(解一元二次方程,配方法)

用开平方法解一元二次方程
形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的一元二次方程，可以用直接开平方的方法，求出方程的解。

例1：解下列方程：
（1）-2（y-1）2+5=0 （2）2
12t+2=32（）
例2：解方程：（2x-1）2=（x+3）2
值得注意：形如(mx+n)2=kx 形式的一元二次方程是不能运用此方法求解。

一、 配方
例：在下列各空白处填上适当的数，使等式成立。

（1）x 2+12x+_____=(x+____)2 (2)x 2-3x+_____=(x-____)2
（3）x 2+1x 3+____=(x+____)2 (4)x 2-___x+19=(x-1
3
)2
规律：常数项是一次项系数一半的平方。

二、 用配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

用配方法解一元二次方程，需先将原方程设法转化成（x+n ）2=p 的形式，再用开平方法解这个方程。

例1：用配方法解方程：x 2-2x-2=0 x 2-4x=5 6x 2-x-12=0
用配方法解一元二次方程可归纳成如下步骤：
（1）移项 将二次项、一次项保留在方程的左边，把常数“孤立”在方程的右边 （2）化二次项系数为1 两边同时除以二次项的系数
（3）配方两边同时加上一次项系数一半的平方
（4）降次两边开平方
（5）写出方程的解解一元一次方程
（1）和（2）可以互换位置，没有明确的规定。

用配方法解下列方程
（1）X2-2x-2=0 （2）x2-3x-1=0 （3）x2+4x+2=0
（4）（x+2）2=4x2 （5）（x-1）(x-2)=42
（6）x2-2px+q=0 （p.q为常数且p2-q＞0）
例2：用配方法将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是（）
A、（a+2）2-1
B、（a+2）2-5
C、（a+2）2+4
D、（a+2）2-9 例3：求证：不论a取何值，2a2-a+1的值总是一个正数。

例4：x为任意实数时，二次三项式x2-6x+c的值都不小于0，则常数c满足的条件是（）
A、c≥0
B、c≥9
C、c＜9
D、c≤9
练一练
1、方程（x-2）2=9的解是（ ）
Ａ、ｘ１＝５ ｘ２＝－１ Ｂ、ｘ１＝－５ ｘ２＝１ Ｃ、ｘ１＝１１ ｘ２＝－７ Ｄ、ｘ１＝－１１ ｘ２＝７ ２、用配方法解一元二次方程ｘ２－４ｘ＝５的过程中，配方正确的是（ ） Ａ、（ｘ＋２）２＝１ Ｂ、（ｘ－２）２＝１
Ｃ、（ｘ＋２）２＝９ Ｄ、（ｘ－２）２＝９
3、已知方程x 2-6x+q=0可以配成（x-p ）2=7的形式，那么x 2-6x+q=2可以配成（ ） A 、（x-p ）2=5 B 、（x-p ）2=9 C 、（x-p+2）2=9 D 、（x-p+2）2=5
4、用配方法解下列方程，配方有错误的是（ ）
A 、x 2-2x-99=0化为（x-1）2=100
B 、2t 2-7t-4=0化为
2781
t-=416（） C 、x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25 D 、3x 2-4x-2=0化为
2310x-=29
（） 5、用配方法解关于x 的方程x 2+px+q=0时，此方程可变形为（ ）
A 、22p p -4q x+=24（）
B 、22p 4q-p x+=24（）
C 、22p p -4q x-=24（）
D 、2
2p 4q-p x-=24
（）
6、一元二次方程x 2-mx-1=0配方后为（x-n ）2=17，那么一元二次方程x 2-mx+1=0配方后为( )
A 、（x-4）2=15
B 、（x+4）2=15
C 、（x-4）2=17或（x+4）2=17
D 、（x-4）2=15 或（x+4）2=15 7、当x 变化时，-2x 2+2x-1的值（ ）
A 、恒大于0
B 、恒小于0
C 、恒等于0
D 、可能大于0，也可能小于0 8、不论x 、y 为何实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）
A 、总小于2
B 、总不小于2
C 、可以为任何实数
D 、不能为负数 9、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A. 2(1)6x +=
B. 2(2)9x +=
C. 2(1)6x -=
D. 2(2)9x -= 10、关于方程式95)2(882=-x 的两根，下列判断何者正确？
A 、 一根小于1，另一根大于3
B 、一根小于－2，另一根大于2
C 、两根都小于0
D 、两根都大于2 11、方程23120x -=的解是（ ）
A 、122x x ==
B 、122x x ==-
C 、122,2x x ==-
D 、1223,23x x ==- 12.已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的（ ）.
A 、 2()5x p -=
B 、 2()9x p -=
C 、 2(2)9x p -+=
D 、 2(2)5x p -+= 13、方程2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是 ( )
A 、 23162x ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭ B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C 、 2
31416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D 、以上都不对
14．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2+3
D ．（x+2）2-3 15．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A ．x 2-8x+（-4）2=31
B ．x 2-8x+（-4）2
=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11
16．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9
17．配方法解方程2x 2-4
3
x-2=0应把它先变形为（ ）．
A ．（x-13）2=89
B ．（x-23）2=0
C ．（x-13）2=89
D ．（x-13）2=10
9
18．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A ．x 2+1=0
B ．（2x+1）2=0
C ．（2x+1）2+3=0
D ．（1
2
x-a ）2=a 19．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2
20用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A A ．2(2)2x -= B ．2(2)2x += C ．2(2)2x -=-
D ．2(2)6x -=
二、填空
1．方程x 2
+4x-5=0的解是________．代数式22
2
1
x x x ---的值为0，则x 的值为________． 2．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求
出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 4、方程（x-1）2=4的解是_____
5、一元二次方程（x+6）2=5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x+6=5，则另一个一次方程是______
6、定义一种运算，a ※b=a 2-b 2，则方程（4※3）※x=13的解为______
7、把方程2x -22x+1=0化成（x+m ）2=k 的形式后，m=______,k=_____
8、不论m 取何值，m 2+4m+5的值都不可能小于_______
9、
10、在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为2
2
b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊
x 的解为
三、解决问题 1、()
()
054222
22=-+-+y x y x ,求22x y +
2、已知2
2
2
b 65
216a -4a+b -+=0a -4b ，求的值
3、已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求
22
2x y
x y -+的值．
4．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
5．如果x 2-4x+y 2+6y+2z ++13=0，求（xy ）z 的值．
6、求证：无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是正数
7、
已知120a b -++=，求一元二次方程2
0bx x a -+=的解.
先用配方法说明：不论x 取何值，代数式2
57x x -+的值总大于0；再求出当x 取何值时，代数式2
57x x -+的值最小？最小是多少？。