(解析汇报版)复合场 超详解

18．（12分）如下图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向
纸面外，磁感强度为B ，一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的
电量和质量之比m
q .
解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图示的轨迹运动，从A
点射出磁场，O 、A 间的距离为l ，射出时速度的大小仍为0υ，射出方向与x 轴的夹角仍为θ.
由洛仑兹力公式和牛顿定律可得，
R
v m B qv 20
0=
式中R 为圆轨道的半径，解得qB
m v R 0
=
……① 圆轨道的圆心位于OA 的中垂线上，由几何关系可得
θsin 2
R l
=……② 联立①、②两式，解得 lB
m q θυsin 20=……③
11.(18分)如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在水平的x 轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为B,方向垂直xOy 平面向里，电场线平行于y 轴。

一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小球，从y 轴上的A 点水平向右抛出，经x 轴上的M 点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x 轴上的N 点第一次离开电场和磁场，MN 之间的距离为L,小球过M 点时的速度方向与x 轴的方向夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度
为g,求
(1) 电场强度E 的大小和方向；
(2) 小球从A 点抛出时初速度v 0的大小; (3) A 点到x 轴的高度h.
(4) 答案：（1）mg q ，方向竖直向上 （2）cot 2qBL m θ （3）222
28q B L m g
(5) 【解析】本题考查平抛运动和带电小球在复合场中的运动。

(6) （1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡（恒力不能充
当圆周运动的向心力），有 (7) qE mg = ①
(8) mg
E q
=
② (9) 重力的方向竖直向下，电场力方向只能向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直
向上。

(10) （2）小球做匀速圆周运动，O ′为圆心，MN 为弦长，MO P θ'∠=，如图所示。

设
半径为r ，由几何关系知 (11)
L
sin 2r
θ= ③ (12) 小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力白日提供，设小球做圆周运动的速率为
v ，有 (13) 2
mv qvB r
=
(14)
由速度的合成与分解知
(15)
cos v v
θ= ⑤ (16) 由③④⑤式得 (17)
0cot 2qBL
v m
θ=
⑥ (18) （3）设小球到M 点时的竖直分速度为v y ，它与水平分速度的关系为 (19)
0tan y v v θ=
⑦ (20) 由匀变速直线运动规律 (21)
2
2v gh =
⑧ (22) 由⑥⑦⑧式得 (23)
222
28q B L h m g
=
⑨ (24)
(25) 12．（20分）质谱分析技术已广泛应用于各前沿科学领域。

汤姆孙发现电子的质
谱装置示意如图，M 、N 为两块水平放置的平行金属极板，板长为L ，板右端到屏的距离
为D ，且D 远大于L ，O O '为垂直于屏的中心轴线，不计离子重力和离子在板间偏离O O
'的距离。

以屏中心O 为原点建立xOy 直角坐标系，其中x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向。

(26)
（1）设一个质量为0m 、电荷量为0q 的正离子以速度0v 沿O O '的方向从O '点射
入，板间不加电场和磁场时，离子打在屏上O 点。

若在两极板间加一沿y +方向场强为
E 的匀强电场，求离子射到屏上时偏离O 点的距离0y ；
(27) （2）假设你利用该装置探究未知离子，试依照以下实验结果计算未知离子的质量
数。

(28) 上述装置中，保留原电场，再在板间加沿y -方
向的匀强磁场。

现有电荷量相同的两种正离子组成
的离子流，仍从O ＇点沿O O '方向射入，屏上出现两条亮线。

在两线上取y 坐标相同的两个光点，对应的x 坐标分别为3.24mm 和3.00mm ，其中x 坐标大的光点是碳12离子击中屏产生的，另一光点是未知离子产生的。

尽管入射离子速度不完全相等，但入射速度都很大，且在板间运动时O O '方向的分速度总是远大于x 方向和y 方向的分速度。

(29)
【答案】（1）
02
00
q ELD
m v （2）14 (30)
【解析】（1）离子在电场中受到的电场力 0y F q E =…………………………① (31)
离子获得的加速度 0
y y F a m =
……………………………②
(32)
离子在板间运动的时间 00
L
t v =
…………………………③ (33)
到达极板右边缘时，离子在+y 方向的分速度 0y y v a t = …………………④
(34)
离子从板右端到达屏上所需时间 0
D
t v '=……………………………………⑤ (35)
离子射到屏上时偏离O 点的距离 00y y v t '= (36)
由上述各式，得 002
00
q ELD
y m v =
（备注：忽略该离子在极板间运动是y 轴方向的位移）……………………………………………⑥
(37) （2）设离子电荷量为q ，质量为m ，入射时速度为v ，磁场的磁感应强度为B ，磁
场对离子的洛伦兹力 (38)
x F qvB =…………………………………⑦
(39) 已知离子的入射速度都很大，因而粒子在磁场中运动时闻甚短。

