辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三上学期期初检测数学(理)试题

辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三上学期期初检测数学（理）试题
一、选择题（每小题5分）
1．已知集合，，，则=
A． B． C． D．
2．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3．数列满足a n+a n+1=（n≥1,nN）,a2=1,S n是的前项的和，则S21的值为（）
A．C．6 D．10
4．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；
B．命题“”的否定是“，，”；
C. 命题“若，则”的逆否命题是假命题；
D. 已知，命题“若是奇数，则这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题. 5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
6．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=
（A）（B）（C）（D）
7．已知，，猜想f(x)的表达式为（）
A． B． C．D．
8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是
A. <4
B. >4
C. <5
D. >5
9．函数f(x)＝sin2x＋cos2x( )
A．在单调递减 B．在单调递增
C．在单调递减 D．在单调递增
10．一动圆圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则动圆必过定点
A． B． C． D．
11．设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。

则“漂亮方程”的个数为
（A）8 （B）10 （C）12 （D）14
12．已知函数的导函数为，，且＞，设、是方程的两个根，则的取值范围为（）
A． B. C. D.
二、
13. 若，若，则
14．在矩形中，，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为
15．若，，且满足，，则y的最大值是。

16．已知等差数列的每一项都有则数列的前n项和=
三、
17．（本小题12分）已知是的三个内角，向量
，且.
（1）求角；
（2）若，求.
18.（本小题12分）如图,在长方体中为中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角的大小为,求的长.
19．（本小题12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．
（I）设该选手参赛的轮次为，求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）对于（I）中的，设“函数是偶函数”为事件 D，求事件D发生的概率．
20.（本小题12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点
，求的取值范围.
21．（本小题12分）已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；
(3)若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
（从22/23/24三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分. 请将答题的过程写在答题卷
．．．中指定
．．的位置）（本小题满分10分）
22.（本题满分12分）如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙O上一点,弧AE等于弧AC,交于点,且,求的长度.
23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于，两点，求M,N两点间的距离．
24.设函数
⑴若时，解不等式；
⑵如果对于任意的，，求的取值范围。

参考答案
1．D 2．C 3．A4．B 5．D 6．B7．C. 8．C 9．D 10．B 11．C12．A 13．14．15．16．
17．（1）
（2）
18．解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则
,故
(2)假设在棱上存在一点,使得平面,则
设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要
,又平面,存在点使平面,此时.
(3)连接,由长方体,得
, ,由(1)知,故平面.
是平面的法向量,而,则
二面角是,所以,即
19.
试题解析：（I）可能取值为1，2，3． 2分
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，
5分
的分布列为：
的数学期望 7分
（Ⅱ）当时，为偶函数；
当时，为奇函数；
当时，为偶函数；
∴事件D发生的概率是. 12分
20. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得. ………………1分
因为椭圆的离心率为，
所以，. ………………3分
故椭圆的方程为. ………………4分
（Ⅱ）解：当轴时，显然. ………………5分
当与轴不垂直时，可设直线的方程为.
由消去整理得. ………7分
设，线段的中点为，
则. ………………8分
所以，.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令，得. ………………10分
当时，；当时，.
所以，或. ………………12分
综上，的取值范围是. ………………13分
21．(1) 单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)
试题解析：(1)当时，函数，
得．
所以当时，，函数f(x)单调递增；
当x＜1或x＞2时，，函数f(x)单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．3分
(2)由，得，
因为对于任意都有成立，
所以问题转化为对于任意都有． 4分
因为，其图象开口向下，对称轴为.
①当，即时，在上单调递减，
所以，
由，得，此时. 5分
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，此时.
综上可得，实数的取值范围为． 6分
(3)设点是函数图象上的切点，
则过点的切线的斜率，
所以过点P的切线方程为， 8分
因为点在该切线上，
所以，
即.
若过点可作函数图象的三条不同切线，
则方程有三个不同的实数解． 10分
令，则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．
令，解得或.
因为，，
所以必须，即.
所以实数的取值范围为． 12分
22. 试题解析：解：连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧可得,又,
,从而,
故,∴,
由割线定理知,故. 10分
23.（1）（2）
【解析】（Ⅰ）由得，，两边同乘得，
，再由，，，得
曲线的直角坐标方程是；-----5分
（Ⅱ）将直线参数方程代入圆方程得，，，，
．-------10分
24．
解：⑴因为函数，所以时不等式
即，由绝对值的几何意义易知解为。

⑵因为对任意的都有，即需对任意的都有也就是需要与之间距离，所以即可
所以的取值范围是。