衢州市高二数学质量检测答案
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衢州市2018年6月高二年级教学质量检测试卷
数学参考答案
1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.230x y ±= ,13
3
12.22i ,-13.
112
, 14.322, 15.[0,
]3
π
16.[17,17]- 17.
149
18.
(I )
x x x f 2cos 2sin 3)(-=------------------------------------------------------------2分
)
6
2sin(2π
-=x ,---------------------------------------------------------------4分
∴
)6(πf 2
1
)662sin(2=-⨯=ππ-----------------------------------------------------6分
∴π
π
==2
2T ,
--------------------------------------------------------------------------7分
(直接计算()6
f π,同等给分;直接写出T ,扣2分)
(II )由(I )知,)6
2sin(2)(π-=x x f ,
5[0,
]12
x π∈,则
]
3
2,6[6
2π
ππ
-
∈-
x ,
--------------------------------------------9分
∴
]
1,2
1
[)62sin(-∈-πx ,
---------------------------------------------------------------12分
∴
)
(x f 的最大值为
2.----------------------------------------------------------------------14分
19.解:(I ) E A D A '⊥',F A D A '⊥',∴⊥'D A 平面EF A '.…3分
又⊂EF 平面EF A ',∴⊥'D A EF .
由已知可得BD EF ⊥,
∴⊥EF 平面BD A '. …………………………………7分
(II )法一: 在BD A '∆内过点A '作BD M A ⊥'于点M . 由(1)知平面⊥'BD A 平面BEDF ,平面 BD A '平面BD BEDF =,
则EM A '∠即为E A '与平面BEDF 所成角. …………10分 设EF 与BD 交于点O ,连接O A ',则22=
='BO O A ,2
2
3=DO . 又⊥'D A 平面EF A ',O A '⊂平面EF A ',O A D A '⊥',
在Rt △
A DM ',3
2
='⋅'=
'OD D A O A M A ,35=EM . ………13分
35cos ='=
'∠∴E A EM EM A ,即E A '与平面BEDF 所成角的余弦值3
5
. …15分 法二(第2小题):以点B 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系. 则)0,0,0(B ,)0,1,0(E ,)0,0,1(F ,)0,2,2(D ,设),,(z y x A ',则
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+-='=++-='=+-+='4
)2()2(1)1(1
)1(22222
2222222z y x D A z y x F A z y x E A ,解得)32,32,32(A '.…………………………10分
于是)3
2
,31,32(--='E A .
又平面BEDF 的一个法向量为)1,0,0(=n .……………12分 故32
|
||||,cos |sin ='⋅'=
>'<=E A n E A n E A θ
.……………14分 因此,E A '与平面BEDF 所成角的余弦值
3
5
.…………15分 20.解:(I ) 2=a ,则
∴x x x f 63)(2-='-----------------------------------------------------
---------------2分
∴3)1(-='f ,又(1)0f =, ∴ 切线方程为033=-+y x .-------------------------------------------------------6分
(II ) )(333)(2a x x ax x x f -=-=',
当0a =时,03)(2≥='x x f ,即()f x 在]1,1[-上为增函数,
01)1(<-=-f ,01)1(>=f ,
∴
()
f x 在
]
1,1[-上有一
个零点,-----------------------------------------------------8分
当01a <<时,)(3)(a x x x f -=',
0211)1(<--=-a f ,0)2
1
1(21)(23>-=-=a a a a a f ,
∴
()
f x 在]
1,1[-上有一个零点.---------------------------------------------------------10分
当1a =时,在)0,1[-上()f x 为增函数,]1,0(上()f x 为减函数,
023)1(<-
=-f ,02
1
)1(>=f ,此时()f x 在]1,1[-上有一个零点.-------12分
当1a >时,易知在)0,1[-上()f x 为增函数,]1,0(上()f x 为减
函数,
0)1(<-f ,0)0(>f ,又有a f 2
1
1)1(-=,
当02
11)1(>-=a f ,即12a <<时,()f x 在]1,1[-上有一个零,
当2a ≥时,()
f x 在
]
1,1[-上有两个
零.----------------------------------------14分
综上所述, 当02a ≤<时,函数()f x 在]1,1[-上有一个零;
当2a ≥时,函数
()f x 在]1,1[-上有两个零点.----------15分
21.解: (Ⅰ)由1(3,0)F -
得3c =,由椭圆定义知242a a =⇒=, …………2分
∴1b = ∴椭圆的标准方程为2
214
x y +=. ……………………5分 (Ⅱ)当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y kx b =+,联立方程组22
14
y kx b x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩,
消去y ,化简为:222
(14)8440k x kmx m +++-=,
设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y ,由韦达定理得2121222
844
,1414km m x x x x k k -+=-=++,
由0∆>得22
41k m +>; ………………………………8分
四边形OMPN 为平行四边形得OP OM ON =+,
+
_
+
递增
递减
递增
∴ 0122
0121228142()214km x x x k m y y y k x x m k ⎧
=+=-⎪⎪+⎨
⎪=+=++=⎪+⎩
代入椭圆方程化简得:22
414k m +=适合2241(0)k m m +>≠;……………………10分
原点O 到直线l 的距离2
||
1m d k
=+,
2222121212||(1)()(1)[()4]
AB k x x k x x x x =+-=++-
222
2
22
22
2
844411()441141414km m k m k
k k k
k -+-=+--⨯=++++,……………12分
∴222
2
22241||4||3||4131441OMPN k m m m m S AB d k k m k
+-=⋅=+==++; ……13分 当直线l 的斜率不存在时,由题意得直线l 必过长半轴的中点,不妨设其方程为1x =-,
算出1
2332
OMPN S =⨯⨯=.…………………………………………………………14分
综上所述,平行四边形OMPN 的面积3=.…………………………………………15分
21题说明:
(1)若设直线方程为x my n =+也同样给分; (2)若学生设直线l 的斜率为特殊值如1k
=或斜率不存在时得出平行四边OMPN 的面积为3
酌情给分. 22.(I )解:由题意,122
21+-=a a a ,
解得2512+=
a 或2
5
12-=a (舍去).……………………………3分 (II ) 证明:因为)1(111-=-++n n n a a a ,且0>n a ,……………4分
所以)1(1-+n a 与)1(-n a 同号,... ,与)1(1-a
也同号.
而011>-a ,因此)(1*
∈>N n a n . …………………………………………6分 又0)1(122
112
11>-=+-=-++++n n n n n a a a a a ,……………………………8分 所以1+>n n a a .
综上,有11>>+n n a a 成立.………………………………………………9分 (III )证明:令1-=n n a b ,则01>>+n n b b ,且11=b .
由)1(111-=-++n n n a a a ,得到121++-=n n n b b b . ……………………
10分 于是当
2≥n 时,
22)()()(13221211
2<-=-+⋅⋅⋅+-+-+=-=∑n n n n
k k b b b b b b b b b
,又
21
2n n
k k nb b >∑=,因此22<n nb ,即n
b n 2
<
. ……………………12分 考虑()
1221
222222--=-+<=<
n n n n n n b n ,…………14分 故
()(
)(
)[]
n n n b
n
k k
22112012
21
=--+
⋅⋅⋅+-+-<∑=,
即n n S n 22<-. 当1=n 时,22121+<=a 也成立.
综上所述,n n S n 22+<. …………15分。