所经过的圆弧与圆
周相比甚小，且在板中运动时，ＯＯ＇分逮度总是远大于在ｘ方向和ｙ方向的分速度，洛伦兹力变化甚微，顾可作恒力处理，洛伦兹力产生的加速度 (40) x qvB
a m
=
……………………………………⑧ (41)
x a 是离子在x 方向的加速度，离子在x 方向的运动可视为初速度为零的匀加速直
线运动，到达极板右端时，离子在x 方向的分速度 (42) ()x x qvB L qBL
v a t m v m
==
= ……………………………………………………⑨ (43) 离子飞出极板到达屏时，在x 方向上偏离O 点的距离
(44) '()x qBL D qBLD
x v t m v mv ==……………………………………………………⑩
(45)
当离子的初速度为任意值时，离子到达屏上时的位置在y 方向上偏离O 点的距离
为y ，考虑到⑥式，得 (46)
2
qELD
y mv =
……………………………………………………………⑾ (47) 由⑩、⑾两式得 (48)
2k
x y m
=
………………………………………………………………⑿ (49) 其中2qB LD
k E
=
(50)
上式表明，k 是与离子进入板间初速度无关的定值，对两种离子均相同，由题
设条件知，x 坐标3.24mm 的光点对应的是碳12离子，其质量为112m u =，x 坐标3.00mm 的光点对应的是未知离子，设其质量为2m ，由⑿式代入数据可得 (51)
214m u ≈………………………………………………………………
⒀
故该未知离子的质量数为14。

23.（16分）在平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。

一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴正半轴上的M 点以速度v 0垂直于y 轴射
入电场，经x 轴上的N 点与x 轴正方向成θ＝60°角射入磁场，最后从y 轴负半轴上的P 点垂直于y 轴射出磁场，如图所示。

不计粒子重力，求
（1）M 、N 两点间的电势差U MN ； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径r ； （3）粒子从M 点运动到P 点的总时间t 。

答案：（1）设粒子过N 点时速度为v ，有
v
v 0
＝cos θ ① v ＝2v 0 ②
粒子从M 点运动到N 点的过程，有
qU MN ＝
21mv 2－2
1mv 2
0 ③ U MN ＝q
mv 2320
④
（2）粒子在磁场中以O /为圆做匀速圆周运动，半径为O /N ，有
qvB ＝r
m v 2
⑤
r ＝qB
m v 0
2 ⑥ （3）由几何关系得
ON ＝r sin θ ⑦
设粒子在电场中运动的时间为t 1，有
ON ＝v 0t 1 ⑧ t 1＝
qB
m
3 ⑨ 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T ＝
qB
m
π2 ⑩ 设粒子在磁场中运动的时间t 2，有 t 2＝
T π
θ
π2- ○11
t2＝
qB
3
○12 t＝t1＋t2
t＝
qB m
3
) 2
3
3(π
+○
13
24．（18分）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度应大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。

一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界的交点
C处沿＋y方向飞出。

（1）判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q
m
；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B/，该粒子仍以A处相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向
相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B/多大？此粒子在
磁场中运动手所用时间t是多少？
答案：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。

粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径
R＝r①
又
qvB＝m
2
v
R
②
则粒子的比荷
q v
m Br
=③
（2）粒子从D点飞出磁场速度方向改变60°角，故AD弧所对应的圆心角为60°，粒子做国，圆周运动的半径
R/＝rcot30
④
又
R /＝m
/qB
⑤
所以 B /
＝
3
B ⑥ 粒子在磁场中飞行时间
t ＝/11266m T qB π=
⨯=
⑦
12.★(2004全国高考理综Ⅱ)如图11-4-16所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y
轴负方向，在y<0的空间中，存在着匀强磁场，磁场方向垂直xOy 平面（纸面）向外，一电荷量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y=h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向，然后经过x 轴上x=2h 处的P 2点进入磁场，并经过y 轴上y=-2h 处的P 3点，不计重力.求：
图11-4-16
（1）电场强度的大小；
（2）粒子到达P 2时速度的大小和方向； （3）磁感应强度的大小.
解析：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示.
设粒子从P 1到P 2的时间为t ，电场强度的大小为E ，粒子在电场中的加速度为a ，由牛顿第二定律及运动学公式，有
Eq=ma ① v 0t=2h ②
h=21
at 2
③
由①②③式解得E=qh m v 22
.
（2）粒子到达P 2时速度沿x 方向的分量仍为v 0，以v 1表示速度沿y 方向分量的大小，v 表
示速度的大小，θ表示速度和x 轴的夹角，则有v 12
=2ah ⑤ v=
2
21v v ⑥
tan θ=01
v v ⑦
由②③⑤得v 1=v 0 ⑧ 由⑥⑦⑧得v=2v 0 ⑨ θ=45°. ⑩ （3）设磁场的磁感应强度为B ，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
qvB=r m v 2
r 是圆周的半径，此圆周与x 轴和y 轴的交点分别为P 2、P 3.因为OP 2=OP 3,θ=45°,由几何关系知，连线P 2P 3为圆轨道的直径，由此可得：r=2h 11
由⑨1112可得：B=qh m v 0
. 12
答案：(1)E=qh m v 220 (2)v=2v 0 与x 轴的夹角为45°(3)B=h mv 90
10.如图11-4-14所示，匀强电场水平向右，匀强磁场垂直纸面向里，一质量为m 、电荷量为q 的微粒以速度v 与磁场垂直、与电场成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动.求电场强度E 和磁感应强度B 的大小.
解析：由于带电微粒所受洛伦兹力与速度v 垂直，电场力方向与电场线平行，可知微粒重力一定不能忽略才能做匀速直线运动.设微粒带负电，则电场力水平向左，洛伦兹力斜向右下与速度v 垂直，这样粒子所受合外力不可能为零.粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，其受力如图所示.
故：mg=qvBsin45°
解得B=qv m g
2 E=q m g .
答案：B=qv m g
2 E=q m g
11、如图13-6所示，足够长两面均光滑的绝缘平板，固定在区域足够大的正交的方向
竖直向上的匀强电场和方向水平向外的匀强磁场中，匀强电场的场强大小为E ，匀强磁场的磁感应强度的大小为B ，平板与水平面间的夹角为θ，带电为q +的小物块静止在平板中央。

现沿平板斜向下的方向给物块一个瞬时冲量I 的同时，保持磁场（包括大小和方向）和电场方向不变，使电场强度的大小变为3E ，（当地的重力加速度为g ，设物块沿平板运动的过程中电量不变），求：
（1）小物块沿平板向下运动最大位移； （2）小物块沿平板运动的过程中机械能的增量。

析与解：（1）小物块静止在平板中央，有mg qE =，当场强变为3E 时，小物块受到的电场力为3qE ，沿光滑平板下滑时的受力图如图13-7所示，N 为板对小物块的弹力。

显然，小物块受到的合力沿平板向上，故沿平板向下做匀减速运动，当速度减至零时，位移有
最大值。

对小物块下滑的运动应用动能定理得2
012s i n 02
q E s m v θ
-=-，又0,qE I mv m g ==，联立解得小物块沿平板向下运动的最大位移222
4sin I g
s q E θ
=。

图13-7 图13-8
（2）小物块沿平板下滑至最低点后即沿平板向上做匀加速运动，受力情况如图13-8所示，在垂直平板方向上有2cos qE N qvB θ=+。

随着速度v 的增大，N 将减小，当N =0
时小物块开始离开平板，此时的速度为小物块沿平板向上运动的最大速度2cos m E v B
θ
=。

对小物块沿平板向上的运动应用动能定理得212sin '02m qE s mv θ=
-，又qE m g
=，联立解得小物块沿平板向上运动的最大位移222cos 'sin E s B g θ
θ
=。

机械能的增量决定于重力以外的力所做的功，在小物块沿平板运动的全过程中，重力以外
只
有
电
场
力
做
功
，
因
此
机
械
能
的
增
量
2222
22cos 3sin (')3()4E I g E qE s s qE B g q E
θθ∆=-=-。

12、如图13-9所示，在0y >的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在0y <的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy 平面（纸面）向外。

一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y h =处的点1P 时速率为0v ，方向沿x 轴正方向；然后经过x 轴上2x h =处的2P 点进入磁场，并经过y 轴上2y h =-处的3P 点。

不计重力。

求：
（1
）电场强度的大小；
（2）粒子到达2P 时速度的大小和方向； （3）磁感应强度的大小。

图13-9 图13-10
析与解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，如图13-10。

在x 方向：02h v t =，在y 方
向：212qE h t m =，联立解得：02h
t v =， 2
02mv E qh
=。

实用文案
标准 （2）因0y qE v t v m
==
，所以0v =，方向与x 轴正方向成45︒角。

（3）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，据几何关系可判断2P 、3P 连线的中点'O 为轨迹圆的圆心，如图13-10
所示。

因r =，mv r qB =，得0mv B qh
=。