山东省青岛市胶州实验初中度第一学期北师大版九年级数学上册第一次月考试题(九月第一二章)

山东省青岛市胶州实验初中2021-2021学年度第一学期北师大版
九年级数学上册第一次月考试题〔九月第一二章〕
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕
1.方程(x+1)(x−3)=5的解是〔〕
A.x1=1，x2=−3
B.x1=4，x2=−2
C.x1=−1，x2=3
D.x1=−4，x2=2
2.关于方程x2−2=0的理解错误的选项是〔〕
A.这个方程是一元二次方程
B.方程的解是√2
C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式
D.这个方程可以用公式法求解
3.以下说法正确的选项是〔〕
A.一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
4.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，穿插叠放在一起，且它们较小的交角为
60∘，那么它们重叠局部的面积为〔〕
A.1
B.2
C.√3
D.2√3
3
5.方程x2−2(m2−1)x+3m=0的两个根是互为相反数，那么m的值是〔〕
A.m=±1
B.m=−1
C.m=1
D.m=0
6.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两局部，那么该矩形的周长是〔〕
A.16
B.22或16
C.26
D.22或26
7.一元二次方程x2=x的解为〔〕
A.x=1
B.x=0
C.x1=1，x2=2
D.x1=0，x2=1
8.四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以
下6个命题：
①假设所得四边形MNPQ为矩形，那么原四边形ABCD为菱形；
②假设所得四边形MNPQ为菱形，那么原四边形ABCD为矩形；
③假设所得四边形MNPQ为矩形，那么AC⊥BD；
④假设所得四边形MNPQ为菱形，那么AC=BD；
⑤假设所得四边形MNPQ为矩形，那么∠BAD=90∘；
⑥假设所得四边形MNPQ为菱形，那么AB=AD．以上命题中，正确的选项是〔〕
A.①②
B.③④
C.③④⑤⑥
D.①②③④
9.a，b为实数，(a2+b2)2−(a2+b2)−6=0，那么代数式a2+b2的值为〔〕
A.2
B.3
C.−2
D.3或−2
10.假设把代数式x2−2x+3化为(x+m)2+k的形式〔其中m，k为常数〕，结
果为〔〕
A.(x+1)2+4
B.(x−1)2+2
C.(x−1)2+4
D.(x+1)2+2
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二、填空题〔共 8 小题，每题 3 分，共 24 分〕
11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，那么PE+PF=________．
12.某厂今年一月份新产品研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月
相比增长率都是x，那么该厂今年前三个月份新产品的研发资金总和为________．
13.k=________，方程x2−(k−2)x+9=0有两个相等的实数根．
14.菱形的面积是16，一条对角线长为4，那么另一条对角线的长为________．
15.如图，四边形ABCD、AEFG是正方形，点E、G分别在AB、AD上，连接FC，过点E作EH // FC，交BC于点H，假设AB=4，AE=1，那么BH=________．
16.下面是李刚同学在一次测验中解答的数学题：
①假设x2=4，那么x=2，
②方程x(x−1)=2(x−1)的解为x=2，
③假设x2+2x+k=0两根的倒数和等于4，那么k=−1
2
，
④假设x=0是方程(m−2)x2+3x+m2+2m−8=0的解，那么m=2或−4．其中答对的是________〔填序号〕
17.关于x的方程(k−1)x2−(2k+3)x+(k+3)=0有实数根，那么k满足
________．
18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=8，E是CD的中点，那么OE的长等于________．
三、解答题〔共 8 小题，每题 10 分，共 80 分〕
19.解方程：
(1)1
3
(x+3)2=1；(2)(2x−1)2=x(3x+2)−7．
20.如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于
线段AD，CB的延长线交于点E，F，证明四边形AFCE是菱形．
21.关于x的方程x2−6x−m2+3m+5=0．
(1)试说明此方程总有两个不相等的实数根；
(2)假设此方程的一个根是−1，求另一根．
22.如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过E点作矩形EFCG，其中点
F在BC上，点G在DC上．
(1)求∠DBC的度数；
(2)试说明EG=DG，EF=BF；
(3)假设正方形的面积为25cm2，求矩形EFCG的周长．
23.列方程〔组〕解应用题：
如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，方案沿程度和竖直方向各修一条宽
度一样的小路，剩余的草坪面积是原来的3
4
，求小路的宽度．
24.阅读下面的材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式〔或其中一局部〕配成
完全平方的形式，叫做配方法．配方的根本形式是完全平方公式的逆运用，即
a2±2ab+b2=(a±b)2．
例如：x2−2x+4=(x−1)2+________
x2−2x+4=(x−2)2+________
x2−2x+4=(1
2x−2)2+3
4
________．
以上是x2−2x+4的三种不同形式的配方〔即“余项〞分别是常数、一次项、二次项–见横线上的局部〕．根据阅读材料解决以下问题：
(1)仿照上面的例子，写出x2−4x+2三种不同形式的配方；
(2)将a2+ab+b2配方〔至少写出两种形式〕；
(3)a2+b2+c2−ab−6b−6c+21=0，求a、b、c的值．
