第05章 定积分及其应用习题详解

第五章 定积分及其应用
习 题 5-1
1. 如何表述定积分的几何意义根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）
⎰
-x x d 1
1, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 1
1
.
解：若[]⎰
≥∈x x f x f b a x a
b d )(,0)(,,则
时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线
b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f a
b d )(,0)(则在几何
上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 111
1=+-=⎰-A A x x .
？
（2）由上图（2）所示，2
πd 2
22
2
R A x x R R R
==-⎰
-.
（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π
20=--++=
+-+=⎰A A A A A A A x x .
（4）由上图（4）所示，1112
1
22d 61
1=⋅⋅⋅
==⎰
-A x x . ( " )
( 1 )
( ~ )
(4)
2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S. 解：=
s ⎰
+t t d )12(0
5
3. 用定积分的定义计算定积分
⎰b
a
x c d ,其中c 为一定常数.
解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -
)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-
上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：
∑∑==--=-⋅=∆⋅n i n
i i i
i
i
a b c x x
c x f 1
1
1)()()(ξ,
记}{max 1i n
i x ∆=≤≤λ, 则
)()(lim )(lim d 0
a b c a b c x f x c n
i i i b a
-=-=∆⋅=∑⎰
=
→→λλξ.
，
4. 利用定积分定义计算
1
20
d x x ⎰
.
解：上在]1,0[)(2
x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，
分点i i n i n
i
x ξ;1,,2,1,-==
取相应小区间的右端点，故
∑∑∑
===∆=∆=∆n i i i
n i i i
n
i i i x x x x f 1212
1
)(ξξ=∑∑===n
i n
i i
n n n
i 1
2
3
2
11
1)(
=
311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)1
2)(11(61n
n ++
当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12
0d x x ⎰=3
1．
5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
⎰
-+-11
34)524(x x x d 的值.
解：先求524)(3
4
+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由
0616)(2
3
=-='x x x f , 得0=x 或8
3=x . 比较 35093(1)11,(0)5,
(),(1)781024
f f f f -====的大小，知
min max 5093
,111024
f f =
=，
|
由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11
34min --⋅≤+-≤
--⋅⎰
-f x x x f ,
即
14315093
(425)d 22512
x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明
⎰
1
0 d x e x
与⎰1
0 d 2
x e x ，哪个积分值较大
解：在[]0,1区间内：2
2
x
x x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道： ⎰1 0 d x e x ≥⎰1
0 d 2
x e x
7. 证明：⎰
-
--<<2
1
2
12
1
2d 22
x e e
x 。

证明：考虑⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡-
21,
2
1上的函数2x e y -=，则2
2x xe y --='，令0='y 得0=x 当⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
∈0,21
x 时，0>'y ，当⎪⎭⎫ ⎝
⎛∈21,0x 时，0<'y ∴2
x e y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2
x e y -=在2
1±
=x 处取最小值2
1-
e
.
故
⎰
⎰
⎰
-
---
-
<<21
2
1212
121
2
12
1d 1d d 2
x x e
x e x
，即⎰
-
--
<<21
2
12
12d 22
x e e
x 。

