α_ ___－__ta_n_α___
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例3
已知 cosπ6－θ＝a，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ
的值是_0__.
[ 解 析 ] 因 为 cos 56π＋θ ＝ cos [π － π6－θ ＝ － cos π6－θ ＝ －
a.sin23π－θ＝sin π2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，
所以 cos56π＋θ＋sin23π－θ＝－a＋a＝0.
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7．(2017·全国卷Ⅲ，4,5 分)已知 sin α－cos α＝43，则 sin 2α＝( A )
A．－79
B．－29
C．29 [解析]
D．79 将 sin α－cos α＝43的两边进行平方，得 sin2α－2sin αcos α＋
cos2α＝196，即 sin 2α＝－79，故选 A．
＝tan21α＋＋ttaann2αα－2.
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〔变式训练 1〕
(1)若 α 是第二象限角，tan α＝－152，则 sin α＝
(C )
A．15
B．－15
C．153
D．－153
(2)若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csoins θθ＝__2_. (3)已知 θ 为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则
tan
θ＝_－__43___.
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[解析] (1)∵tan α＝－152，∴csoins αα＝－152.
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋－152sin
α2＝1，∴sin
α＝±153.
又 α 为第二象限角，∴sin α＝153，故选 C．
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考点二
诱导公式及其应用——多维探究一
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角度 1 利用诱导公式化简三角函数式
例2
(1)化简：
sinc－osαπ2－－32απcsoins3π22π＋－ααsitnanπ2＋2πα－ α＝－__s_in1__α_. (2)化简cos18－0°2－sin 110－°ssinin1210700°°＝__－__1_.
1－－1872＝－1157，
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(2)由 tan α＝－13，得 sin α＝－13cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得190cos2α＝1，
所以 cos2α＝190，易知 cos α<0，
所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
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(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是 利用公式 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝csoins αα求解，解题时，要注意角所在的 象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨 论．
第四章 三角函数、解三角形
第四章
三角函数、解三角形
第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理·双基自测
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知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：___s_i_n_2x_＋__c_o_s_2_x_＝__1_. (2)商数关系：_cs_oin_s_xx_＝__ta_n__x__.x≠kπ＋π2，k∈Z
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[解析] (1)因为 f(α)＝cocoss－π2＋π－ααsinta3n2ππ－－αα
＝ －sin －cos
(2)tan
θ＋csoins
θθ＝csoins
θθ＋csoins
θθ＝cos
1 θsin
θ＝2.
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(3)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得 6sin θcos θ＝－8cos2θ，又 因为 θ 为第四象限角，所以 cos θ≠0，所以 6sin θ＝－8cos θ，所以 tan θ ＝－43.
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题组三 走向高考
5．(2019·全国卷Ⅰ，7,5 分)tan 255°＝
(D )
A．－2－ 3
B．－2＋ 3
C．2－ 3
D．2＋ 3
[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(30°＋45°)＝13－3＋331＝2＋ 3，故选 D． 另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝ 3，∴选 D．
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(1)诱导公式的两个应用方向与原则： ①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导 公式解题，常见的互余关系有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－α 等，互补关系有π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等．
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题组二 走进教材
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2．(必修 1P184 练习 T1 改编)已知 α 为锐角，且 cos α＝45，则 sin(π＋
α)＝
(A )
A．－35
B．35
C．－45 [解析]
由题意得 sin α＝
1－Dc．os452α＝35，
故 sin(π＋α)＝－sin α＝－35.
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考点突破·互动探究
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考点一
同角三角函数的基本关系式——师生共研
例1 (1)已知 α 是第三象限角，cos α＝－187，则 tan α＝
(D )
A．－185
B．185
C．－185
D．185
(2)已知 α 是三角形的内角，且 tan α＝－13，则 sin α＋cos α 的值为 _－___51_0_.
