2021届浙江省高考数学学案：第二章 加强练(二)高考中的不等式小题

加强练(二)高考中的不等式小题
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1。

已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是（)
A.错误!＞错误!＞错误!
B.错误!＞错误!＞错误!
C.错误!＞错误!＞错误!D。

错误!＞错误!＞错误!
解析∵0＜a＜1＜b，∴0＜a2＜a＜ab，
∴1
a2＞错误!＞错误!，故选A.
答案A
2。

（2020·宁波模拟)已知集合A＝{x|0≤x≤7｝，B＝｛x｜x2－8x ＋7≥0｝，则A∩B＝( )
A.[0,1] B。

｛7}
C.[0，1］∪｛7}
D.［1，7]
解析由x2－8x＋7≥0，得(x－7)（x－1)≥0，故B＝｛x|x≥7或x≤1}，故A∩B＝[0，1]∪{7}，故选C。

答案C
3.（2019·浙江卷）若a〉0，b〉0,则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C。

充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析当a〉0，b>0时,若a＋b≤4，则2错误!≤a＋b≤4.
∴ab≤4,此时充分性成立。

当a〉0，b〉0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5〉4,
这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立。

综上所述，当a>0,b〉0时,“a＋b≤4"是“ab≤4”的充分不必要条件。

故选A.
答案A
4.若m＜n，p＜q，且(p－m）(p－n）＜0，(q－m）（q－n）＜0,则（) A。

m＜p＜n＜q B.p＜m＜q＜n
C。

m＜p＜q＜n D.p＜m＜n＜q
解析∵m＜n，由（p－m)(p－n)＜0知m＜p＜n；由(q－m）（q－n）＜0知m＜q＜n.又p＜q,故m＜p＜q＜n.
答案C
5.若a＜0，b＜0，则p＝b2
a＋错误!与q＝a＋b的大小关系为( )
A.p＜q
B.p≤q
C.p＞q D。

p≥q
解析(作差法）p－q＝错误!＋错误!－a－b
＝错误!＋错误!＝(b2－a2）·错误!
＝错误!＝错误!，
因为a＜0，b＜0,所以a＋b＜0，ab＞0.
若a＝b,则p－q＝0，故p＝q;
若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.
综上,p≤q.故选B.
答案B
6.(2019·北京卷）若x，y满足|x｜≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A.－7
B.1
C.5 D。

7
解析由|x|≤1－y，且y≥－1,得错误!作出可行域如图阴影部分所示.
设z＝3x＋y,则y＝－3x＋z。

作直线l0：y＝－3x，并进行平移.
显然当l0过点A(2，－1）时，z取最大值，z max＝3×2－1＝5。

故选C.
答案C
7。

若不等式x2－（a＋1）x＋a≤0的解集是[－4，3］的子集，则a 的取值范围是( )
A。

[－4，1］B。

[－4，3］
C.［1,3］D。

［－1，3]
解析原不等式为(x－a）(x－1）≤0，当a＜1时，不等式的解集为［a，1]，此时只要a≥－4即可,即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解集为｛x｜x＝1}，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a］，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3,综上可得－4≤a≤3.
答案B
8。

（2020·绍兴一中适考）在错误!条件下，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则错误!＋错误!的最小值是（）
A。

错误! B.错误!
C.错误!
D.2
解析如图，作出约束条件对应的可行域为△ABC区域(包含边界)，由题意知，
目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）经过点A(8，10)时z取最大值，所以4a＋5b＝20，
因此错误!＋错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!≥错误!，即错误!＋错误!的最小值是
错误!，当且仅当错误!＝错误!时取等号，故选B。

答案B
9。

(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是错误!错误!错误!，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是错误!。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（）
A。

165 cm B。

175 cm
C.185 cm D。

190 cm
解析依题意可知AC
CD＝错误!，错误!＝错误!, (1）腿长为105 cm，即CD〉105，
AC＝错误!CD〉64。

890，
AD＝AC＋CD〉64.890＋105＝169.890,
所以AD>169。

890.
（2）头顶至脖子下端的长度为26 cm，即AB<26,
BC＝错误!<42。

071，
AC＝AB＋BC<68。

071，
CD＝错误!<110.147，
AD＝AC＋CD〈68。

071＋110。

147＝178.218，
综上，169.890<AD〈178.218.
答案B
10。

(2020·浙江十校联盟适考)已知正项数列{a n}，{b n｝满足：错误!
设c n＝a n
b n,当c3＋c4最小时，c5的值为（)
A.2
B.错误!
C。

3 D。

4
解析由题意得c n＋1＝错误!＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝1＋错误!,则c3＋c4＝c3＋1＋错误!≥2错误!＝6，当且仅当c3＝2时等号成立，此时c4＝4，
则c5＝1＋9
c4＋1＝错误!，故选B.
答案B
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分)
11。

