北京第一二三中学高三数学理联考试卷含解析

北京第一二三中学高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，即P(ξ＝2)等于
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 如图的三视图所对应的立体图形可以是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】如图所示，由三视图可知：该几何题为四棱锥，其中侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC，底面为正方形．即可得出．
【解答】解：如图所示，
由三视图可知：该几何题为四棱锥，其中侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC，底面为正方形．
故选：A．【点评】本题考查了四棱锥的三视图与空间位置关系，考查了推理能力，属于基础题．
3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时, ，函数则函数的大致图象为
参考答案：
D
略
4. 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等
于（）
A．30 B．45 C．90 D．186
参考答案：
C
5. 函数的图象可能是
参考答案：
A
略
6.
设函数的图象的一条对称轴的方程是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
答案:A
7.
定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于 ( )
A．3 2 B．2 2 C．1 D．O
参考答案：
答案:A
8. 下列命题中的假命题是
A. B.
C. D.
参考答案：C
,所以C为假命题.
9. 已知函数的部分图像如图所示，则的图像可由函数的图像（纵坐标不变）（）
A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
C．先向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍
D．先向右平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的倍
参考答案：
D
略
10. 设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )
．[0,3] B．(2,3] C．[3，＋∞) D．[1,3]
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。

参考答案：
设正四棱锥的高为，则
，解得高。

则底面正方形的对角线长为
，所以
,所以球的表面积为
.
12. 函数
的单调递减区间是
.
参考答案：
（
） 13. 已知函数
,点集
，
，则
所构成平面区域的面积为
▲
．
参考答案：
略
14. 若函数是偶函数，则____________．
参考答案：
-2
略
15. 将二进制数
化为八进制数为
；
参考答案：
32
16. 函数，若f(5)=7，则f(-5)= .
参考答案： 略
17. 在矩形
中，
. 若分别在边上运动（包括端点）,且满足
,则
的取值范围是
_________.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题共12）如图，在直三棱柱
中，，，分别为，
的中点，四边形是边长为的正方形． （1）求证：
平面
； (2)求二面角
的余弦值．
参考答案：
（1）证明：在直三棱柱中，
平面
，又平面， 所以
．
因为，为
中点， 所以．又
，
所以平面．
又
平面
，所以．
因为四边形为正方形，，分别为，的中点，
所以△≌△，．
所以．
所以．又，
所以平面． (6)
（2）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．则
．
由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，
，．
由可得
令，则．所以．从而．
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． (12)
19. （12分）已知条件函数在上单调递增；条件存在使得不等式成立．如果“且”为真命题，求实数的取值范围．
参考答案：
解：真
真
“且”为真命题为真且为真．
略
20. 2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
．
利用直方图得到的正态分布，求。

(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．
参考数据：．
参考答案：
（1）……2分
…………4分(2)(i)由题知，，∴.
. ……………………5分
. ……………………7分
（ⅱ）由(i)知，……………………8分
可得,
……………………10分
的数学期望. ……………………12分
21. 在△ABC中，A、B、C为三个内角，．（Ⅰ）若f (B)＝2，求角B；
（Ⅱ）若f (B)－m＜2恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
略
22. 已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求数列的前n项的和.参考答案：
略。