A．
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4．(必修 1P186T16 改编)化简 cos α
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
1－cos α 1＋cos α
π<α<32π得 A．sin α＋cos α－2
B．2－sin α－cos α
(A )
C．sin α－cos α
D．cos α－sin α
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(2)遇 sin α，cos α 的齐次式常“弦化切”，如：
asin csin
α＋bcos α＋dcos
α＝atan α ctan
αα＋＋db；sin
αcos
α＝sin
αcos 1
α
＝sisni2nαα＋cocsosα2α＝1＋tatnanα2α；
sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝sin2α＋ssiinn2αα＋cocsoαs－2α2cos2α
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[解析] (1)原式＝sicnoαsα－－sincoαsα－tasnin2αα ＝－cossi2nα3·αcsoins22αα＝－sin1 α.
(2) ∵ cos 10°>sin 10° ， ∴ 原 式 ＝
1－2sin 10°cos 10° sin 10°－cos 10°
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〔变式训练 2〕
(1)(角度
1)已知
f(α)＝cocoss－π2＋π－ααsinta3n2ππ－－αα ，则
1 f－253π的值为__2__.
(2)(角度 2)(2021·唐山模拟)已知 α 为钝角，sinπ4＋α＝34，则 sinπ4－α ＝_－___47__，cosα－π4＝__34__.
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[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.
∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.
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故 sin α＋cos α＝－
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(3)由角 α 的终边落在第三象限， 得 sin α<0，cos α<0， 故原式＝|ccooss αα|＋2|ssiinnαα|＝－cocsosαα＋－2ssiinnαα＝－1－2＝－3.
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知识点二 三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋
角
π＋α
－α
α(k∈Z)
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 sin α __－__s_in__α_ ___－__s_i_n_α__ ___s_i_n_α__ ___co_s__α__ ___co_s__α__
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1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如 sin x＝tan x·cos x，tan2x ＋1＝co1s2x，(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．
2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式 k·π2 ＋α(k∈Z)中的整数 k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名 称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不 变．“符号看象限”指的是在 k·π2＋α(k∈Z)中，将 α 看成锐角时 k·π2＋α(k ∈Z)所在的象限．
＝
sin210°－2sin 10°cos sin 10°－cos
10°＋cos210°＝|sin
10°
sin
10°－cos 10°－cos
10°|＝ 10°
－cocsos101°0－°－sisnin101°0°＝－1.
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角度 2 “换元法”的应用
(× )
(4)若 sin32π－α＝13(k∈Z)，则 cos α＝13.
(× )
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[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当 α，β 为同角时才正 确．(2)cos α≠0 时才成立．(3)根据诱导公式知 α 为任意角．(4)sin32π－α ＝－cos α，∴cos α＝－13.
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3．(必修 1P186T15 改编)已知 tan α＝12，则3ssiinn αα－ ＋c2ocsosαα＝ ( A )
A．－17
B．17
C．－7
D．7
[解析]
sin 3sin
αα－ ＋c2ocos sαα＝3ttaannαα－＋12＝3×12－12＋1 2＝－17.故选
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6．(2015·福建)若 sin α＝－153，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等
于
(D )
A．152
B．－152
C．152 [解析]
D．－152 因为 sin α＝－153，且 α 为第四象限角，
所以 cos α＝1123，所以 tan α＝－152，故选 D．
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(3)若角 α 的终边落在第三象限，则 1c－ossiαn2α＋ 12－sincoαs2α的值为 __－__3_.
[解析] (1)因为 α 是第三象限角，cos α＝－187，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 故 tan α＝csoins αα＝185.选 D．
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题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.
(× )
(2)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．
(× )
(3)sin (π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．
余弦 cos α __－__c_o_s_α_ ___c_o_s_α__ ____－__c_o_s_α_ ____si_n_α__ ___－__si_n__α__
正切 tan α ___t_a_n_α__ ____－__t_a_n_α_ ___－__ta_n_α___
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例3
已知 cosπ6－θ＝a，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ
的值是_0__.
[ 解 析 ] 因 为 cos 56π＋θ ＝ cos [π － π6－θ ＝ － cos π6－θ ＝ －
a.sin23π－θ＝sin π2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，
所以 cos56π＋θ＋sin23π－θ＝－a＋a＝0.