已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x ＋2y的取值范围是________。

解析∵－1＜x＜4，2＜y＜3,∴－3＜－y＜－2，
∴－4＜x－y＜2。

由－1＜x ＜4,2＜y ＜3，得－3＜3x ＜12，4＜2y ＜6，
∴1＜3x ＋2y ＜18。

答案 （－4，2） (1，18)
12。

(2019·浙江十校联盟适考)若实数x ,y 满足约束条件错误!则该不等式组表示的平面区域的面积为________,目标函数z ＝3｜x ｜－2y 的最小值为________。

解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以A (－1，0)，B （1，2)，C (2,－3)为顶点的三角形区域（包含边界)，且AB ⊥AC ，则不等式组表示的平面区域的面积为错误!
|AB |·|AC ｜＝12
×2错误!×3错误!＝6。

在平面直角坐标系内画出折线3｜x ｜－2y ＝0,平移该折线，易得当折线经过平面区域内的点(0，1)时,其在y 轴上的截距最大，则z ＝3｜x |－2y 取得最小值z min ＝3×|0｜－2×1＝－2。

答案 6 －2
13.已知a ,b ∈R ，若a 2＋b 2－ab ＝2，则a ＋b 的最大值为________，ab 的取值范围是________。

解析 ∵a 2＋b 2－ab ＝2，
∴错误!＝ab ≤错误!错误!，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴(a ＋b )2≤8， ∴－2错误!≤a ＋b ≤2错误!，∴a ＋b 的最大值为2错误!.
∵ab ＝错误!，－2错误!≤a ＋b ≤2错误!，
∴－错误!≤ab ≤2.
答案 2错误! 错误!
14.已知f （x ）＝｜x －a |x ＋|x －2｜（x －a ）.
(1）当a＝1时，不等式f（x）<0的解集为________；
（2)若x∈(－∞，1)时，f(x）〈0，则a的取值范围是________.
解析（1)当a＝1时，f(x）＝｜x－1｜x＋|x－2|（x－1)。

当x〈1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；
当x≥1时，显然f（x)≥0，
所以不等式f（x）<0的解集为（－∞,1）。

（2)当a<1时，若a≤x<1，则f(x）＝(x－a)x＋（2－x）·(x－a）＝2（x－a）≥0，不合题意.所以a≥1。

当a≥1,x∈（－∞，1）时，f(x）＝(a－x)x＋(2－x)(x－a）＝2(a－x)(x －1）<0。

所以a的取值范围是［1，＋∞).
答案（1）（－∞,1)(2)[1，＋∞）
15.已知△ABC的三边长分别为a,b，c,且满足b＋c≤3a，则错误!的取值范围为________。

解析由已知及三角形三边关系得错误!
∴错误!∴错误!
两式相加得0＜2×错误!＜4，∴错误!的取值范围为（0,2)。

答案（0，2)
16.(2019·浙江教育绿色评价联盟适考）如图，在宽8米的矩形教室MEFN正前方有一块长6米的黑板AB，学生座位区域CEFD距黑板最近1米，在教室左侧边CE上寻找黑板AB的最大视角点P(即使∠APB最大），则CP＝________时，∠APB最大。

解析以M为坐标原点，分别以直线MN，ME为x,y轴建立平面直角坐标系，则A（1，0)，B(7，0)，设P(0，y），y≤－1，故∠APB ＝∠MAP－∠MBP，又k AP＝tan∠MAP＝－y,k BP＝tan∠MBP＝－错误!，由两角差的正切公式，tan∠APB＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当7＝y2,即y＝－7时,∠APB最大,此时|CP｜＝|MP｜－1＝7－1。

答案错误!－1
17。

已知实数a,b，c满足a＋b＋c＝－2，abc＝－4，则|a|＋|b｜＋｜c|的最小值为________.
解析不妨设a≤b,a≤c，由题设知a＜0，且b＋c＝－2－a,bc＝错误!，于是b,c是一元二次方程x2＋（2＋a）x－错误!＝0的两实根，则Δ＝（2＋a)2＋4×错误!≥0，即a3＋4a2＋4a＋16≤0,即(a2＋4)（a＋4）≤0,所以a≤－4。

又当a＝－4，b＝c＝1时，满足题意，故a,b，c中最小者的最大值为－4。

因为abc＜0，所以a,b，c全为负或一负二正.
若a，b,c全为负,又a，b,c中的最小者不大于－4,这与a＋b＋c＝－2矛盾，不合题意。

若a，b，c一负二正,则a＜0，b＞0,c＞0，则｜a|＋|b｜＋｜c｜＝－a＋b＋c＝－2a－2≥8－2＝6，当a＝－4，b＝c＝1时满足题设条件且使得不等式等号成立，
故｜a|＋|b|＋｜c｜的最小值为6。

答案6。