8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.
《
解：平均值⎰-=⋅⋅=---=
1122
4
π21π21d 1)1(11x x μ
9. 设)(x f 在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(∈a 有⎰
⎰≥a
x x f a x x f 01
d )(d )(.
证明：
⎰
⎰-a
x x f a x x f 0
10
d )(d )(=--⎰⎰a a
x x f a x x f 0
d )(d )(⎰1
d )(a
x x f a
⎰⎰
--=1
d )(d )()
1(a
a
x x f a x x f a =)()1()()1(βαaf a af a ---
)]()([)1(βαf f a a --=，其中 1,0≤≤≤≤βαa a
又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥，故原式得证.
习 题
1. 计算下列定积分 （1）
⎰
-4
d 2x x ; （2）⎰-12
2d ||x x x ; （3）⎰π
20
d |sin |x x ; (4)
x x x d }1,max{10
⎰
-.解：
（1）
x x x x x x d )2(d )2(d 24
22
04
⎰⎰⎰
-+-=-4)221
()212(4
2
2202=-+-=x x x x
%
（2）⎰-1
22d ||x x x =⎰--0
23d )(x x +⎰1
03
d x x =1
040
2
444
x x +-
-=4+4
17
41=.
（3）
⎰
π20
d |sin |x x =
⎰
π0
d sin x x +
⎰
-π
2π
d )sin (x x =π
2π
π
0cos )cos (x
x +-=2+2=4.
(4)
x x x d }1,max{10
⎰
-=11
210
2
3(1)d d 4
x x x x -+=⎰⎰.
2. 计算下列各题： （1）
⎰
10
100d x x ， （2）⎰
41
d x x ， （3）⎰1
d e x x , （4）x x
d 10010⎰,
（5）x x d sin 2π
⎰, （6）x x x
d e 2
10⎰, （7）x x d )π2sin(2π0
+⎰,
（8）
x x x d )1(1
+⎰
,（9）x x
x d 2ln e 1
⎰
, （10）⎰+102100d x x , （11）⎰4
π
02d cos tan x x x 解：（1）⎰1
0100
d x x =101
11011
0101=x . （2）⎰41d x x =3
14
324
1
2
3=
x . （3）1e e d e 1
010-==⎰x x x . （4）x x d 10010⎰=100
ln 99100ln 1001
0=x .
（5）1cos d sin 2π0
2π0
=-=⎰x
x x . （6）2
1
e 2
e
)(d e 21d e 1
21010
2
2
2
-=
=⎰=⎰x x x
x x x . |
（7）x x d )π2sin(2π0
+⎰=
)π2(d )π2sin(21
2π
++⎰x x =2
π0
)π2cos(21+-x =1-. (8)
x x x d 2ln e 1
⎰
=)d(ln ln 21e
1x x ⎰=41ln 41e
1
2=x . (10) ⎰+1
02100d x x =⎰+102
)10
(1d 1001x x =1
010arctan 101x =101
arctan 10
1. （10）
⎰
4π0
2d cos tan x x x =⎰4π
)tan d(tan x x =4
π0
22
)
(tan x =
2
1.
3. 求下列极限
（1） x t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+⎰→. （2）(
)
2
arctan d lim
x
x t t
解：（1）此极限是“0
”型未定型，由洛必达法则，得
x
t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+⎰
→=)πcos 1()d πsin (lim
1
1
'
+'
⎰→x t t x
x =π
1
)π1(lim πsin ππsin lim
11-=-=-→→x x x x
（2）()()
()2
2
12
2arctan d arctan lim
lim
1122
x
x t t
x x x ∞
∞
→+∞
-+
型)
2
arctan lim
x x x
→+∞
=
lim
x →+∞
=)22lim arctan 4x x π==
~
4. 设⎰
-=
x
t t y 0
d )1(，求y 的极小值
解： 当10y x '=-=，得驻点1x =，''10.1y x =>=为极小值点， 极小值⎰=-=
1
2
1 -dx )1()1(x y 5. 设()⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+=1,2
11,12x x x x x f ，求()⎰20d x x f 。

解：
()()⎰
⎰⎰++=21
210
20
d 21d 1d x x x x x x f 3
861212
13102=+⎪⎭⎫
⎝⎛+=x x x 6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
00,sin 21
π
x x x f ，求()()⎰=x t t f x 0
d ϕ。

解：当0<x 时，
()()0d 0d 0
===⎰⎰x
x t t t f x ϕ
当π≤≤x 0时，()2
cos 1d sin 210x
t t x x
-==
⎰ϕ 当π>x 时，()()()()1d 0d sin 2
1
d d d 0
=+=+==⎰⎰
⎰⎰⎰x x
x
t t t t t f t t f t t f x ππ
π
π
ϕ，
故()()0,
011cos ,02
1,
x x x x x ϕππ<⎧⎪⎪
=-≤≤⎨⎪>⎪⎩
@
7. 设()x f 是连续函数，且()()⎰+=1
d 2t t f x x f ，求()x f 。

解：令()A t t f =⎰
10
d ，则()A x x f 2+=，从而()()A x A x x x f 22
1
d 2d 1
10
+=
+=⎰⎰ 即A A 221+=
，21
-=A ，∴()1-=x x f 8．()
2221
lim n n n n
n +++∞→ 。

解：原式1lim n n n n →∞⎫
=⋅
+⎪⎪⎭
0112
lim 3n n i x n →∞==⋅==⎰ 9．求由
0d cos d 0
=+⎰⎰
x
y
t
t t t e 所决定的隐函数y 对x 的导数
x
y
d d 。

解：将两边对x 求导得y
e
x y d d 0cos =+x ， ∴
x y
d d y e
x cos -=
习 题
1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：
》 （1）
x x x d cos cos 2π2
π3
⎰
--=x x x d sin )(cos 2π2
π2
1⎰-=)cos d()(cos 2π2
π2
1x x ⎰--
=0cos 3
2
2π2
π23
=--x .
（2）
⎰
⎰
---=-1
1
1
1
22)sin d()(sin 1d 1t t x x =⎰-⋅1
1
d cos cos t t t =⎰-1
1
2d )(cos t t =2⎰1
2d )(cos t t
=2
2sin 2
11)2sin 21(d 22cos 11
01
0+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：
x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 2
12π
2
π2π0
3⎰
⎰-=-
=3
43
cos 4)cos )(cos 2
2
2
320
2
1=
-
=-⎰
ππd(x x x （2）不正确，应该为：
⎰
⎰
⎰---=-=-11
2π2
π2π2
π22
2
d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x
=2
=+=+=⎰
⎰
2
π0
2π0
2π0
2)2sin 21
(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.
—
2. 计算下列定积分: (1)
x x d 1640
2
⎰
-, (2)⎰+1
02
d 41x x . （3）⎰203cos sin π
xdx x ； （4）
x x x d ln e
1
2⎰； （5）x e x d 12ln 0⎰-； （6）⎰--1145d x
x
x ； （7）
⎰
+4
1
1
d x x ； （8）
x x d sin 20
3
⎰
π
； （9）⎰
+2
1ln 1d e x
x x ；
(10)⎰-++0
222
2d x x x
； (11)
x x d 2cos 10
⎰
+π
；
（12）⎰-1
2
2d 1x x x 。