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7．(2017·全国卷Ⅲ，4,5 分)已知 sin α－cos α＝43，则 sin 2α＝( A )
A．－79
B．－29
C．29 [解析]
D．79 将 sin α－cos α＝43的两边进行平方，得 sin2α－2sin αcos α＋
cos2α＝196，即 sin 2α＝－79，故选 A．
＝tan21α＋＋ttaann2αα－2.
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〔变式训练 1〕
(1)若 α 是第二象限角，tan α＝－152，则 sin α＝
(C )
A．15
B．－15
C．153
D．－153
(2)若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csoins θθ＝__2_. (3)已知 θ 为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则
tan
θ＝_－__43___.
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[解析] (1)∵tan α＝－152，∴csoins αα＝－152.
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋－152sin
α2＝1，∴sin
α＝±153.
又 α 为第二象限角，∴sin α＝153，故选 C．
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考点二
诱导公式及其应用——多维探究一
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角度 1 利用诱导公式化简三角函数式
例2
(1)化简：
sinc－osαπ2－－32απcsoins3π22π＋－ααsitnanπ2＋2πα－ α＝－__s_in1__α_. (2)化简cos18－0°2－sin 110－°ssinin1210700°°＝__－__1_.
1－－1872＝－1157，
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(2)由 tan α＝－13，得 sin α＝－13cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得190cos2α＝1，
所以 cos2α＝190，易知 cos α<0，
所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
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(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是 利用公式 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝csoins αα求解，解题时，要注意角所在的 象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨 论．
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知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：___s_i_n_2x_＋__c_o_s_2_x_＝__1_. (2)商数关系：_cs_oin_s_xx_＝__ta_n__x__.x≠kπ＋π2，k∈Z
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[解析] (1)因为 f(α)＝cocoss－π2＋π－ααsinta3n2ππ－－αα
＝ －sin －cos
(2)tan
θ＋csoins
θθ＝csoins
θθ＋csoins
θθ＝cos
1 θsin
θ＝2.
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(3)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得 6sin θcos θ＝－8cos2θ，又 因为 θ 为第四象限角，所以 cos θ≠0，所以 6sin θ＝－8cos θ，所以 tan θ ＝－43.
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5．(2019·全国卷Ⅰ，7,5 分)tan 255°＝
(D )
A．－2－ 3
B．－2＋ 3
C．2－ 3
D．2＋ 3
[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(30°＋45°)＝13－3＋331＝2＋ 3，故选 D． 另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝ 3，∴选 D．
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(1)诱导公式的两个应用方向与原则： ①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导 公式解题，常见的互余关系有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－α 等，互补关系有π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等．
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2．(必修 1P184 练习 T1 改编)已知 α 为锐角，且 cos α＝45，则 sin(π＋
α)＝
(A )
A．－35
B．35
C．－45 [解析]
由题意得 sin α＝
1－Dc．os452α＝35，
故 sin(π＋α)＝－sin α＝－35.
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考点突破·互动探究
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考点一
同角三角函数的基本关系式——师生共研
例1 (1)已知 α 是第三象限角，cos α＝－187，则 tan α＝
(D )
A．－185
B．185
C．－185
D．185
(2)已知 α 是三角形的内角，且 tan α＝－13，则 sin α＋cos α 的值为 _－___51_0_.
A．
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4．(必修 1P186T16 改编)化简 cos α
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
1－cos α 1＋cos α
π<α<32π得 A．sin α＋cos α－2
B．2－sin α－cos α
(A )
C．sin α－cos α
D．cos α－sin α
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(2)遇 sin α，cos α 的齐次式常“弦化切”，如：
asin csin
α＋bcos α＋dcos
α＝atan α ctan
αα＋＋db；sin
αcos
α＝sin
αcos 1
α
＝sisni2nαα＋cocsosα2α＝1＋tatnanα2α；
sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝sin2α＋ssiinn2αα＋cocsoαs－2α2cos2α
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] (1)原式＝sicnoαsα－－sincoαsα－tasnin2αα ＝－cossi2nα3·αcsoins22αα＝－sin1 α.
(2) ∵ cos 10°>sin 10° ， ∴ 原 式 ＝
1－2sin 10°cos 10° sin 10°－cos 10°