2021-2022学年广东省东莞市市麻涌镇麻涌职业高级中学高一数学文联考试卷含解析

2021-2022学年广东省东莞市市麻涌镇麻涌职业高级中学高一
数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgx
C．D．
参考答案：
A
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x≠0），与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；
对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x﹣1（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；
对于D，f（x）=?=（x≥1），与g（x）=（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数．
故选：A．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．
2. 已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的值
为( )A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. 设a＞0，b＞0，a+b+ab=24，则（）
A．a+b有最大值8 B．a+b有最小值8 C．ab有最大值8 D．ab有最小值8
参考答案：
B
【考点】7F：基本不等式．
【分析】由a＞0，b＞0，a+b+ab=24，解方程，用a表示b，把ab和a+b转化成只含有字母a的代数式，利用基本不等式求出ab的最大值和a+b的最小值．
【解答】解：∵
∴；
而
故答案为B．
4. 集合{1，2，3}的真子集共有（）
A 5个
B 6个
C 7个
参考答案：
C
略
5. 函数的定义域为（）
A B C D
参考答案：
A
6. 已知实数x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是( )
A.[4,+￥)
B.(-￥,-4]⎝[4,+￥)
C.(－￥,0]⎝[4,+￥)
D.（－￥，0]
参考答案：
C
7. 若直线与直线平行，则m的值为（）
A．B．C．－6 D．6
参考答案：
D
8. 设函数，且在(－∞,0)上单调递增，则的大小关系为
A. B. C. D.不能确定
参考答案：
B
9. 知集合，则=（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
略
10. （5分）集合A={x|x=2n，n∈Z}，B={y|y=4k，k∈Z}，则A与B的关系为（）
A．A?B B．A?B C．A=B D．A∈B 参考答案：
B
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：根据“x=4k=2?2k”判断出B中元素是由A中部分元素构成，再由子集的定义判断即可．
解答：由题意知，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=4k，k∈Z}，且x=4k=2?2k，
∵x=2k中，k∈Z，∴k可以取奇数，也可以取偶数；
∴x=4k中，2k只能是偶数．
故集合A、B的元素都是偶数．
但B中元素是由A中部分元素构成，则有B?A．
故选B．
点评：本题考查了集合间的包含关系，但此题是集合中较抽象的题目，要注意其元素的合理寻求共同特点，找出相同点和区别，即对应的范围问题，难度较大．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值
为．
参考答案：
5
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．
【解答】解：因为知，，
所以=（3，2﹣t），
又∠ABO=90°，所以，
可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．
故答案为：5．
12. 某人按如下方法做一次旅行(都在同一个平面上)：第一天向东行千米，第二天向南行千米，第三天向西行千米，第四天向北行
千米，第五天再向东行
千米，第六天再向南
行
千米，…，如此继续下去，到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为 千
米．1160 参考答案： 1160
解：根据题意，第一个四天结束，向西走32-12=4×
2
米，向北走42-22=6×2米； 第二个四天结束，向西走32-12+72-52=（4+12
）×2米，向北走42-22+82-62=（6+14）×2米；依次规律，到第四十天结束时，向西走（4+12+…+76）×2=800米，向北走（6+14+…+78）×2=840米；∴到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为
=1160千米。

13. 函数的值域是 ．
参考答案： ﹣1 略 14. 幂函数在上为减函数，则m 的值为 ▲
参考答案： 2
15. 在等比数列{a n }中，公比为q ，
为其前n 项和．已知，则的值为 ▲ ．
参考答案：
2
16. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围________.
参考答案：
略
17. 正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是__________．
参考答案：
【分析】 取的中点
，由
得出异面直线
与
所成的角为
，然后在
由余弦定理
计算出，可得出结果。

【详解】取
的中点
，由
且
可得
为
所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又
，由余弦定理可得
，
故答案为：。

【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =b cos C +c sin B 。

（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。

参考答案：
(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②
由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.………………………………(6分)
(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2ac cos .
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，
当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1. ………………………………(12分)
19. 已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
参考答案：
【考点】指数函数单调性的应用；奇函数．
【专题】压轴题．
【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即
又由f（1）=﹣f（﹣1）知．
所以a=2，b=1．
经检验a=2，b=1时，是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．
20. 已知，.
（1）求的解析式；
（2）解关于的方程
（3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围.
参考答案：
解：（1）令即，则
即
(2)由化简得：即
当时，方程无解
当时，解得
若，则
若，则
（3）对任意总有成立，等价于当时，
令则
令
①当时，单调递增，
此时，
即（舍）
②当时,单调递增
此时，
即
③当时，
在上单调递减，在上单调递增且
即
，综上:
略
21. （12分）将长为12米的钢筋截成12段，做成底面为正方形的长方体水箱骨架，设水箱的高h，底面边长x，水箱的表面积（各个面的面积之和）为S．
（1）将S表示成x的函数；
（2）根据实际需要，底面边长不小于0.25，不大于1.25，当底面边长为多少时，这个水箱表面积最小值，并求出最小面积．
参考答案：
考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据长方体的表面积公式即可将S表示成x的函数；
（2）根据表面积对应的函数，结合一元二次函数的性质即可得到结论．
解答：（1）由题得8x+4h=12…（2分）
水箱的表面积S=4xh+2x2…（4分），
∴S=x（12﹣8x）+2x2=﹣6x2+12x（5分），…（6分）
（2）S=﹣6（x﹣1）2+6（8分）x∈…（9分），
∴当…（11分）
∴当水箱的高与底面边长都为0.25米时，这个水箱的表面积最小，为平方米…（12分）
点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．
22. （12分）已知函数f（x）=log2|x|．
（1）求函数f（x）的定义域及f（﹣）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
参考答案：
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据对数函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域及f（﹣）的值；
（2）根据函数奇偶数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用函数单调性的定义进行判断和证明．
解答：（1）依题意得|x|＞0，解得x≠0，（1分）
所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．（2分），
．（4分）
（2）设x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
则﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．f（﹣x）=log2|﹣x|=log2|x|=f（x），（6分）
所以f（﹣x）=f（x）．（7分）所以函数f（x）是偶函数．（8分）
（3）f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．（9分）
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则．（10分）
因为0＜x1＜x2，所以．（11分）
所以，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．（12分）
点评：本题主要考查对数函数的性质和图象，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．综合考查函数的性质是应用．。