解：（1）令x =t sin 4,则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0；当x = 4 时，
2
π
=
t ，于是 x x d 1640
2
⎰
-=π4)
2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π0
2π0
20
=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π
（2）⎰+1
02d 41x
x =⎰+1
2
)2d()2
(1121x x =21arctan 212arctan
21
1
0=x . (3)
⎰
20
3
cos sin π
xdx x 41cos 41dcos cos 20
420
3=-=-=⎰π
π
x x x (4)
)d(ln ln d ln e 12e
1
2x x x x x ⎰⎰
= 31
])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e
1
3=-==x
@
(5)令t e x =-1，(
)
1ln 2
+=t x ，t t t
x d 1
2d 2+=，0=x 时0=t ；2ln =x 时，1=t .
于是
t t t t t x e x
d 1112d 12d 110
21
0222
ln 0
⎰⎰⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-=+=-[]102arctan 214t t π⎛⎫
=-=- ⎪⎝
⎭
(6) 令u x =-45，则4452u x -=，u u
x d d 2
-=.当1-=x 时，3=u ，当1=x 时，1=u .
原式()
6
1d 5811
32
=-=
⎰u u . (7) 令t x =，t t x d 2d =.当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t .
原式⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+=
⎰⎰⎰
212
121
1d d 21d 2t t t t t t ()[]
32ln 221ln 22121+=+-=t t (8) 因为
x x d sin 2
3
⎰
π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20
220
20
2
⎰⎰⎰-=-π
π
π
1
cos d sin 2020
=-=⎰π
π
x x x 31cos 31dcos cos d sin cos 20320
2
2
2
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰
⎰
π
π
πx x x x x x
从而x x d sin 20
3⎰
π
=
3
2. $
(9) 原式()⎰
⎰
++=+=
221
1
ln 1d ln 11ln d ln 11e e x x
x x
232ln 1221
-=+=e x
(10) 原式()
()⎰
--+=++=02
22
111d x arctg x x ()2
4
4
11π
π
π
=
+
=
--=arctg arctg
(11) 原式⎰⎰
==
π
π
2
d cos 2d cos 2x x x x ()⎰⎰-+=ππ
π
2
20
d cos 2d cos 2x x x x
22sin sin 2220=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=πππ
x x （12）设2
0(,sin π
≤
≤=t t x ，t t x d cos d =，于是
⎰-1
2
2
d 1x x x
=t t t t t d 2sin 41
d cos sin 20
22
202⎰⎰=π
π
16
)4sin 41(81d 2cos4t 141202020ππ
ππ
=-=-=⎰t t t 3. 计算下列定积分： （1）
x x x
d e )15(40
5⎰
+； （2）
x x d )1ln(1
e 0
⎰
-+； （3）
x x x d πcos e 10
π⎰
；
（4）
x x x x
x d )e 3(10
33⎰
++； (5)⎰3
4
2d sin π
πx x x
； (6)⎰41d ln x x x ； \
(7)1
arctan d x x x ⎰； (8)
⎰
2
2
d e x x x
； （9）⎰e
e
1d ln x x ； （10）⎰π20
d sin x x x 。