25.某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利40元．为了迎接“元旦〞，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：假如每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件．
(1)要想平均每天销售这种童装上盈利2400元，那么每件童装应降价多少元？
(2)用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元？
26.如下图，△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm．
(1)点P从点A开场沿AB边向B以1cm/s的速度挪动，点Q从B点开场沿BC边向点C以2cm/s的速度挪动．假如P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两局部？假设能，求出运动时间；假设不能说明理由．
(2)假设P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度挪动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度挪动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.B
6.D
7.D
8.B
9.B
10.B
11.2
12.a(1+x)2
13.8或−4
14.8
15.3
16.③④
17.k≥−21
4
18.4
19.解：(1)由原方程，得
(x+3)2=3，
直接开平方，得
x+3=±√3，
解得x1=−3+√3，x2=−3−√3；(2)(2x−1)2=x(3x+2)−7，
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4x2−4x+1=3x2+2x−7，x2−6x+8=0，
(x−2)(x−4)=0，
解得x1=2，x2=4．
20.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD // BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
{∠EAO=∠FCO AO=CO
∠AOE=∠COF
，
∴△AOE≅△COF(ASA)，
∴AE=EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵直线L垂直分线段AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
21.解：(1)△=(−6)2−4(−m2+3m+5)=4m2−12m+16=4(m−3
2
)2+7，
∵(m−3
2
)2≥0，
∴(m−3
2
)2+7>0，
∴方程有两个不相等的实数根．(2)设方程的另一根为x，
那么x−1=6，
解得x=7，
∴方程的另一个根为7．
22.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠DBC=45∘；(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45∘，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG // BC，EF // CD，
∴∠DEG=45∘，∠BFE=∠DGE=90∘，
∴△DEG与△EBF是等腰直角三角形，
∴EG=DG，EF=BF；(3)∵正方形的面积为25cm2，
∴DC=5cm，
∵由(1)知EG=DG，EF=BF，
∴EG+CG=DC=5cm，
∴矩形EFCG的周长=2DC=10cm．
23.小路的宽度是2米．
24.解：(1)x2−4x+2的三种配方分别为：
x2−4x+2=(x−2)2−2，
x2−4x+2=(x+√2)2−(2√2+4)x，
x2−4x+2=(√2x−√2)2−x2；(2)a2+ab+b2=(a+b)2−ab=(a+
1 2b)2+3
4
b2；(3)∵a2+b2+c2−ab−6b−6c+21
=a2−ab+1
4
b2+
3
4
b2−6b+12+c2−6c+9
=(a−1
2
b)2+
3
4
(b−4)2+(c−3)2
=0，
∴(a−1
2b)2=0，3
4
(b−4)2=0，(c−3)2=0，
∴a−1
2
b=0，b−4=0，c−3=0，
∴a=2，b=4，c=3．
25.解：(1)设每件童装应降价x元，
根据题意得：(40−x)(40+4x)=2400，
整理得：x2−30x+200=0，即(x−20)(x−10)=0，
解得：x=20或x=10〔舍去〕，
那么每件童装应降价20元；(2)根据题意得：利润y=(40−x)(40+4x)=−4x2+120x+1600=−4(x−15)2+2500，
当x=15时，利润y最多，即要想利润最多，每件童装应降价15元．
26.解：(1)设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两局部
由题意知：AP=x，BQ=2x，那么BP=6−x，
∴1 2(6−x)⋅2x=1
2
×1
2
×6×8，
∴x2−6x+12=0，
∵b2−4ac<0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两局部；(2)设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0<t≤4
由题意知：1
2
(6−t)(8−2t)=1，
整理得：t2−10t+23=0，
解得：t1=5+√2〔不合题意，应舍去〕，t2=5−√2，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4<t≤6，
由题意知：1
2
(6−t)(2t−8)=1，
整理得：t2−10t+25=0，
解得：t1=t2=5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时x>6，
由题意知：1
2
(t−6)(2t−8)=1，
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整理得：t2−10t+25=0，
解得：t1=5+√2，t2=5−√2，〔不合题意，应舍去〕，
综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△PBQ的面积为1．。