解：（1）x x x
d e )15(4
05⎰+=5e d )15(54
0x x ⎰+=4
55400
e e (51)d(51)55x
x x x +-+⎰
=4
205200
21e 1e 4e 55x
--
=.
(2)
x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1
e 0
1e 01
e 0
⎰
⎰
---+-+=+ =x x d )1
1
1(1e 1e 0⎰-+---
=1
e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1
(3)
x x x d πcos e 10
π⎰
=ππsin d
e 1
πx x ⎰x
x x x πde ππsin πsin e π
11010π⎰-=
x x x
d πsin
e 010
π⎰
-==)ππcos d(e 10
πx x -
-
⎰
x
x x x πde π
πcos πcos e π11010π⎰-= -
+-=)1e (π
1
πx x x d πcos e 10
π⎰
移项合并得
x x x d πcos e 10
π⎰
)1e (π
21π
+-
=. （4）x x x x
x
d )
e 3(1
033
⎰++)e 3
13ln 34(
d 31
04x
x x x ++=⎰ /
⎰++-++=10341
34d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x x
x x x
4514
e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 341321
3253++-=++-++=
x x
x （5）⎰34
2d sin π
πx x x 34d cot x x ππ=-⎰3344cot cot d x x x x πππ
π=-+⎰34sin ln 9341πππx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π23ln 219341+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=π （6）
⎰
4
1
d ln x x
x ⎰
=4
1
d ln 2x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4141ln d ln 2x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎰41d 12ln 42x x x
⎰-
-=41
2
1
d 22ln 8x x 42ln 8-=
（7）1
0arctan d x x x ⎰12
01arctan d 2x x =⎰21122001arctan d 21x x x x x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
⎰ ⎰⎰++-=102101d 21d 218x x x π
11
00
11
arctan 822x x π=-+214-=π
（8）
44e 4e 4e
4e 4d e 2e
2d e 20
22
2
20
220
2
=+-=-=-=⎰⎰
x x x x
x x x x
（9）
⎰⎰⎰
+-=e
1
1
e
1e e
1d ln d ln d ln x x x x x x
[
而
⎰⎰
-=1
e 11
e
11e
1d ln d ln x x
x x x x x 1e 2
e 11e 1-=+-=
11e e d ln d ln e
1
e
1e
1
=+-=-=⎰⎰
x x x x x ,
故
e
221e 21d ln d ln d ln e
1
1e
1e e
1-=+-
=+-=⎰⎰⎰
x x x x x x . （10）
1sin d cos cos d sin 20
20
20
20
==+-=ππππ⎰⎰
x
x x x x x x x
4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：
（1）
x x x d )1(11
2
2⎰
--+; (2)
x x d cos
422
4
⎰-π
π；
(3)⎰-++5
52423d 1
2sin x x x x
x ; （4）⎰-+-a a x x x x d )2sin 5cos (. 解：(1)
x x x d )1(11
2
2⎰
--+=
202d 12d 11
1
21
1
=+=-+⎰
⎰--x x x x
(2) 原式()⎰
⎰
==2
2
2
2
4
d cos 22d cos 42
π
πx x x x
()
()
⎰⎰
++=+=20
220
2
d 2cos 2cos 212d 2cos 12π
π
x x x x x
！
()⎰
⎰+++=20
20
20d 4cos 1d 2cos 22π
ππ
x
x x x x
⎰+
+
+=2
0204d 4cos 412
2sin 2π
π
π
πx x x πππ
234sin 412320
=+=x (3) ∵12sin 2423++x x x x 为奇函数，∴0d 1
2sin 552423=++⎰-x x x x
x （4） 利用定积分的线性性质可得原式⎰⎰⎰
---+-=
a a
a
a
a
a
x x x x x x d 2d sin 5d cos ，而前两个积
分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0， 原式⎰⎰
--===a
a
a
a
a x l x 4d 2d 2
5. 如果0>b ，且⎰
=b
x x 1
,1d ln 求b
解：
⎰⎰
⋅-=b b
x x
x x x dx b 11
d 1
ln ln 11ln )1(ln +-=--=b b b b b b
由已知条件得 11ln =+-b b b
0ln =-b b b ，即b b b =ln
0≠b ，∴1ln =b ， 即得e b =。

6.若)(x f 在区间]1,0[上连续,证明
|
(1)
⎰
20
d )(sin π
x x f =⎰20
d )(cos π
x x f
(2)
⎰
π
d )(sin x x xf =
⎰π
π
d )(sin 2x x f ,由此计算
⎰
+π
2d cos 1sin x x
x
x
证明：（1）设t x t x d d ,2
-=-=
则π
.且当0=x 时，2
π
=
t ；当.0,2
==
t x 时π
故
⎰
2
d )(sin π
x x f t t f ⎰⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0
2
d 2sin π
π()⎰-=02
d cos πt t f ⎰=20
d )(cos π
x x f
（2）设t x -=π，
⎰
π
d )(sin x x xf ⎰---=0
)(d )[sin()(π
ππt t f t
⎰
-
=
π
π0
d )(sin t t f ⎰
π
d )(sin t t tf
∴
⎰
π
d )(sin x t xf =
⎰
π
π
d )(sin 2t t f
利用此公式可得：20
sin d 1cos x x x x π+⎰
=20sin d 21cos x x x ππ+⎰=201
dcos 21cos x x
ππ-+⎰
=[]0arctan(cos )2
x π
π
- =
4
2
π.
7. 设()x f 在[]a 2,0上连续，证明
()()()[]⎰⎰
-+=a a
x x a f x f x x f 0
20
d 2d 。

?
证明
()()()⎰
⎰⎰
+=a
a
a a
x x f x x f x x f 20
20
d d d .令u a x -=2，u x d d -=，则
()()()⎰⎰⎰
-=-=a
a
a
a
x x a f u u a f x x f 0
2d 2d 2d
故
()()()[]⎰⎰
-+=a
a x x a f x f x x f 0
20
d 2d .
8. 设()x f 是以π为周期的连续函数，证明：
()()()()⎰⎰+=+π
ππ020d 2d sin x x f x x x f x x 。

证明
()()x x f x x d sin 20⎰+π ()()()()⎰⎰+++=π
ππ20d sin d sin x x f x x x x f x x .
令u x +=π，则
()()()[]()⎰⎰++++=+π
π
ππππ0
2d sin d sin u u f u u x x f x x
()()⎰-+=π
π0
sin du u f u u (∵()x f 以π为周期)
故
()()()()⎰⎰+=+π
ππ020d 2d sin x x f x x x f x x
【
9. 设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([d )(a f a f a b f b f b x x f x b
a
-'--'=''⎰
证明 利用分部积分法，
⎰⎰
⎰'-'='=''b
a
b
a
b a b
a
x x f x f x x f x x x f x d )()]([)(d d )(=b
a x f a f a
b f b )()()(-'-'
)]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=
习 题
1. 下列解法是否正确为什么
2ln 1ln 2ln ||ln d 1
2
12
1=-==--⎰x x x .
答：不正确.因为
x 1
在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ， ⎰-2
1d 1
x x 不能直接应用
Leibniz Newton -公式计算，事实上， ⎰-21d 1x x ⎰-=01d 1x x +=⎰20d 1x x ⎰--→+1110
d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1
lim εεx x }
[]1110)ln(lim ε
ε--→-=+x +[]2
022ln lim εεx +→10ln lim 1εε+→=+-2ln 20
2lim εε+→不存在,
故
⎰-2
1d 1
x x 发散.
2. 下列广义积分是否收敛若收敛，则求出其值.
（1）
⎰
∞+02d 1x x
； （2）x x
d e 1100⎰∞+- ； （3）20e d x x x +∞-⎰； （4）
x x d )1(11
3⎰
∞
++ （5）⎰∞++02100d x x
； （6）⎰∞+0d ln 1x x
x ；
解：（1）
⎰
∞+0
2d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞
+x x x x x 1
lim 1lim )1(00
,∴ ⎰
∞+0
2d 1
x x
发散. （2）
x x
d e
1
100⎰
∞+-=100
1001
100e 100
1)100e (0100
e --+∞
-=--=-
x
（3）2220
1
1e
d (
e e d )2
4
x
x
x x x x x +∞
+∞+∞---=--=
⎰
⎰
（4）
81])1(21[d )1(112
1
3-=+-=++∞
-∞
+⎰x x x
（5）
⎰
∞++0
2
100d x x =20π10arctan 10
10=+∞
x . >
（6）+∞===∞
+∞+∞
+⎰⎰
e x x x
x x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e
，发散
3.下列广义积分是否收敛若收敛，则求出其值. （1）
x x d )4(60
3
2
⎰
-
- （2）
()
⎰
-1
d 1arcsin x x x x （3）⎰
-10
2
d 1arcsin x x
x
解：（1）
x x d )4(60
3
2
⎰
-
- =x x d )4(64
3
2⎰-
-+x x d )4(40
3
2⎰-
-
=)42(3430023)
4(3)
4(3333340
3164
31+=--+-⋅=-+-x x
(2) 令t x =arcsin ，x x
x dt 2d 11
⋅
-=
于是
2
2220
2d 4
x t t t
πππ===
⎰
⎰
(3)
x x
x d 1arcsin 1
2
⎰
-⎰
⎰
-+→-+→=-=ε
εε
ε10
010
2
0)(arcsin d arcsin lim
d 1arcsin lim x x x x
x
0120)(arcsin 21lim ε
ε-+→=x 8
)]1[arcsin(21lim 220πεε=-=+→。

4.证明广义积分 ⎰
-b
a
q
a x x
)(d 当1<q 时收敛；当1≥q 时发散。

~
证明：当,
1时=q []+∞=-=-⎰
b
a b
a
a x a
x x )ln(d ，发散；
当,
1时≠q ⎰
-b
a
q a x x )(d =⎪
⎩⎪
⎨⎧>∞+<--=⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡----1,
1,1)(1)(11q q q a b q
a x q
b
a q。

5.已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-a x
x
x x e x a x a x d 4lim 22，求常数a 解：左端a x
x e a x a 221lim -+∞
→=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-= 右端()()⎰
⎰∞
+-∞
+--=--=
a
x
a
x
de
x x d e x 2222222⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎰
∞+-∞+-a
x a
x
dx xe e
x 22222
⎰
∞
+---=a
x
a
xde
e
a 22222⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=⎰
∞+-∞+--a
x a
x
a dx e xe
e a 222222
()
a e a a 22122-++=
∴(
)
a a
e e
a a 222
122--=++ ， 解之0=a 或1-=a 。

习 题
*
1、求由下列曲线围成的平面图形的面积： （1）x
y 1
=
及直线0,2,===y x x y ； 解：如图，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==
x y x y 1，得交点)1,1(，所求面积为
2ln 2
3]ln 2[d )1(2
122
1
-=-=-=⎰
x x x x x A .
（2）2
2
x y =与822=+y x （两部分均应计算）；
解：如图，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=
8
2222y x x y ，得交点)2,2(-、)2,2(，
所求上半部分面积为
，
3
4
π2d )28(222
022
1+=--==⎰x x x A A 上.
所求下半部分面积为
3
4
π6)34π2(π8-=+-=-=上圆下A S A
（3）x x e y e y -==,与直线1=x ；
解：如图，解方程组⎩⎨⎧==-x
x
e
y e y ，得交点)1,0(，所求面积为
2][d )(1
101
0-+=+=-=---⎰e
e e e x e e A x x x x . <
（4）y x y ,ln =轴与直线)0(ln ,ln >>==a b b y a y . 解：选为y 积分变量，如图，所求面积为
a b e y e A b
a y b
a
y -===⎰
ln ln ln ln ][d
2.求二曲线θsin =r 与θcos 3=r 所围公共部分的面积
解： 当θ等于0和
3
π
时，两曲线相交，所围公共部分的 x
y
O
3
πθ=
面积为
4
3
24π5d θθcos 321d θθsin 212π
3π23π02-
=+=⎰⎰A . 3、求由0,2,3===y x x y 所围成的图形，绕x 轴及y 轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积.
解：如图，绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为 >
π7
128]π71[d πd π2
07206202====⎰⎰x x x x y V x
绕y 轴旋转所得的旋转体的体积为.
y y y x V y d ππ32d π8π22
3
28
2
2
⎰⎰-=-⋅⋅=
π5
64
]π53[π3280
35
=-=x 4、有一立体，以长半轴10=a 、短半轴5=b 的椭圆为底，
而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积. 解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为
15
1022
2
2=+y x 垂直于x 轴的截面为等边三角形，对应于x 的
|
截面的面积为
)10(4
3
)(22x x A -=
于是所求立体体积为
310103210
10
22103
3]310[43d )10(43⋅=-=-=--⎰
x x x x V 5、计算曲线x y ln =相对应于3=x 到8=x 的一段曲线弧长.
解：由弧长的公式得:
23
ln 211d 1d 11d 1832
83
283
2
+=+=+='+=⎰⎰
⎰
x x x x x
x y s .
6、计算1=ρθ相应于自43=θ到3
4
=θ的一段弧长. 解：由弧长的极坐标公式得:
θθθθθ
θθθρθρd 11
d )1
()1
(d )()(34
4
322
34
4
32
2
2
344
32
2⎰⎰
⎰
+=-
+='+=s 2
3ln 125+=
. o
x
a
b
y
x
|
7、求星形线33
cos sin x a t
y a t ⎧=⎨=⎩
的全长.
解：由弧长的参数方程公式得: 446s t a θ===.
8、设把一金属杆的长度由a 拉长到x a +时，所需的力等于a
kx
，其中k 为常数，试求将该金属杆由长度a 拉长到b 所作的功.
解：由于金属杆拉长所需的力f 与拉长的长度成正比x ，且a
kx
f =
，其中k 为常数。

选择金属杆拉长的长度x 为积分变量，其取值范围为[]a b -,0，对于任意[]a b x -∈,0，在拉长的长度区间[]x x x d ,+上，功元素为x a
kx
x f W d d d =
=，于是 a
a b k x a k x x a k x a kx W a
b a
b a
b 2)(2d d 20
20
-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡===---⎰⎰。

9.一个底半径为m R ，高为m H 的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为2
3
3
m/s 10,kg/m 10取g ） 解：建立如图坐标系. 取x 为积分变量,
],0[H x ∈, 任取子区间],0[]d ,[H x x x ⊂+，
；
相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为
x g x R W ⋅⋅=水ρd πd 2
,
于是，把桶内的水全部吸出，需做功
)J (π5000π2
1
2
πd π22220
2
20
2H R H R g x R
g x x R g W H
H ==
==⎰
水水水ρρρ. 10、一矩形闸门垂直立于水中，宽为m 10，高为m 6，问闸门上边界在水面下多少米时 它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.
解：设所求高度为h ，建立如图坐标系，任取小区间]d ,[x x x +，
小区间上压力元素为
x gx F d 6d ρ= 于是，由题意得：
66
26d 6d h h
gx x gx x ρρ+=⇒⎰⎰
6
2602]2
[]2[2+=h h x x 从而3=h 。

（
习题
200100
200
100
()d 8d 16008002400T f x x x x ==+=+=⎰
⎰
⎰
（小时）
本章复习题A
1、求下列极限：
（1）)21(lim 22222n n n
n n n n n ++++++∞→ ； （2）∑=∞→+n
k n
k n k
n ne
n e
1
2lim
（3）x
t t x
x ⎰
+→0
2
d 1lim
； （4）2
cos 1
d lim
2
x
t
e x
t x ⎰
→
1、解：（1）)21(
lim 2
2222n
n n
n n n n n ++++++∞
→ ))(11)2(11)1(11(1lim
222n
n n n n n ++++++∞→=
（
4
01arctan d 11
)
(111lim 1021
2π==+=+∞→=⎰∑=x x x n k n n n
k 。

（2）原式∑
=∞
→+=n
k n
k n k n n
e
e
1
211lim
11
200d arctan arctan 14x x x e x e e e π===-
+⎰。

（3）x
t t x
x ⎰+→0
20
d 1lim
111lim 0
2
=+→=x x 。

（4）2
cos 12lim
0x x dt t e x ⎰→e x x x e x x x e x x 21sin 2cos lim 212)sin (2cos lim 00-=⋅-=-=→→。

2、求t t x G x d sin )(3
11
3⎰
+=
的导函数)(x G '。

解：3
32333)1sin(3)1()1sin()(x x x x x G +='++='。

3、求证下列各式：
（1）2d 1
23
12≤+≤-⎰-x x x ； （2）⎰⎰+=+x x t t t t 1
12121d 1d 。

证明：（1）设1
)(2
+=
x x
x f ，先)(x f 求在]3,1[-上的最大、最小值。

,)
1()
1)(1()1(21)(2
22222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ， 【
由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知
,21)(21≤≤-x f 在]3,1[-上积分得2d 21d )(d )2
1
(2313131=≤≤-=-⎰⎰⎰---x x x f x 。

（2）⎰⎰⎰⎰+=+-=+-=+---x x x x t t y y y y y y t t t 1
121121122
11
2
1d 1d d 11d 。

4、求下列积分：
（1）⎰-+2
2d 1
x e e x
x
； 解：⎰-+2
2d 1x e e x x )1ln()1ln(2
2)1ln(1)1(d 2
222+-+=-+=++=--⎰e e e e e x x x。

（2）
x x
x x d 3)
2)(1(2⎰-+；
解：
x x x x d 3)2)(1(21
2⎰
-+)2ln 26
11
(31d )22(31212-=--+=⎰x x x x 。

（3）
2
1d x x -⎰
；
解：21
2
1
1d (1)d (1)d x x x x x x -=-+-⎰⎰⎰
12
2201
11
()()122x x x x =-+-=。

（4）x x d )1ln(1
e 0⎰
-+；
解：u u
u u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e
1e
1
e
11
e 0
⎰⎰⎰
-==+-=11e e e e
1=+-=-u 。

（5
）0
π⎰。

解：2
000
2
cos cos
xdx xdx
π
πππ
π
==
⎰⎰⎰
5．求连续函数()
f x，使它满足1
()d()sin,(0)0
f tx t f x x x f
=+=
⎰.
解当0
x≠时，令u xt
=，0
t=，0
u=；1
t=，u x
=．
1
d d
t u
x
=，则
1
()d
f tx t=
⎰0
()d
x
f u u
x
⇒
⎰2
()d
()sin()d()sin
x
x
f u u
f x x x f u u xf x x x
x
=+⇒=+
⎰
⎰，两边求导数：
22
()d()sin()()()2sin cos()2sin cos x
f u u xf x x x f x f x xf x x x x x f x x x x
''
=+⇒=+++⇒=--
⎰
两边积分及(0)0
f=得：()cos sin1
f x x x x
=--
6
．若2ln2
6
x
π
=
⎰，求.x
~
解：令u
e t=
-1，则()2
1
ln u
t+
=，u
u
u
dt d
1
2
2
+
=。

当2
ln
2
=
t时，3
=
u；当x
t=时，1
-
=x e
u
∴
2ln2
2arctan
x
==
⎰2
36
ππ
⎛
=-=
⎝
，从而2
ln
=
x
7．求无穷积分.
（1）
22
1
d
(1)
x
x x
+∞
+
⎰；
解：
22221
11
1
d111
()d arctan1
(1)14
x
x x
x x x x x
π
+∞
+∞+∞+∞
=-=--=-
++
⎰⎰
（2）
2
d
45
x
x x
+∞
-∞++
⎰.
解
22
d d(2)
arctan(1)
45(2)1
x x
x
x x x
π
+∞+∞+∞
-∞
-∞-∞
+
==+=
++++
⎰⎰
8．设()
1
,0
1
1
,0
1e x
x
x
f x
x
⎧
≥
⎪⎪+
=⎨
⎪<
⎪+
⎩
当时
当时
，求2
(1)d
f x x
-
⎰.
解：2101
0110
(1)d()d()d()d
f x x f u u f u u f u u
--
-==+
⎰⎰⎰⎰
|
0101
1010
01
10
11e d(1+)
d d d
1e11e1
d(1+e)d(1+)
ln(1e)
1e1
u
u u
u
u
u
u u u
u u
u
u
-
-
--
-
-
-
=+=+
++++
=-+=+
++
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
9．设0
x→时，22
()()()d
x
F x x t f t t
''
=-
⎰的导数与2x是等价无穷小，其中f具有二阶连续导数.试求(0)
f''.
解：依题意有22220
2
2
2
000
(()()d )(()d ()d )()
1lim
lim
lim
x
x x
x x x x t f t t x f t t t f t t F x x x x →→→'''
'''''
--'===⎰⎰⎰
220
2
02()d ()()
2()d 2()1
lim
lim
lim
(0)12
x
x x x x x f t t x f x x f x f t t
f x f x x
→→→''''''''+-''''===⇒=⎰⎰
本章复习题B
一、选择题
1．设()f x [],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上的平均值是（ ）．
A ．
()()
2f b f a + B ．()d a
b
f x x ⎰
C ．1()d 2b
a f x x ⎰
D ．
1()d b
a
f x x b a -⎰
'
2．设函数3()()d x a
x f t t Φ=⎰，则()x 'Φ=（ ）．
A ．()f x
B ．3()f x
C ．23()x f x
D ．233()x f x
3．设()f x 是连续函数，且为偶函数，则在对称区间[],a a -上的定积分()a a
f x dx -=⎰（ ）． A ．0
B ．0
2()d a
f x x -⎰ C ．0
()d a f x x -⎰
D ．0
()d a
f x x ⎰
4．利用定积分的有关性质可以得出定积分1
11211(arctan )(cos )d x x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰（ ）． A ．1
112102(arctan )(cos )d x x x ⎡⎤+⎣⎦⎰ B ．0 C ．12102cos d x x ⎰
D ．2
5．已知函数20d (1)x
t
y t =+⎰
，则(1)y ''=（ ）．
A ．1
2-
B ．14-
C ．14
D ．1
2
6．设0
11
()d ()22x
f t t f x =-⎰，且(0)1f =，则()f x =（ ）
． A ．2
e x
B ．1e 2x
C ．2e x
D ．21
e 2
x
7．设()f x 在[],a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则0()()
lim
x F x x F x x
∆→+∆-=∆ （ ）
． A ．()F x B ．()f x C ．0 D ．()f x '
8． 若()y f x =与()y g x =是两条光滑曲线（其中[,]x a b ∈），则由这两条曲线及直线x a =，x b =所围的平面区域的面积为（ ）．
A ．(()())d b
a
f x
g x x -⎰ B ．(()())d b
a
g x f x x -⎰
C ．()()d b
a f x g x x -⎰ D ．
(()())d b
a
f x
g x x -⎰
一、选择题答案
1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C 二、填空题 1．1
lim
d n n x x →+∞=⎰
. 2．3
523
(sin 3)d x x x -+=⎰ .
3．设y 是方程2
2
20
e d cos d 0y
x t t t t +=⎰⎰所确定的x 的函数，则
d d y
x
= . 4．设()f x 是连续函数，2e ()()d x x
F x f t t =⎰，则(0)F '= . 5．已知(0)1,(2)3,(2)5,f f f '===则2
0()d xf x x ''⎰ .
6．无穷积分1d p x
x
+∞
⎰
若收敛，则p . 二、填空题答案 1．0 2．54 3．2
4
2cos y x x e
- 4．)1(f 5．8 6．1> 三、计算题
1．利用定积分的定义或性质求下面的极限：
（1
）1lim n
n x →∞⎰；
解：
1
1
1
1
n n x dx n ≤=
+⎰⎰ 1,2,
n =
令n →∞，有1
01n →+
，利用夹逼准则得1lim 0n n →∞=⎰ （2
）
n
解：令n
n n n n n )12()1(1lim
-+∞→ )(lim n f n ∞
→=
}ln )12ln()1ln([ln 1
{lim )(ln lim n n n n n
n f n n --++++=∞
→∞
→
]ln )12ln()1ln([ln 1
lim
n n n n n n
n --++++=∞→ )]1
1ln()11ln()01[ln(1lim n
n n n n -++++++=∞→
12ln 2)1ln(1
-=+=⎰dx x
故n n n n n n )12()1(1lim
-+∞
→ e
4
=。

2．计算积分1x ⎰.
解：I=
x x d 11
2
⎰
+⎰⎰⎰++++-=+-+=1021022
10222
1d d 1121d 011x
x
x x x x x x x x I x x dx x -++=++++-=⎰)21ln(20
1
)1ln(122102
故I )]21ln(2[2
1
++=。

3．计算广义积分222
1
11
[
]d ln (1)x x x x --⎰.
解：原式=2222222111111
lim [
]lim[]ln (1)ln (1)
p
p p p p dx dx dx x x x x x x +
+→→-=---⎰
⎰⎰ =21
1
1111111
lim[]lim[(1)()]ln 1
ln 2ln 12ln 2
p
p p x x p p +
+
→→-+=-+-+=---。

四、证明题
证明：22041011
d 40120
x x x x <<
++⎰. 证明：当[10,20]x ∈时，24
4
4
24211
1221x x x x x x x x x
<++<⇒<<++，所以
22020202
421010101111
d d d 402120x x x x x x x x =<<=++⎰⎰⎰。